Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 1, Enero/Abril, 2019, Ecuador (76-61) 75
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o
1, Enero/Abril, 2019, Ecuador (75-81)
OPERADORES UNIFORMEMENTE ESTABLES Y
SUBESPACIOS INVARIANTES
Dr. Edixo Rosales
1
*
1
Departamento de Matemáticas, Facultad Experimental de Ciencias. Maracaibo, Venezuela
*
Autor para la correspondencia. E-mail: frumbaut@gmail.com
Recibido: 14-6-2018 / Aceptado: 27-11-2018
RESUMEN
Este trabajo estudia operadores uniformemente estables sobre espacios de Banach en general, con el
propósito de caracterizar algunos que tengan subespacios invariantes no triviales.
Palabras clave: Operadores Uniformemente estables, subespacios invariantes.
UNIFORMLY STABLE OPERATORS AND SUB INVARIANT
SPACES
ABSTRACT
This paper studies uniformly stable operators on Banach spaces in general, with the purpose of characterizing
some that have non-trivial invariant subspaces.
Key words: Uniformly stable operators, sub invariant spaces.
OPERADORES UNIFORMAMENTE ESTÁVEIS E SUBESPAÇOS
INVARIANTES
RESUMO
Este artigo estuda operadores uniformemente estáveis em espaços de Banach em geral, com o objetivo de
caracterizar alguns que apresentam subespaços invariantes não triviais.
Palavras-chave: Operadores uniformemente estáveis, subespaços invariantes.
Artículo de Investigación
Ciencias
Matemáticas
Dr. Edixo Rosales
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1. INTRODUCCIÓN
Esta investigación está orientada a caracterizar operadores uniformemente estables que
tengan subespacios invariantes.
El problema de hallar subespacios invariantes no triviales, de operadores definidos sobre
espacios de Banach, es de vieja data (Bothelo & Ewerton, 2017).
Matemáticos como Halmos, Erdos y el ruso Lomonósov (Halmos 1982) han abierto el camino
y resuelto parcialmente este problema. Bravo, alumno de Erdos en la Universidad de
Berkeley en California, resolvió muchas interrogantes sobre el tema en su tesis doctoral
(Bravo 1980). En general, el profesor Bravo trabajó sobre espacios de Hilbert separables.
En el 2007, el profesor Bravo, hoy ausente, dejó un trabajo inédito sobre el tema de encontrar
subespacios invariantes de operadores casi nilpotentes. Hemos retomado el tema y trabajado
en general sobre operadores uniformemente estables.
Asumo que el lector está familiarizado con la teoría de los espacios de Banach. Sin embargo,
es pertinente señalar que las referencias (Kreyszig 1978; Rosales 2011) son textos que
recogen la teoría básica de los operadores y nuestros preliminares pueden servir de
orientación.
2. PRELIMINARES
En este trabajo denotará un espacio de Banach sobre los números complejos y X* su
espacio dual.
De igual manera, será la familia de los operadores acotados sobre el espacio de Banach
. Algunas veces trabajaremos con operadores entre espacios de Banach
distintos.
Un subespacio M del espacio de Banach significará un subespacio cerrado en la topología
de la norma. Diremos que es invariante para si . Por
entenderemos la familia de todos los subespacios invariantes para . Es claro que
y se les llaman sus subespacios invariantes triviales. Se dice que es hiperinvariante
para si , para cada operador tal que .
Un operador se dice que converge uniformemente al operador nulo, o que es
uniformemente estable si
∞
. Se escribe
para indicar la estabilidad
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uniforme. Caso particular de los operadores uniformemente estables son los nilpotenes y casi
nilpotentes. Un es nilpotente, si
para alguna potencia . Si
∞
, se dice que el operador es casi nilpotente. Es claro que todo operador
nilpotente es casi nilpotente.
Un operador se dice que es compacto, si dada una sucesión acotada
,
existen y una sub-sucesión
tales que
∞
. Denotaremos por
la familia de los operadores compactos. Un caso particularmente importante de
operadores compactos son los de rango finito. Un es de rango finito si
es de
dimensión finita. Es conocido que es un ideal en el álgebra de operadores y si
y
∞
, entonces .
Dado , por ′
entenderemos el operador
′
llamado el adjunto
de . Si , entonces
′. Si
escribiremos
.
Finalizamos diciendo que si es un espacio de Hilbert y , se garantiza la existencia
de
tal que
. Aquí
denota el producto escalar definido
sobre el espacio de Hilbert H. Un espacio de Hilbert importante y que usaremos es
formado por las sucesiones
tales que
∞
∞
.
3. OPERADORES UNIFORMEMENTE ESTABLE Y SUBESPACIOS INVARIANTES
El siguiente resultado es fundamental en este estudio
Lema 2.1. Sea un espacio de Banach y . Las siguientes condiciones son
equivalentes:
a)
b)
c) Existen
, tales que
.
Demostración: Para la prueba ver la referencia (Kubrusly 2008, página 79, problema 8.6).
Una consecuencia de este resultado es el siguiente:
Teorema 2.1: Sea X un espacio de Banach y TB(X) uniformemente estable.
(1) Si
es una sucesión de números complejos acotada, entonces
es una serie absolutamente convergente en .
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(2) Si
(Es decir T es un operador analítico); entonces
es nilpotente.
Demostración: (1) Sea tal que
. Si
con
, entonces
.
(3) Sea
tal que
, además con
Puesto que
, entonces existe
con
.
Nosotros tenemos que
es definible por la primera parte de la prueba.
Finalmente
El siguiente teorema generaliza el principal resultado estudiado por Bravo 2007, para
operadores casi nilpotentes y es nuestro principal objetivo
Teorema 2.2: Si es un espacio de Banach y un operador no nulo uniformemente
estable, entonces existe una familia de operadores compactos
tales
que
, donde
es el operador adjunto del operador de desplazamiento a
izquierda de multiplicidad uno. Además, tiene subespacio invariante no trivial, si y sólo si,
es no trivial y
para algún
. Finalmente, si es un operador no
escalar , ni casi nilpotente y
para algún
; entonces
tiene
subespacios hiperinvariantes no triviales.
Demostración: Para cada
consideremos el operador
definido por:
.
Puesto que
, podemos encontrar:
con
.
Se deduce que
está bien definida.
Por otro lado, si consideramos
, tenemos que
los
son operadores de rango finito y como
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, tenemos que
es un operador compacto.
Si nosotros definimos:
por
, tenemos que W es
un operador de desplazamiento a izquierda de multiplicidad uno.
Si definimos
tenemos que
es el operador adjunto del operador de desplazamiento a izquierda de multiplicidad uno
anteriormente definido
Por otro lado
(*).
Sea
. Por el teorema de Hahn-Banach existe un funcional no nulo
, tal que
. Si , luego
.
Se deduce que
.
Por otro lado, si
, para algún
, entonces
es un subespacio invariante de por (*).
Finalmente, sea
y
.
Si
, podemos definir el operador
(**) (
denota el conjugado de
).
El operador no es nulo, como consecuencia del teorema 2.1 en su segunda parte, y
. Si , entonces es un subespacio hiperinvariante
no trivial de por (**).
Nota 2.1. Sea un operador escalar con
. Es claro que . Nosotros vamos
a demostrar que
definido en el teorema anterior es el operador nulo.
En efecto, dado con
, entonces
.
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Se deduce que el operador
.
Nota 2.2. Supongamos que
(es decir
es cíclico), entonces
es un
operador inyectivo.
Si
.
Por el teorema de Hahn-Banach, podemos hallar
tal que .
Existe una red de polinomios
, tal que
. Por (*) deducimos que
y
como
, deducimos que
, lo que es una contradicción.
Finalizamos este trabajo con el siguiente resultado
Teorema 2.3: Si X es un espacio de Banach y es uniformemente estable, no escala,
ni casi nilpotente y existe
tal que
, donde
W es el operador definido en el teorema anterior; entonces tiene subespacio invariante
no trivial.
Demostración: Por el teorema anterior se tiene que
.
Si
, entonces
, ya que de lo contrario .
Por el resultado anterior tiene subespacio hiperinvariante no trivial .
Si
, por ser compacto, por el teorema de extensión de Lomonósov (Kubrusly 2008),
se deduce que tiene un subespacio hiperinvariante no trivial ; entonces
es invariante
no trivial para .
4. REFERENCIAS
Bothelo, G., Ewerton, R. (2017). Two-sided polynomial ideals on Banach Spaces. Journal of Mathematical
Analysis and Applications.
Bravo, J. (1980). Relations between latT,lat T^(-1),lat T^2 and operators with compact imaginary parts. Ph.D.
Dissertation. Berkeley. California.
Bravo, J. (2007). Operadores casi nilpotentes y subespacios invariantes. Departamento de Matemáticas.
Facultad Experimental de Ciencias. Universidad del Zulia.
Operadores Uniformemente Estables y Subespacios Invariantes
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 1, Enero/Abril, 2019, Ecuador (76-61) 81
Halmos, P. (1982). A Hilbert Space Problem Book. (Graduate Text in Mathematics).Springer Science.
Kubrusly, C. (2008). Hilbert Space Operators. A Problem Solvind Approach. Birkhauser. Boston.
Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons.
Rosales, E. (2011). Operadores Casi Llenos y de Radio Numérico Alcanzable. Ediciones del Vicerrectorado
Académico de la Universidad del Zulia.
