Publicación Cuatrimestral. Vol. 3, Año 2018, N
o
2 (77-95)
NÚMEROS PRIMOS; MÉTODO GRÁFICO DE LA CONJETURA
DE GOLDBACH
Ing. Yandry Intriago Delgado
1*
1
Docente a tiempo completo: de la Unidad Educativa Fiscal Rocafuerte.
*
Autor para la correspondencia. E-mail: yanmar83@hotmail.com
Recibido: 7-3-2018 / Aceptado: 2-7-2018
RESUMEN
Mediante el uso de Microsoft Excel el siguiente trabajo examina las tablas de multiplicar desde una perspectiva
distinta, con un método sencillo para encontrar la secuencia de los números primos en la línea continua de
los números naturales
, y así luego se identifican gráficamente los números que cumplen con la Conjetura
de Goldbach, al realizar una triangulación con líneas que unen la series de los y
; siendo la notación:
el cuadrado de los números naturales. A continuación, se trazan diagonales paralelas a las sucesiones
y
únicamente en cada elemento primo de la línea de los y así se obtienen intersecciones que
cumplen con la conjetura fuerte de Goldbach. Se aplican fórmulas para calcular el número mínimo de
intersecciones que se generan en un conjunto de los consecutivos. Así mismo, para obtener la conjetura
débil de Goldbach, se puede usar el gráfico ya antes mencionado, y se emplean fórmulas combinatorias. Este
método permite identificar el intervalo de afectación que tiene un elemento primo en la secuencia de los
naturales y modelar una línea continua, que revela un gráfico similar al que se conoce como cometa de
Goldbach.
Palabras clave: Gráfico, números primos, conjetura de Goldbach.
PRIME NUMBERS; GRAPHIC METHOD OF THE GOLDBACH
CONJECTURE
ABSTRACT
By the use of Microsoft Excel the following work examines the multiplication tables from a different perspective,
with a simple method to find the sequence of the prime numbers in the continuous line of the natural numbers
(), and then we can graphically identify the numbers that comply with the Goldbach Conjecture, when making
a triangulation with lines that join the series of the and
, in this article the notation:
is the square of the
natural numbers. Next, diagonals are drawn parallel to the sequence
and
only in each prime element
of the line of the and thus intersections are obtained that meet the strong conjecture of Goldbach.
Formulas are applied to calculate the minimum number of intersections that are generated in a set of
consecutive. Likewise, to obtain the weak Goldbach conjecture, the aforementioned graph can be used,
and combinatorial formulas are used. This method serves to identify the range of affectation that a prime
element has in the sequence of the natural numbers, and to model a continuous line, which reveals a graph
similar to what is known as Goldbach's comet.
Key words: Graph, prime numbers, Goldbach conjecture.
Artículo de Investigación
Ciencias
Matemáticas
Ing. Yandry Intriago Delgado
78
NÚMEROS PRIMOS; MÉTODO GRÁFICO DA CONJECÇÃO DE
GOLDBACH
RESUMO
Utilizando Microsoft Excel o seguinte trabalho examina as tabuadas de multiplicação desde uma perspectiva
diferente, com um método simples para encontrar a sequência dos números primos na linha contínua dos
números naturais (), e então, se identificam graficamente os números que cumprem com a Conjetura de
Goldbach, quando se realiza uma triangulação com linhas para unir as séries dos e
, sendo a notação:
o quadrado dos números naturais. Em seguida, as diagonais são desenhadas paralelamente às
seqüências
e
somente em cada elemento primo da linha do e, assim, são obtidas interseções
que cumprem a Conjetura forte de Goldbach. As fórmulas são aplicadas para calcular o número mínimo de
interseções que são geradas em um conjunto de consecutivos. Da mesma forma, para obter a Conjetura
fraca de Goldbach, o grafo acima mencionado pode ser usado, com fórmulas combinatórias. Este método
permite identificar o alcance de envolvimento que um elemento primo tem na sequência dos naturais e
modelar uma linha contínua, o que revela um gráfico similar ao que é conhecido como cometa de Goldbach.
Palavras-chave: Gráfico, números primos, conjetura de Goldbach.
1. INTRODUCCIÓN
Mediante el uso de números primos () acomodados en un esquema gráfico, se demuestra
la forma que posee la Conjetura de Goldbach para los 94 primeros . Debido a la
complejidad de abordar este tema con el uso de matemáticas avanzadas, se creó este
sencillo método visual que permite tener una perspectiva distinta de la hipótesis que formuló
Christian Goldbach, quien aseveró que: “Todo número par se puede representar como la
suma de 2 números primos”.
Para este procedimiento, se toma como referencia la secuencia infinita de los números
naturales (), que se relacionan con la sucesión de los (
) dentro de una especie de tabla
de multiplicar. Al tomar únicamente los elementos primos, resultan intersecciones que son
proyectadas en la línea de los números pares (
). Mediante un cálculo analítico se obtiene
como resultado la cantidad de intersecciones existentes para un determinado elemento primo
evaluado. De acuerdo a la distribución resultante, el crecimiento de al infinito, refleja que
mientras mayor valor numérico posea el
evaluado, existirán más combinaciones de
que formen dicho elemento par.
Incontables mentes brillantes han abordado esta temática, algunos de ellos le dan un enfoque
distinto; como se lo hace en: The Number Mysteries (du Sautoy, 2010) y “La Soledad de los
Números Primos” (Giordano, 2010). Otros autores, apegados al rigor matemático; analizan
la distribución para números pares extremadamente grandes, utilizando algoritmos
complejos, que demuestran que la conjetura es válida. En mayo de 2013, se publicó un
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 79
artículo en el cual se demostraba la llamada conjetura débil de Goldbach, la cual asevera
que: “Todo número impar se puede expresar como la sumatoria de 3 números primos”,
(Helfgott, 2013).
2. NÚMEROS PRIMOS
Un número es primo cuando es un número natural mayor que 1; que solo tiene dos divisores
naturales: el propio número y el 1. (Maor, 2006). Los números naturales están formados
por: números pares ( o 2 y números impares .
Los están formados por los números compuestos impares y los números primos
Se tomará en cuenta la tabla de multiplicar mostrada en la figura 1:
Figura 1. Tabla de multiplicar convencional.
A continuación, se trazan 2 líneas, una que corresponde a la secuencia numérica infinita
;( +1)
;(+2)
;(+3)
;(+4); y la otra, corresponde a la diagonal con pendiente
positiva:
;( +1)
2
;(+2)
2
;(+3)
2
;(+4)
2
; como se representa en la figura 2:
Figura 2. Tabla de multiplicar modificada de secuencia y
.
Esta distribución sigue la secuencia de las tablas de multiplicar, en este caso; el 5to elemento
(tabla del 5). Tal como se muestra en la figura 3:
5
10
15
20
25
4
8
12
16
20
3
6
9
12
15
2
4
6
8
10
1
2
3
4
5
Ing. Yandry Intriago Delgado
80
Figura 3. Tabla de multiplicar modificada.
A partir de la fila 2 se encuentran los números compuestos, los impares que constan dentro
de esta delimitación no son números primos. Para poder delimitar cuál es, y cuál no es primo;
usaremos el método de eliminación en la secuencia ; realizando así, una especie de criba
de Eratóstenes Ácido.
Figura 4. Definición de números compuestos en el gráfico.
2.1. Triangulación
Este método de identificación de números compuestos se basará en el uso de 2 tipos de
triángulos: triángulo rectángulo y triángulo isósceles
2.1.1. Triangulo rectángulo
Figura 5. Método del triángulo rectángulo.
Los números que estén dentro del triángulo y sobre la segunda fila se excluyen de la
secuencia . En la figura 5. los números impares: 9, 15, 21, 25, 35,49; fueron eliminados de
la secuencia de los naturales; por lo tanto, los que no constan a partir de la fila 2 son
elementos primos. En este tipo de triángulo se evalúa la secuencia numérica entre y
en
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 81
las diagonales desde 1 hasta por el lado de la secuencia ; y desde 1 hasta
(en la
secuencia
); Ejemplo para =7 entonces;
=49.
2.1.2. Triangulo isósceles
Figura 6. Método del triángulo isósceles.
Si se suma en la secuencia de los naturales (base del triángulo de la figura 6) los números
impares del 1 al 13, da como resultado el número 49; que es múltiplo de 7, con esto se deduce
que: 13 es el séptimo impar. Ejemplo 1. Se suman los impares consecutivos hasta llegar al
impar que se está evaluando: 1+3+5+7+11+13 = 49.
La suma de los números impares consecutivos desde el 1 hasta el impar ) que se evalúe,
siempre es un elemento de la secuencia
cuya raíz cuadrada será un número (
) que
represente el ordinal del impar evaluado. En las figuras 7a y 7b se puede apreciar el
comportamiento que tienen las secuencias ,
y
Figura 7.a. Figura7. b.
Esta triangulación se realizará siempre desde cualquier
, tal como se lo aprecia en la figura 8.
Ejemplo 2: El dígito 9 no puede ser número primo, porque es múltiplo de 3; además de ser un
elemento que se encuentra en la secuencia
.
Figura 8. Evaluación de elementos compuestos en secuencia .
Ing. Yandry Intriago Delgado
82
Se eliminan los elementos compuestos impares de la secuencia como se lo muestra en la
figura 9; son:9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,63,65,75,77,81,91,99; cabe recalcar, que
para este procedimiento, mientras el se aleje más del primer dígito (número 1), en su
respectiva triangulación, se obtendrá una mayor cantidad de elementos suprimidos de la
secuencia . En este caso en particular, solo faltaría el número 85 para tener la distribución
de los primos, en los 100 primeros números naturales. Luego de la eliminación se obtendrá
una imagen como la que se muestra en la figura 10, misma que servirá para poder calcular
los números pares que resultan de la unión de 2 primos.
Figura 9. Evaluación de elementos primos eliminando los números pares.
Figura 10. Secuencia gráfica de números primos.
2.2. Suma de números primos y conjetura de Goldbach
Christian Goldbach (1690-1764) formuló la siguiente conjetura: “Todo número par mayor que
2 puede escribirse como la suma de 2 números primos”.
Para determinar gráficamente dicha conjetura, se utilizará la secuencia de la figura 10 y la
triangulación isósceles antes mencionada. Para no usar muchos triángulos que
sobrecargarían el gráfico, se trabajará con líneas que emulen la inclinación que estos
generan; tal como se muestra en la figura11:
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342
17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323
16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285
14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266
13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228
11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 83
Figura 11. Forma en la que se generarán las líneas de la demostración.
Por cada número primo se trazarán 2 líneas diagonales; una hacia la izquierda, otra hacia la
derecha, y se contrastarán sus intersecciones. Luego, en la columna donde se dan los cruces;
se toma como referencia la fila que corresponde a la secuencia 2 (tabla del 2 o fila 2).
Ejemplo 3. En la figura 12 en el número 5; específicamente en el elemento compuesto 15,
las líneas que generaron la intersección fueron los primos; 3 y 7, se toma como referencia la
columna correspondiente y se relaciona con la fila o secuencia 2, verificando así que el
número resultante es 10, lógicamente éste se forma por la suma de los primos: 3 y 7, antes
mencionados.
Figura 12. Intersecciones generadas.
Ejemplo 4: Así pues, se tomará otro número: La columna del número 12 tiene 3 intersecciones
en: 24, 72 y 96; esto quiere decir, que el número 24 (12+12) tiene 3 posibles resultados; luego
se comprueba que las cifras en donde se generaron las intersecciones cumplen con la
condición antes mencionada: 11+13; 7+17; 5+19.
2.3. Combinaciones con otros números primos
Para conocer la cantidad mínima de intersecciones que se generan hasta un determinado
número primo, es necesario analizar el siguiente gráfico, en donde hay que tomar en cuenta
el ordinal de cada número primo (excluyendo por el momento del cálculo al número 2 que es
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el primer elemento primo). Cada número primo se relacionaría (n-1) veces con los elementos
primos que le anteceden. Este símbolo se utilizará para expresar mediante la suma de
Gauss, la cantidad mínima de intersecciones que genera un primo al intersectarse con otros
que le preceden. El número 2 (único par) genera solo 1 intersección (2+2=4)
-1) +1 =
cada número primo genera
intersecciones.
Ejemplo 5. Con la secuencia corta de números primos :(2) 3 5 7 11 13 17 19, se analizará el
impar 11 (5to número primo). Para este cálculo será considerado como 4to número primo; el
impar 11 generará 4 intersecciones como se muestra en la figura 13.
Figura 13. Intersecciones que genera el número primo 11.
Ejemplo 6. En la figura 14 se examinará el número 19; que es el séptimo número primo, este
generará 7 intersecciones.
Figura 14. Intersecciones que genera el número primo 19.
Para calcular el número total de intersecciones que se den hasta el número primo que es
objeto de análisis, se usará la fórmula de la suma de Gauss. A la misma se le aumentará el
digito +1, que corresponde a la suma de: 2+2=4; obteniendo como resultado la ecuación (3);
en ésta, representa al número ordinal del elemento primo evaluado:
Aplicando un poco de matemática básica, se consigue la expresión equivalente (4); la que al
igual que (3) siempre generará números enteros.
(3)
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 85
Ejemplos:
Calcular a continuación el número de intersecciones mínimas que genera cada número
primo:
Ejemplo 7.: El primer número primo:
(2) 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
El número 3.
Se comprueban las 2 intersecciones, tal como lo indica la figura 15:
2+2=4
3+3=6
Figura 15. Número de intersecciones mínimas para el número 3.
Ejemplo 8. El tercer número primo:
(2) 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71, es el número 7.
Este elemento primo generará 7 posibles combinaciones, como se muestra en la figura 16.
Figura 16. Número de intersecciones mínimas para el número 7.
Ejemplo 9. El séptimo número primo:
(2) 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67, es el número 19. Con la fórmula
(4):
Las 29 intersecciones serían entonces:
(4)
=2
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86
2+2=4 11+11=22 3+3=6 5+17=22 3+5=8 3+19=22 3+7=10
11+13=24 5+5=10 7+17=24 5+7=12 5+19=24 7+7=14 13+13=26
3+11=14 7+19=26 5+11=16 17+11=28 3+13=16 13+17=30 7+11=18
11+19=30 5+13=18 13+19=32 7+13=20 17+17=34 17+3=20 17+19=36
19+19=38
En la figura 17 se muestran los lugares donde existen intersecciones hasta el elemento primo
19. A cada número primo le corresponde trazar una línea hacia la izquierda como la de la
secuencia
(Figura 7.b.). Luego de ser evaluado este número, generará una línea con
la misma inclinación y dirección de
la cual se dirigirá hasta el infinito.
Ejemplo 10. El 167avo número primo: 997. En esta ocasión se evaluará con la expresión
equivalente (3).
2.4. Gráfico de las intersecciones
Cada elemento de se intersecta con los elementos primos que le anteceden en una
distribución; que tiene su afectación desde el ordinal (
que le corresponde como número
impar (en la secuencia ), hasta el primo evaluado.
En la figura 18 si se toma en cuenta el número 19, se nota que su alcance en diagonal llega
hasta el número 100, cuya raíz cuadrada es 10; es decir, 19 es el décimo número impar. La
distribución de las intersecciones afectará en este caso a partir de n_i=10, hasta llegar al
número 19.
Figura 17. Número de intersecciones mínimas para el número 19.
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 87
Figura 18. Explicación Gráfica de la zona de distribución de intersecciones para el número 19.
Se realizará el siguiente análisis con gráficos que demuestren esta distribución. El primero
de ellos corresponde a los números: 2 y 3 (figura 19), estos números solo se relacionan
consigo mismo.
Figura 19. Número de intersecciones para los primeros números primos 2 y 3.
A continuación, se analizarán los números 5 y 7 en las siguientes figuras:
Figura 20.a. Distribución del número 5 Figura 20.b. Distribución del número 7
Tómese como referencia solo los números primos () dentro de la secuencia ; Los
elementos impares compuestos no serán objeto de análisis para este método.
En la figura 20.a. el primo 5 se triangula con el elemento de
que le corresponde (número
9); luego, en la secuencia de los naturales se relaciona con el número 3, que es la raíz
cuadrada del número 9; tal y como ya se había dicho anteriormente. Esto significa que el 5,
es el tercer número impar.
Entonces, desde ese punto se comenzará a marcar la secuencia de los números impares;
desde el 1 hasta llegar al elemento que se está evaluando, mismo que siempre coincidirá con
9 18 27 36 45 63 72
8 16 24 32 40 48 56 64
7 14 21 28 35 42 49 56
6 12 18 24 30 36 42 48
5 10 15 20 25 30 35 40
4 8 12 16 20 24 28 32
3 6 9 12 15 18 21 24
2 4 6 8 10 12 14 16
1 2 3 4 5 6 7 8
8 16 24 32 40 48 56 64
7 14 21 28 35 42 49 56
6 12 18 24 30 36 42 48
5 10 15 20 25 30 35 40
4 8 12 16 20 24 28 32
3 6 9 12 15 18 21 24
2 4 6 8 10 12 14 16
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 5 7
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88
el número primo que es objeto de estudio. El número 5 tiene 2 intersecciones, una con el
número 3 y otra consigo mismo; por eso, están marcadas de color gris. A continuación, en la
figura 20.b. se evaluará el número 7 que es el tercer elemento primo; nótese que la
secuencia se repite sin novedades por el momento.
Esto no siempre será una constante, pues la secuencia de los números primos es una
sucesión variante, tal como se vio en (2.1.). El número 9 no pertenece a la secuencia de los
, pues está dentro de los números impares compuestos. Al aplicar la misma relación, el 11
vendría a ser el 6to número impar. Desde ese punto se empieza a marcar la secuencia de
los números impares; en este caso, la posición del 5to elemento impar no es un número
primo, por lo tanto, se dejará en blanco el casillero que le corresponde. En resumen, hay 6
elementos impares en esta secuencia, pero solo 4 de ellos son elementos primos (el 1
también está excluido pues no es un elemento de ). Las flechas de la figura 21 indican los
lugares que toca la diagonal de la triangulación para el primo 11; nótese, que los espacios
donde no hay intersección; son los mismos lugares de la secuencia impar que no poseen
números primos.
Figura 21. Distribución del número 11.
En la figura 22 se puede apreciar la distribución que presenta el dígito 17.
Figura 22. Distribución del número 17.
Luego de esto se formará una distribución, en la que colocaremos los siguientes datos:
1) Números de la secuencia , en donde, los elementos primos serán resaltados.
2) Números de la secuencia par, es decir, 2 (que representa a los dígitos pares).
3) En 2 columnas se colocarán: números primos y su secuencia ordinal.
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 3 5 7 9 11 13 15 17
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
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Números compuestos
Intersecciones de números primos
Números Primos
4) Además, se necesitará las secuencias de los números impares compuestos y primos
que recientemente se definió.
Figura 23. Símbolos del gráfico.
A continuación, en una serie de gráficos, (Figura 24) se mostrará cómo va creciendo la
secuencia numérica en función de los elementos primos:
Figura 24.a. Número de intersecciones para 2 y 3. Figura 24.b. Número de intersecciones para el número 5.
Figura 24.c. Número de intersecciones para el número 7. Figura 24.d. Número de intersecciones para el número 11.
Figura 24.e. Número de intersecciones para el número 13. Figura 24.f. Número de intersecciones para el número 17.
NUMERO PRIMO
ORDINAL
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Ing. Yandry Intriago Delgado
90
Figura 24.g. Número de intersecciones para el número 19. Figura 24.h. Número de intersecciones para el número 31.
Para finalizar; debido a que los gráficos en este nivel no representan novedad alguna, se
continuará evaluando con este método hasta llegar a un número primo que sea algo
significativo. Para este caso en particular se llegó hasta el 94avo elemento primo, que le
corresponde al número de secuencia : 499 (este elemento es en realidad el 95avo primo,
porque en este procedimiento se excluye el número 2). Es un proceso extremadamente
largo realizar esta distribución y mostrarla una a una en secuencia, tal como se lo hizo en
las figuras 24 (desde 24.a hasta 24.h.). De acuerdo a las fórmulas (3) o (4) equivalen a
4466 intersecciones; en tal virtud y como es conocido; la secuencia siempre irá creciendo.
Luego de acortar un poco la secuencia y de hacerle un zoom a la distribución resultante,
claramente se aprecia en la figura 25 que; la cresta de esta gráfica está conformada por los
elementos primos que se encuentran dentro de los 100 primeros números naturales, pues
estos están próximos a la relación de proporción 1:1 entre impares compuestos y primos.
Hay partes en las que se diferencia mayor contraste de las líneas de color amarillo. Esto se
debe a que el paso entre primo y otro, involucra un mayor alejamiento de estos en la
secuencia y, por ende, empieza a crecer la cantidad de elementos pares que no son el
resultado de la unión de números primos.
El análisis gráfico deja notar que cuando ocurren saltos significativos hay números primos
relativamente próximos en cada “orilla” del salto que se produjo. Los números primos y, más
aún, los denominados gemelos, ayudan en todo caso a que se creen líneas casi continuas;
en donde se tiene la sensación de que existe un borde. Análogamente, los saltos serían como
el cauce de un río y los bordes, sus orillas. Hasta el momento se ha evaluado poco;
relativamente hablando, pero si esta secuencia sigue creciendo; probablemente seguiría la
misma distribución, en donde la distancia de un primo a otro puede ser cada vez mayor dentro
de la secuencia continua .
NUMERO PRIMO
ORDINAL
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
NUMERO PRIMO
ORDINAL
31 11
29
10
23
9
19
8
17
7
13
6
11
5
7
4
5
3
3
2
2
1
secuencia N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62
secuencia par(x2) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
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Figura 25. Gráfico resultante de la evaluación de 94 elementos primos consecutivos.
Si se quiere evaluar un primo grande hay que recordar que éste se relacionaría con cada
elemento primo que le antecede, desde el número 3 hasta la cifra impar que está siendo
evaluada, y la cantidad de sus intersecciones están relacionadas con el número del ordinal
que le corresponde como elemento primo.
Ejemplo 11: El número 5281 es el 700 avo elemento primo, con la expresión (5) se calculará
su distribución en las secuencias y , donde
será el ordinal de la secuencia impar a la
cual pertenece el número primo evaluado.
El primo 5281 generará 700 intersecciones las cuales comenzarán a formarse en la
secuencia a partir del número 2641, en este caso corresponde al 13% del total de números;
desde el 1 hasta el 5281. Así mismo, su afectación en la secuencia par es [ ; ; 2]
(6) lo cual indica que iniciará a partir de
o
y llegará hasta , desde 5282 hasta
10564. Se puede emplear la expresión:
(7) para conocer la menor cantidad
par que puede generar cualquier número primo. Se considera al número 3 en la notación
por ser el menor primo impar.
Ejemplo 12: se tiene el primo 17; utilizando (7) se tendría:
Números pares
Ing. Yandry Intriago Delgado
92
Es decir, el menor número par que puede generar el primo 17 es el número 20, y se extenderá
hasta el infinito. En esta explicación no se usan técnicas matemáticas avanzadas, función ζ
(zeta) de Riemann o funciones exponenciales como se lo menciona en artículos como: El
Teorema de los números primos (Chamizo, 2010), Demostración elemental de los números
primos (Cilleruelo, 2000). L´ipotesi di Goldbach da una Congettura Statistica ad una
Congettura Matematica (Salmeri & Salmeri, 2002) El Análisis matemático y los Números
Primos (Bonet, 2014), Los Números Primos-Hechos y Conjeturas (Prieto, 2013); pues en
dichos artículos se denota un elevado rigor matemático y una alta complejidad.
2.5. Conjetura débil de Goldbach: Suma de 3 números primos
Sean los números primos: 2, 3,5 y 7. De la figura 26:
Figura 26. Configuración para sumar 3 números primos.
Los números; 4, 6,10 y 14 son el doble producto de los elementos 2, 3, 5,7, respectivamente.
En esta ocasión, el número se puede sumar hasta 3 veces consigo mismo, se eliminan los
dígitos 2 y 6, pues con ellos no se pueden armar combinaciones efectivas, el 2 proporcionará
números pares como resultado, y el 6 es 3 veces el dígito 2. Se verificará de manera gráfica
(Figura 27) la cantidad de resultados que generarán estas combinaciones:
Figura 27. Formas de sumar los 3 primeros números primos.
3+10=13 3+14=17 3+3+3=9 3+4=7 5+6=11 5+14=19 5+5+5=15
5+4=9 7+6=13 7+10=17 7+7+7=21 7+4=11 3+5+7=15
Para estos números existe un total de 13 combinaciones posibles; mismas que generan
cantidades desde el número 7 hasta el 21, en este intervalo de la secuencia N hay un espacio
de 8 números impares, con lo cual la probabilidad de que cada uno de estos elementos posea
una combinación es del 1.63 o del 163%. A continuación, se observa lo que ocurre cuando
es colocado otro número primo.
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 93
Figura 28. Forma de sumar los 4 primeros números primos.
A las combinaciones anteriores se le debe aumentar también las de la figura 28:
11+6=17 11+10=21 11+14=25 11+4=15 11+11+11=33
Más las combinaciones:
11+3+7=21 11+5+7=23 11+3+5=19 3+22=25 5+22=27 7+22=29
Con un elemento primo adicional se obtendrán 24 combinaciones distribuidas desde el
número 7 hasta el 33, es decir, en el espacio de 14 impares hay 24 combinaciones de
números. Estas expresiones se pueden modelar con fórmulas de combinaciones, y se tomará
en cuenta que aquí se pueden repetir cada uno de sus miembros.
Con donde es el número de primos evaluados; excluyendo al elemento par 2, y
son los números a combinar, en este caso siempre será 3. Ahora, se calculará por fórmula el
número de combinaciones del 4to primo que es el impar 11. Se usará la fórmula (8):
Con la expresión (8) se calculan las posibles combinaciones del 100avo elemento primo
(número 541).
Ing. Yandry Intriago Delgado
94
Es decir que hay 171800 combinaciones posibles; desde el número 7 hasta el 1623 (541x3);
en 809 números impares existe tal cantidad de combinaciones; (excluidos: 1, 3, 5.)
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En la figura 12, las líneas paralelas a la diagonal
seguirán el orden de los , entonces:
;
; y así sucesivamente hasta en el orden de los . Si
se relacionan las 2 primeras diagonales se tendrá la relación
; dicho producto
es cero y lo origina el primer elemento de la secuencia (número 1); entonces, si se tomara en
cuenta solo la serie se tendrá que:
, la cual es una expresión
equivalente del producto de Euler para la función zeta (ζ) de Riemann.
Las fórmulas 3 o 4 son fiables para obtener valores de intersecciones mínimas que posee un
determinado elemento primo. Los gráficos 24 y 25, parecerían ser el diseño de lo que se
conoce como: Cometa de Goldbach, ya que marcan el número de intersecciones que tiene
cada elemento par en la secuencia de los números naturales.
En la Figura 25, se aprecia que concurren varias líneas superpuestas, mientras más
elementos de se evalúan; mayor cantidad de líneas se obtendrán, y conforme aumentan
los elementos; crece la longitud de la línea. Este acrecentamiento se forma a la derecha
siguiendo la sucesión de los números naturales con el 1 como primer elemento.
Además, implica que para un determinado número par () que se aleja del origen de y
se acerca a existe una mayor probabilidad de que este se pueda expresar mediante
distintas combinaciones de primos. Así pues, el número 8 cercano al origen solo tiene 1
combinación, y el 34 más alejado del origen tiene 4.
El intervalo real de la distribución estaría expresado por la notación: [ ; 2] (6), ya
que esta engloba a todos los números pares afectados desde (+1) hasta . De acuerdo
a la expresión
(7) el intervalo de los números pares que son afectados por
el número primo que se está evaluando, siempre tendrá límite inferior (+3) y límite superior
.
Para la figura 17, en donde hay 29 intersecciones; si a cada una de ellas se le suma el
número 3, se cumpliría la conjetura débil. El primo 19 que es objeto de estudio, en este caso
se relaciona también con todos los elementos primos que le anteceden: 5, 7, 11, 13,17, y por
única ocasión consigo mismo; es decir, que en este mismo gráfico se podrían evaluar todos
Números Primos; Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador 95
estos elementos tomándolos de 1 en 1, estableciendo una serie de combinaciones que
arrojarían una mayor cantidad de elementos impares, en donde varios de estos, poseerán
igual valor numérico, y tendrán un valor máximo de 19x3= 57.
4. CONCLUSIONES
Las intersecciones generadas en este método gráfico cumplen con las conjeturas de
Goldbach. En la construcción de la figura 25 se notan ciertas particularidades, una de ellas
es que todo número par mayor que 14 se puede expresar como la suma de al menos 3
números naturales distintos (7+7; 11+3). Además, hay una mayor densidad en el borde de la
imagen que se forma, debido a la cercanía que tienen los primeros elementos primos. Los
“huecos” que fueron comparados con el cauce de un río no afectarían a la distribución, ya
que estos serían cada vez más comunes, conforme avanza la secuencia, y siempre
aparecerán en un orden inferior al del borde. Esta forma de crecimiento se mueve hacia la
derecha a medida que avanza la secuencia de los números naturales, también se aprecia
que existen números de ciertas secuencias con mayor cantidad de intersecciones como
aquellos elementos; cuyo último dígito es 5 y otros naturales con poca concurrencia.
5. REFERENCIAS
Bonet, J. (2014). El Análisis matemático y los Números Primos. Instituto Universitario de Matemática Pura y
Aplicada, Universitat Politécnica de Valencia. Conferencia llevada a cabo en Valencia.
Cilleruelo, J. (2000). La demostración elemental del teorema de los números primos. Números: 43 y 44, 243-
246.
Chamizo, F. (2010). El Teorema de los Números Primos.
Du Sautoy, M. (2010). The Number Mysteries (1st edition). HarperCollins UK.
Giordano, P. (2010). La Soledad de los Números Primos.
Helfgott, H. (2013) Major arcs for Goldbach's problem (1° Edition) Cornell University library.
Maor, E. (2006). Historia de un número. (1° Edición). México. D.F., México, Inst. Nacional de antropología e
historia.
Salmeri, A. & Salmeri, M. (2002). L´ipotesi di Goldbach da una Congettura Statistica ad una Congettura
Matematica. Dipartimento di Ingegneria Elettronica, Universitá di Roma. Atti del Congresso nazionale
Mathesis. Congreso llevado a cabo en Bérgamo.
Prieto, C. (2013). Los Números Primos-Hechos y Conjeturas. Montenegro (Presidencia), 2º Encuentro con los
números. Congreso llevado a cabo en Envigado, Antioquia, Colombia.
