Publicación Cuatrimestral. Vol. 1, Año 2016, N
o
3 (35-50).
LA DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA EN FUNCIÓN DEL
DESARROLLO TECNOLÓGICO DE LA PEDAGOGÍA
CONTEMPORÁNEA
Lic. Henry Fernández Rodríguez
1*
; Dr. Michel Enrique Gamboa Graus
2
1
Licenciado en Educación, especialidad Matemática-Computación. Profesor asistente de Geometría en el
departamento de Matemática-Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Ciencias Pedagógicas
“Pepito Tey”, Las Tunas, Cuba.
2
Licenciado en Educación, Especialidad Matemática-Computación. Doctor en Ciencias Pedagógicas. Profesor
Titular. Coordinador de Investigaciones del Centro de Estudios Pedagógicos de la Universidad de Las Tunas,
Cuba. E-mail: michelgg@ult.edu.cu
*Autor para la correspondencia. Email: henryfr@ucp.lt.rimed.cu
Recibido: 25-9-2016 / Aceptado: 1-10-2016
RESUMEN
Las escuelas contemporáneas se dotan de nuevas tecnologías, entre ellas las computadoras, por lo que
constituye un reto su utilización en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Geometría es uno de los que presenta mayores dificultades en la Matemática Educativa
actual. Estas están relacionadas fundamentalmente con la actualización didáctica necesaria para hacer
corresponder dicho proceso con los adelantos tecnológicos existentes en campos como la informática y la
comunicación. En el trabajo se ofrecen recomendaciones metodológicas a los profesores y se muestran
algunas actividades diseñadas donde se utiliza un programa computarizado de aplicación como es el
Geogebra, que facilita revelar sus cualidades y potencialidades y transformar el proceso didáctico de la
Geometría. En estas se tienen en cuenta los niveles de desarrollo del pensamiento geométrico, la formación
por etapas de las acciones mentales y la didáctica para un aprendizaje desarrollador. Su implementación
práctica, en el centro de referencia provincial, reveló cambios actitudinales de los estudiantes hacia la
asignatura y mejoras significativas en su aprendizaje.
Palabras clave: Geometría; enseñanza; aprendizaje; actividades.
DIDACTICS OF GEOMETRY ACCORDING TO THE
TECHNOLOGICAL DEVELOPMENT OF THE CONTEMPORARY
PEDAGOGY
ABSTRACT
Contemporary schools are provided with new technologies, including computers, so it is challenging its use in
the teaching-learning process. The process of teaching and learning of geometry is one of the major difficulties
in the current Mathematics Education. These are mainly related to the necessary update of didactics to match
the process with existing technological advances in fields such as Information and Communication. At work,
methodological recommendations are offered to teachers and some activities designed where a computer
Artículo de Investigación
Ciencias Afines
Lic. Henry Fernández Rodríguez et al.
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application program is used as the Geogebra, which facilitates reveal their qualities and potentials and
transform the educational didactic process of geometry. Levels of development of geometrical thinking are
taken into account, the stepwise formation of mental actions and teaching for a developer learning. Its practical
implementation in the provincial center of reference, revealed attitudinal changes of students towards the
subject and significant improvements in their learning.
Key words: Geometry; teaching; learning; activities.
1. INTRODUCCIÓN
En los momentos actuales, nuestro país está inmerso en la realización de profundas
transformaciones con la finalidad de hacer corresponder el modelo de hombre que ella
necesita con el sistema social que construimos, de manera tal que este pueda vivir en un
mundo donde el inevitable proceso de globalización impone nuevos retos dados por el
desarrollo de la ciencia, la técnica y las comunicaciones. Estas transformaciones en el
sector educacional se reconocen en Cuba como la tercera gran revolución educacional y
cultural.
La introducción de las computadoras personales y de programas de computación para la
enseñanza hacen que surjan varias interrogantes, tanto por parte de los docentes que
deben implementar su uso al desarrollar el currículum diseñado, como por los estudiantes
que deben utilizar los mismos; esto se da en las diferentes asignaturas y áreas del
conocimiento del que no escapa la enseñanza de la matemática y en particular de la
geometría.
Luego es necesario que se modifique la concepción tanto de la enseñanza como del
aprendizaje de la geometría. Esto implica un cambio en la manera de pensar de los
profesores y desde luego de diseñar las estrategias, las tareas independientes y actividades
extradocentes. Esto debe hacerse de manera que exista, en dependencia de las
condiciones concretas de escuela, alumnos y propias de la comunidad, la coherencia
necesaria para el éxito del proceso y que propicie un cambio en los modos de actuación de
los estudiantes hacia el aprendizaje y los hábitos de estudio.
Este trabajo fue resultado del proyecto de Investigación “Didáctica de las Ciencias Exactas”
y tiene como propósito contribuir al desarrollo de la creatividad de los profesores al mostrar
algunas de las posibilidades de utilización de las tecnologías de la Informática en el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la geometría. Para ello se diseñaron actividades teniendo
presente los principios de una didáctica desarrolladora y los niveles de pensamiento en esta
área de la matemática, los cuales evidencian en la práctica el cambio de actitud de los
estudiantes hacia la asignatura.
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Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 37
2. METODOLOGIA
2.1. Fundamentos teóricos
Desde el punto de vista psicológico, pedagógico y sociológico el trabajo se basa en la
concepción de aprendizaje reflexivo dado por E. A. Velázquez, L. G. Ulloa y J. L. Hernández
(2011), como "aquel en el que el sujeto se apropia de la experiencia histórico-social
acumulada durante el desarrollo de la humanidad, (…) por la puesta en práctica de una
intensa actividad reflexiva que le permite establecer sus propios procedimientos y
estrategias de solución, apoyados en sus experiencias y vivencias, para encontrar las
respuestas que correspondan, (…) aportando sus recursos, enriquecidos en la interacción
con otros, transformándose él y la realidad en que actúa, todo lo cual favorece su desarrollo
integral como personalidad".
En tal sentido, se considera con los siguientes atributos valorados de una forma integradora,
sin hiperbolizar ni menospreciar uno u otro. Es un proceso de apropiación individual de la
experiencia social, es regulado, se aprende en la actividad y como resultado de esta. En él
se debe potenciar el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia,
complementando la reestructuración y la asociación. Es cooperativo, contextualizado,
mediado por la existencia de los demás, a la vez que debe ser desarrollador.
También se toma como base los criterios de M. Escalona (2007), quien presenta la
mediación didáctica en un plano de los recursos informáticos como “…el diseño de
situaciones educativas donde el estudiante actúe, participe, construya, descubra y
redescubra el conocimiento mediante su interacción con los recursos informáticos, de modo
que se favorezca su aprendizaje y desarrolle un pensamiento crítico y creativo a través del
trabajo tanto individual como en colectivo”.
Asi, se precisa organizar el proceso de enseñanza-aprendizaje hacia la búsqueda activa
del conocimiento por el alumno. Para ello se hace necesario concebir actividades desde
posiciones reflexivas que estimulen el desarrollo del pensamiento y la independencia. Al
mismo tiempo, se debe fomentar formas de actividad y de comunicación colectivas,
estimulando la valoración y la interacción de lo individual con lo colectivo.
Existen tres características de las computadoras que poseen gran importancia desde el
punto de vista didáctico, las cuales deben ser valoradas por el profesor para decidir su
utilización como recurso en el desarrollo del currículum. Por una parte, estas proporcionan
una forma cómoda de gestionar y representar la información, permitiendo que el alumno
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dedique mayor atención al sentido de los datos y al análisis de los resultados. Otra de las
posibilidades es de ejecutar con gran rapidez dibujos, cálculos, entre otras órdenes de muy
distinto tipo, por lo que se pueden simular experiencias aleatorias, trazar gráficos, entre
otras actividades. La tercera característica es la de interactuar con el estudiante, que puede
intervenir en determinados momentos proponiendo datos o tareas nuevas en función de los
resultados que se van obteniendo, convirtiéndose en un poderoso instrumento de
exploración e indagación, todo lo cual hace que su uso sea altamente motivante.
El profesor debe valorar el tiempo que se necesita para el uso de asistentes matemáticos
como el que se emplea en esta propuesta o de otros como el geómetra. Al mismo tiempo
debe considerar en qué actividades utilizarlos de manera que se facilite la calidad del
aprendizaje, lo que incluye el manejo por los estudiantes de dichos asistentes. Esto, debe
hacerse desde con un análisis de las potencialidades y carencias que estos poseen para
lograr los objetivos trazados, ya sea en la clase o de apoyo a ella.
En la propuesta que se presenta en este artículo también se toma en consideración, por
una parte lo referido a la actividad, su estructura y su rol en el aprendizaje donde
particularmente desempeña un importante papel la formación por etapas de las acciones
mentales desarrolladas por Galperin y trabajadas en investigaciones como O. Joaquim
(2014), J. B. Juárez y M. R. Bonilla (2014), y otros. Por otra parte, los aspectos referentes
a la necesidad del aprendizaje cooperativo o colaborativo a partir del reconocimiento del
componente social del aprendizaje, del aprender con otros y de otros que en la psicología
social se conocen como Zona de Desarrollo Próximo (ZDP). Este supuesto permite valorar
desde perspectivas educativas, el trabajo que desempeña un sujeto con otros a favor de un
aprendizaje determinado, la importancia que se le asigna al compartir con otros abre nuevos
caminos para generar estrategias de enseñanza-aprendizaje centradas en el crecimiento
colectivo.
Se conoce, además, que uno de los objetivos de la matemática educativa está dirigido al
desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes. En particular la geometría posee
potencialidades inigualables para contribuir al cumplimiento del mismo, muy especialmente
si se tienen presentes al diagnosticar y diseñar las estrategias los niveles de Van Hiele
(1999) del desarrollo del pensamiento geométrico con sus fases. Sin embargo, también es
necesario considerar el nivel de actualización que sobre estos niveles se encuentran en
investigaciones de autores como Gamboa, R. y Vargas, G. (2013).
Como parte del proyecto de investigación, del que forman parte los autores, sobre el
aprendizaje del adolescente del 7
o
grado de la educación secundaria básica que se
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desarrolla en la provincia, se concibió la instrumentación de situaciones de aprendizaje.
Estas tomaron en consideración de forma dialéctica los elementos que aportan estas
teorías que se trataron, unidos a los de investigaciones desarrolladas por Escalona, M.
(2007); Rojas, O. (2009), Portilla, Y. (2012), S. Ballester (2013), O. Coloma (2015), y otros
que aportan elementos para elevar la calidad del aprendizaje al integrar las TIC a la
enseñanza-aprendizaje. De esta manera se buscó elevar el grado de efectividad del
aprendizaje aspirado por el modelo del egresado de este nivel educacional.
2.2. Propuesta realizada
Para el logro del propósito del trabajo, se utilizó el geogebra como programa computarizado
disponible. El mismo brinda un potencial extraordinario y posibilita transformar el proceso
de enseñanza - aprendizaje de la geometría en favor de lograr resultados más efectivos. El
programa se caracteriza por su versatilidad y fácil uso, además por interactuar de una forma
dinámica con los objetos geométricos, lo cual propicia a los alumnos experiencias de las
que antes no disponían. Además, este es un software matemático interactivo libre que
permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la
representación gráfica, el tratamiento algebraico y otras bondades muy útiles para el trabajo
educativo. Esto genera actividades, ejercicios y problemas más desarrolladores, diferentes
a los usuales con lápiz y papel.
La utilización de la computación en la exploración de los objetos geométricos, por parte de
los alumnos, permite que estos formulen conjeturas para analizar la variación o no de
propiedades y relaciones al modificarlas, obtener ideas para argumentar su validez, entre
otras cuestiones. Esto además favorece la comunicación y sus descubrimientos y que
sistematicen constantemente sus conocimientos, lo que hace que se desarrolle su
pensamiento matemático ya que se acercan al quehacer propio de los matemáticos.
Este proceso requirió el planteamiento y desarrollo de una serie de acciones que
posibilitaron concretar las ideas teóricas, las mismas se listan a continuación.
2.2.1. Acciones para crear las condiciones necesarias
La implementación de las actividades consistió en el proceso de ponerlas en
funcionamiento en la práctica escolar, la aplicación de métodos, el diseño de acciones, la
toma de decisiones y medidas para llevarlas a cabo exitosamente a través de varios
momentos. Estos incluyeron la selección de los profesores, el diseño de acciones de
preparación para crear las condiciones necesarias, entre otros como evaluación y
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perfeccionamiento de las propuestas. Algunas de las acciones implementadas se tratan a
continuación.
Preparar, tanto en la teoría como en la práctica, a los profesores en los presupuestos
antes expresados.
Esto se hizo a través de talleres y sesiones de debates sobre los diferentes aspectos de la
preparación. Estos contaron con diferentes técnicas participativas, estudio previo de
materiales, exposición de la interpretación de los mismos, entre otras características.
Instalar los programas computarizados.
Se instalaron en los laboratorios de informática tanto el geogebra como el geómetra para ir
generalizando las acciones a diversos asistentes matemáticos.
Desarrollar sesiones de trabajo para revisar las cualidades y potencialidades de los dos
programas.
Por presiones del tiempo fue imposible agotar esta, de manera que quedó como trabajo
individual profundizar en este sentido. Sin embargo, es necesario tratar de hacerlo de
manera presencial utilizando formas típicas de exposición, ejemplificación e ilustración para
mostrar cualidades como la interactividad, flexibilidad, extensibilidad, y transposición
didáctica que caracterizan la dinámica que adquiere el proceso en que participen estas
tecnologías.
Analizar la unidad que se quiera abordar.
Se trabajó en la Unidad de geometría del 7
o
grado. Se revisaron, entonces, los documentos
que recogen orientaciones metodológicas al respecto, de manera que facilitara la obtención
de ideas relacionadas con el empleo de las cualidades y potencialidades del programa
computarizado.
Valorar los resultados del diagnóstico integral aplicado por los profesores.
Aquí se tuvo en cuenta su evolución en lo que iba de curso y en particular de la unidad, así
como de las experiencias de los profesores al impartir estos contenidos. Además, se
consideraron las condiciones reales de utilización de los laboratorios de computación por
los estudiantes y profesores.
Diseñar las actividades por desarrollar.
Esto se hizo de manera que se tuvieran presentes los presupuestos teóricos de base.
Realizar sesiones de trabajo con los alumnos en el laboratorio de computación.
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Esto fue crucial para enseñarlos a interactuar con los programas, a la vez que se
diagnosticaban los conocimientos de los alumnos sobre los principales conceptos de los
entes y figuras que serían objeto de estudio. La intención es que todos sean capaces de
llegar a estos niveles en que, además de su pensamiento, utilizan herramientas acordes al
desarrollo tecnológico existente para la solución de los problemas.
Implementar las actividades diseñadas.
El trabajo en colectivo para establecer cómo concebir el desarrollo de las actividades
propició sugerir las siguientes orientaciones metodológicas:
2.2.2. Orientaciones metodológicas para ejecutar las actividades
Acorde con las actividades se sugiere la formación de equipos de tres o cuatro alumnos de
manera que se puedan distribuir las tareas para los diferentes casos, según el diagnóstico,
complejidad de las actividades y el tiempo disponible para su ejecución, así como realizar
oponencias del trabajo de un equipo a otro. Lo que se busca es garantizar un proceso
didáctico que promueva el ejercicio de la comunicación, la interacción y la crítica sobre las
propias soluciones, como condición necesaria para un aprendizaje desarrollador.
La orientación constituye un momento importante para el éxito del aprendizaje, el profesor
debe quedar bien seguro que los alumnos han comprendido qué deben hacer, por lo que el
control de la asimilación de las orientaciones dadas es indispensable. Aquí es importante
que se valore el dominio de los conceptos implícitos necesarios para enfrentar cada
actividad, de no dominarse se recomienda la búsqueda de los mismos por diferentes vías.
Se deben concebir sesiones de trabajo donde se socialicen los procesos empleados para
llegar a los resultados, así como los propios resultados. De tal forma es posible dar
seguimiento individual y colectivo a los estudiantes en su aprendizaje. Además, esto
contribuye a que se eduquen en ejercer la crítica y la autocrítica, el establecimiento de
juicios de valor, se autoevalúen y coevalúen, además de entrenarse en el uso del
vocabulario técnico de la asignatura. Es recomendable utilizar la opción "Histórico" lo que
posibilitará describir el procedimiento seguido, que servirá también como controlador del
mismo.
Las actividades deben ser combinadas con las consultas y estudios de los aspectos teóricos
que aparecen en las enciclopedias del programa libertad y en soporte electrónico encarta,
ecured, Wikipedia, con que se cuenta en las escuelas, además de los libros; donde tengan
que elaborar resúmenes y fichas de contenido. Estos pueden anteceder o no la actividad
asignada según sea el caso. Se sugiere que realicen tablas para sus anotaciones, las que
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les facilitarán el análisis de la información.
Es recomendable implicar al estudiante en la elaboración de sus propias macro
construcciones, que le facilitarían su propio estudio individual y reforzaría la solidez del
aprendizaje.
El planteamiento de las actividades debe de tener presente los niveles de desarrollo del
pensamiento geométrico (reconocimiento, análisis, clasificación, deducción formal y rigor)
con sus fases (información, orientación dirigida, explicación, orientación libre e integración)
y la formación por etapas de las acciones mentales (Elaboración de la BOA de tercer tipo,
formación de la acción de forma material, formación de la acción como verbal externa y
formación de la acción en el lenguaje interno).
2.2.3. Ejemplos de actividades diseñadas
Para sistematizar algunos de los axiomas de incidencia.
1- a) Traza dos puntos diferentes. b) Construye una recta que
pase por estos dos puntos. c) Construye otra recta distinta a
la anterior que pase por estos dos puntos. ¿Es posible? ¿A
qué conclusión llegas?
2- a) Traza un punto y denótalo. b) Traza una recta que pase por el punto anteriormente
trazado. (NOTA: Recuerda que las rectas deben trazarse a
partir de dos puntos diferentes). c) Traza varias rectas que
pasen por dicho punto. d) ¿Cuántas rectas será posible
trazar que pasen por un punto? Elabora una proposición que
exprese la conclusión a la que arribas.
Puedes comprobar los casos anteriores a través del doblado de papel, siguiendo un
procedimiento similar, lo único que tendrás es que doblar el papel tantas veces de manera
que se cumpla, pase por el (o los) puntos seleccionados. Verás que resulta interesante.
Para relaciones de ángulos entre rectas.
3- a) Traza dos rectas que se corten en un punto. Señaliza el
punto de intersección. b) Identifica y marca los ángulos,
clasifícalos en opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. c)
Mide las amplitudes de estos ángulos. Mueve por uno de los
puntos las rectas. d) A partir de la observación y el análisis del
comportamiento de las medidas de los pares de ángulos opuestos por el vértice y
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adyacentes ¿a qué conclusión llegas? ¿Qué ocurre cuando uno de los ángulos mide
90? ¿Qué relación de posición tienen las rectas?
Los propios estudiantes, con adecuada dirección del profesor, pueden llegar al
planteamiento de conjeturas sobre las propiedades de
la mediatriz de un segmento. Esta actividad,
conjuntamente con la número 9, se desarrolló en
Geómetra para mostrar también sus potencialidades.
4- a) Trazar un segmento y denotar sus extremos. b) Traza la mediatriz de ese segmento.
¿Qué aspectos tuvieron en cuenta para trazarla? c) Seleccionar un punto de la mediatriz
de manera arbitraria. d) Medir la distancia del punto sobre la mediatriz a los extremos
del segmento, desplaza dicho punto sobre la mediatriz y ve anotando la variación de las
distancias, ¿Qué ocurre? ¿A qué conclusión llegas?
Luego, cuando estudien los criterios de igualdad de triángulos podrán realizar una
demostración de esta propiedad, apoyándose en estos criterios. Por el momento se puede
realizar la búsqueda de todos los elementos iguales, tanto en el triángulo grande formado
por los extremos del segmento y el punto seleccionado sobre la mediatriz, como en los dos
pequeños que determina la mediatriz, reconocerlos, clasificarlos acorde con la amplitud de
sus ángulos, la longitud de sus lados, de manera que se pueda ir sistematizando los
conocimientos y preparando el camino para formas de pensamiento más formales. Un
trabajo similar se puede realizar con la bisectriz de un ángulo.
La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo es otra de las temáticas
más ricas para realizar el planteamiento de suposiciones o conjeturas y llegar a la
proposición a partir de la intuición con el apoyo de este
tipo de software.
5- a) Construye un triángulo cualquiera y denótalo. b)
Mide la amplitud de sus ángulos interiores y calcula su suma. c) Mueve dos de los
vértices de manera que obtengas diferentes triángulos. d)
Observa como varían las amplitudes de los ángulos
interiores. ¿Qué sucede con la suma de dichas amplitudes?
e) Valora a partir de los resultados anteriores si son posibles
estos casos: tener dos ángulos obtusos, dos ángulos rectos, un
ángulo obtuso y uno recto. En cada caso justificar la respuesta.
En el estudio de la relación entre los lados de un triángulo y los
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ángulos opuestos el geogebra, el geómetra y otros muchos más asistentes matemáticos
brindan posibilidades muy interesantes para llegar a elaborar la proposición de que en todo
triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
6- a) Traza un triángulo y denótalo. a) Mide sus lados y sus ángulos. b) Observa el lado de
mayor longitud y compara la amplitud del ángulo que se le opone con el resto de las
amplitudes de los ángulos interiores del triángulo ¿qué sucede? b) Observa el lado de
menor longitud y compara la amplitud del ángulo que se le opone con el resto de las
amplitudes de los ángulos interiores del triángulo ¿qué sucede? c) Mueva los vértices
del triángulo y verifica si sigue cumpliéndose esa relación. ¿A qué conclusión llegas? d)
Trata de lograr, moviendo dos vértices del triángulo la igualdad de dos lados. ¿Qué
sucede con las amplitudes de los ángulos opuestos a esos lados? e) Repite la operación
pero de manera que se igualen otro par de lados diferentes al caso anterior y observa
qué sucede. ¿y si se igualan los tres lados qué sucede con los ángulos? g) ¿A qué
conclusión llegas?
Para el estudio de las rectas notables y sus propiedades.
7- Mediatriz:
a) Traza un triángulo definido por tres puntos y denótalos.
b) Traza la mediatriz de uno de los lados del triángulo. ¿Qué aspectos tuvieron en
cuenta? (Recordar las propiedades y mostrar variaciones del triángulo para confirmar
su generalidad).
c) Fíjate en la mediatriz trazada. ¿Pasa por el vértice opuesto al lado? (Como
regularidad no lo hace)
d) Mueve dicho vértice opuesto hasta lograr que el mismo se
encuentre situado sobre la mediatriz. ¿Es posible? ¿Qué
sucede con las longitudes de los lados que conforman el
vértice? ¿Qué sucede con las amplitudes de los ángulos
correspondientes a los otros vértices? ¿Qué tipo de
triángulo sería? (Sí es posible, y tanto las longitudes como
las amplitudes son iguales porque sería un triángulo isósceles)
e) Transforma el triángulo de manera que varíe la longitud del lado al cual se ha
construido la mediatriz y se mantenga la condición dada en el inciso d). ¿A qué
conclusión puedes llegar?
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f) Traza la mediatriz de otro lado. ¿Qué relación de posición tienen las dos mediatrices
trazadas? (Se cortan o intersecan en un punto)
g) Traza la mediatriz del tercer lado. ¿Qué sucede con las tres mediatrices? (Se cortan
o intersecan en un único punto común)
h) Transforma el triángulo en otro cualquiera, moviendo uno o dos de los vértices ¿Qué
sucede con las tres mediatrices? (Se mantiene la relación de posición)
i) Si las tres mediatrices tuvieran un punto común de intersección denótalo por O. Trata
de lograr que las tres mediatrices pasen por los vértices opuestos. ¿Es posible?
¿Qué ocurre con las longitudes de los lados y las amplitudes
de los ángulos interiores del triángulo? Clasifica el triángulo.
(Sí es posible, y tanto las longitudes como las amplitudes
son iguales porque sería un triángulo equilátero, y por tanto
acutángulo)
j) Mueve los vértices del triángulo hasta lograr que los tres ángulos interiores sean
diferentes. Traza los segmentos que tienen un extremo en el punto O y el otro en
cada uno de los vértices del triángulo. Mide la longitud de estos segmentos. Compara
estas longitudes y diga cómo son. ¿Qué puede decir del punto O y los vértices del
triángulo? (Las longitudes son iguales y el punto O es equidistante de los vértices)
k) Mueve los vértices del triángulo para ver qué pasa con la relación de los segmentos
medidos en el inciso anterior. ¿Se mantiene o no? (Se
mantiene)
l) Traza la circunferencia definida por el punto O como centro
y cualquiera de los vértices del triángulo. ¿Qué sucede?
¿Cómo se llama esta circunferencia trazada con respecto al
triángulo? (Como el punto O equidista de los tres vértices es el circuncentro del
triángulo, es el centro de la circunferencia que pasa por los
tres vértices del mismo, la que se llama circunferencia
circunscrita)
m) Mueve los vértices del triángulo. ¿Se mantiene la relación de
posición entre estos y la circunferencia trazada? (Se
mantiene)
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n) Mueve los vértices del triángulo hasta que el punto O sea: interior al triángulo; exterior
al mismo; esté sobre uno de sus lados. ¿Es posible? ¿Qué
sucede en cada caso? ¿En el tercer caso qué amplitud tiene el
ángulo opuesto a este lado? ¿Qué generalidad puedes
verificar con respecto a la clasificación del triángulo teniendo
en cuenta la amplitud de sus ángulos? (Sí es posible en cada
caso y en el tercero se verifica el teorema de Thales. Como
generalidad el triángulo es acutángulo, obtusángulo o
rectángulo si el circuncentro es respectivamente un punto
interior, exterior o está sobre uno de sus lados)
o) ¿Con todo el trabajo realizado hasta aquí a qué conclusiones llegan?
Otras interrogantes posibles serían: ¿Puede una mediatriz coincidir con alguno de los lados
del triángulo? ¿Es siempre el circuncentro de un triángulo un punto interior de dicho
triángulo? ¿Puede coincidir con alguno de sus vértices? ¿Puede estar situado en alguno de
sus lados? Si el circuncentro está en un lado del triángulo ¿cómo se clasifica el triángulo
atendiendo a la amplitud de sus ángulos? ¿y atendiendo a la longitud de sus lados?
De manera similar se pueden realizar para el resto de las rectas notables con la adecuación
a las características de cada una.
Para realizar el planteamiento de suposiciones o conjeturas y llegar a la proposición a partir
de la intuición, sobre la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un cuadrilátero
convexo.
8- a) Traza un cuadrilátero convexo cualesquiera y
denotarlo. b) Mide las amplitudes de sus ángulos. c)
Determina la suma de las amplitudes de sus ángulos. d)
Transforma el cuadrilátero construido, moviendo dos o tres vértices, en los diferentes
tipos de cuadriláteros que conoces. e) Anota cómo se comporta la suma de las
amplitudes de los ángulos interiores. ¿A qué conclusiones llegas?
Al abordar algunas de las propiedades del paralelogramo se diseñó la siguiente actividad.
9- a) Construye un paralelogramo y denota sus vértices. b)
Traza las diagonales del mismo y determina la longitud
de estas y la amplitud del ángulo agudo que se forma
entre ellas. c) A partir del movimiento de tres vértices
transforma el paralelogramo dado en: Rectángulos de
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diferentes tamaños. Cuadrados de diferentes tamaños. En rombos de diferentes
tamaños. d) Anota en cada caso, según la tabla sugerida, el valor de las longitudes de
las diagonales y la amplitud del ángulo que ellas forman, realiza un análisis de las
anotaciones realizadas. ¿Qué puedes decir en cada caso?
Estos recursos didácticos también son muy útiles en el trabajo con propiedades de los
ángulos inscritos en una circunferencia. Para llegar a la igualdad de las amplitudes de
ángulos inscritos sobre un mismo arco, así como elaborar el teorema de Thales sobre los
triángulos que tienen un ángulo interior inscrito sobre el diámetro, se pueden utilizar
actividades como la siguiente.
10- a) Construye una circunferencia de centro O y cualquier radio. b) Traza un arco y
designa sus extremos por A y B respectivamente. c) Selecciona un tercer punto que
pertenezca a la circunferencia, denótalo por C. d) Determina la amplitud del ángulo
ACB. e) Mueve el punto C sobre el arco capaz de AB, observa el comportamiento de la
amplitud del ángulo ACB ¿Qué puedes suponer? ¿Cuál es tu
conclusión? f) Construye la cuerda AB. ¿Qué sucede si la cuerda
llega a ser la máxima (el diámetro)? ¿Qué parte de la
circunferencia sería el arco AB? ¿Qué amplitud tiene? ¿Cómo
podría enunciar esta proposición?
En cada caso se les debe solicitar a los estudiantes que realicen
búsquedas en la bibliografía orientada de proposiciones o
propiedades similares o iguales a las que ellos han elaborado. Al
mismo tiempo, es imprescindible que estos compartan con los
compañeros sus resultados y elaboren proposiciones. Con esto se
potencia la etapa verbal, para que los estudiantes interactúen entre
ellos y puedan transitar el camino del pensamiento que les permite su entendimiento de los
conceptos geométricos a las palabras que deben ofrecer para explicar los rasgos y
propiedades a sus compañeros o al profesor, como uno de los factores determinantes en
el desarrollo individual de cada uno de ellos, de manera que les permita internalizar dichos
conceptos y aplicarlos a lo largo de sus vidas.
Como consecuencia, la base del aprendizaje de los estudiantes no es la simple observación
o escuchar la información sobre el tema. Las relaciones, enlaces y procedimientos entre los
elementos que componen el contenido de los conceptos involucrados se convierten en una
condición necesaria para la acción mental. Se propone estimular la gradual, paulatina y en
ocasiones imperceptible conversión de acciones externas a acciones intelectuales internas,
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y esto es creado en un proceso que ocurre poco a poco en la interacción entre los
estudiantes y profesores, con múltiples situaciones de aprendizaje que contengan
ejercicios, problemas y actividades. Lo que se busca es garantizar un proceso didáctico que
promueva el ejercicio de la comunicación, la interacción y la crítica sobre las propias
soluciones, como condición necesaria para un aprendizaje desarrollador.
2.3. Impacto de implementación de las actividades
La escuela escogida fue el centro de referencia provincial. Al utilizar las herramientas de la
estadística matemática para la determinación del tamaño de la muestra objeto de estudio
con un muestreo irrestricto aleatorio (MIA), se determinó un tamaño de muestra máximo
para un nivel de significación del 95% y un error de muestreo de 0,15. Así, la cantidad de
estudiantes seleccionados del 7
o
grado fue de 36.
Para la determinación de la cantidad de estudiantes por cada grupo para el estudio se utilizó
el muestreo estratificado con distribución proporcional (Tabla 1) y para la selección el
muestreo aleatorio simple. Así se garantizó que la muestra tuviera calidad y tamaño
apropiados para hacer mínimos los errores de muestreo y fuera representativa para el
estudio que se hizo.
Tabla 1: Distribución de la muestra seleccionada por cada uno de los grados
Escuela
7
o
-1
7
o
-2
7
o
-3
7
o
-4
7
o
-5
7
o
-6
7
o
-7
7
o
8
o
9
o
Población
751
30
29
30
29
31
33
30
212
274
265
Muestra
36
5
5
5
5
5
6
5
36
0
0
Frecuencia
0,17
0,17
0,17
0,17
0,16
0,18
0,17
0,17
Desde el propio inicio de la etapa de familiarización, a los alumnos se le facilitó tiempo de
máquina con los programas computarizados, para que fueran elaborando hojas de trabajo
donde hicieran construcciones y mediciones de las diferentes figuras planas que conocían.
Esto fue provocando en los estudiantes el despertar de un interés no usual hacia la
geometría, en la medida en que iban descubriendo las potencialidades de los mismos.
Al comenzar la implementación de las actividades diseñadas se notó que los estudiantes
se vieron en la necesidad de hacer un uso frecuente del vocabulario técnico de la asignatura
para poder expresar los procedimientos utilizados. Tal escenario facilitó el desarrollo y la
fluidez en su utilización, así como la concienciación del empleo de los conceptos implicados.
En este proceso se verificó que la utilización de los asistentes matemáticos como el
La Didáctica de la Geometría en Función del Desarrollo Tecnológico de la Pedagogía Contemporánea
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 49
geogebra posibilita que el alumno despliegue su conocimiento al abordar los ejercicios,
problemas y actividades que se presentan. Al mismo tiempo, este comparte sus
conocimientos y necesidades con otros. Esto provocó en los estudiantes cambios de actitud
ante la asignatura, sintiéndose descubridores del conocimiento.
Uno de los aspectos más apreciables fue la posibilidad de sistematizar los conocimientos
geométricos anteriores. En la implementación de las situaciones de aprendizaje surgieron
nuevas discusiones, o posibles interrogantes que podían haber sido incluidas en ellas. Lo
que denotó la necesidad de someter bien a debate por parte de los profesores los ejercicios
diseñados.
3. CONCLUSIONES
Los estudiantes de los distintos niveles educacionales en Cuba, junto a los demás
involucrados en el proceso didáctico de la matemática, necesitan un salto cualitativo en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría. Esto permite optimizar esta actividad
con el desarrollo de un nuevo tramado de relaciones orientado a considerar la incorporación
de las nuevas tecnologías de información y la comunicación en la implementación de
situaciones dirigidas a la actualización didáctica que se necesita para desarrollar clases
contemporáneas, en un proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática acorde con
el desarrollo tecnológico actual.
Las actividades propuestas tienen como bases los niveles de desarrollo del pensamiento
geométrico, la formación por etapas de las acciones mentales y la didáctica para un
aprendizaje desarrollador. Esto prepara al estudiante para enfrentar una forma de
pensamiento de un nivel de desarrollo más formal; permite el manejo del vocabulario
técnico de la asignatura, en tanto que tiene que compartir o socializar lo aprendido, lo cual
también favorece lo desarrollador y posibilita la sistematización de los conocimientos, pues
los alumnos siempre tendrán que partir de los elementos más elementales a los más
complejos.
Es necesario que los profesores pongan en ejercicio todas sus capacidades, esfuerzos y
voluntad para el cambio de una nueva forma de pensar y actuar, como parte de las
transformaciones que se vienen desarrollando en la educación secundaria básica actual, y
la disponibilidad de nuevos medios y recursos. La propuesta que se presenta en este
artículo puede contribuir a ello, pues promueve clases en las que los estudiantes ofrecen y
reciben ayudas entre ellos, en función de sus diferentes zonas de desarrollo próximo. Esto
Lic. Henry Fernández Rodríguez et al.
50
se logra a partir de una planificación que contempla también la esfera inductora de la
personalidad de los estudiantes que participan, en un proceso de colaboración que
involucra sus particularidades.
4. REFERENCIAS
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Evento Internacional MATECOMPU´2013, Matanzas Cuba.
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