Conjetura de Goldbach, Números Naturales y Teorema de Números Primos
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 1, Enero/Abril, 2019, Ecuador (11-35) 45
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, N
o
1, Enero/Abril, 2019, Ecuador (45-64)
CONJETURA DE GOLDBACH, NÚMEROS NATURALES Y
TEOREMA DE NÚMEROS PRIMOS
Ing. Yandry Intriago Delgado
1
*
1
Docente a tiempo completo “Unidad Educativa Fiscal Rocafuerte”.
*
Autor para la correspondencia. E-mail: yanmar83@hotmail.com
Recibido: 30-11-2018 / Aceptado: 30-1-2019
RESUMEN
Mediante el uso de Geogebra en el siguiente manuscrito se realiza un análisis de la conjetura de Goldbach,
posteriormente se comprueba mediante expresiones algebraicas que siempre existe una cantidad mínima de
elementos primos que hacen que se cumpla la conjetura para cualquier número natural par . Se toma en
consideración el gráfico que es generado mediante el Método Gráfico de la Conjetura de Goldbach, en el que
se examinan cada una de las variables que intervienen en el eje de las ordenadas y las abscisas. Luego de
esto, se estudian ciertos números pares conocidos en los que se sabe la cantidad de primos existentes,
posteriormente se separa a cualquier número en intervalos desde 1 a y desde N hasta , encontrando
así que la cantidad de primos en el primer intervalo mencionado es superior a la cantidad de elementos primos
del segundo, con estos resultados y el análisis realizado a la gráfica del Método Gráfico antes mencionado,
se llega a la conclusión que la distribución de los primos está relacionada con la función logaritmo natural; tal
como está expresado en el Teorema de los Números Primos , pero en este caso; con una ligera variante para
cada uno de los intervalos antes mencionados. Se realiza posteriormente un análisis de probabilidad que
comprueba que la cantidad de intersecciones que se producen está intrínsecamente relacionada con las
funciones que limitan la cantidad de elementos primos, que esto a su vez también se relaciona con la función
propuesta por Gauss.
Palabras clave: Conjetura Goldbach, Teorema, números primos.
GOLDBACH CONJECTURE, NATURAL NUMBERS AND THE
PRIME NUMBERS THEOREM
ABSTRACT
By using Geogebra in the following manuscript, an analysis of the Goldbach conjecture is made. It has been
verified through algebraic expressions that there is always a minimum amount of prime elements that make
the conjecture for any natural pair number . The graph that is generated by the Graphical Method of the
Goldbach Conjecture is taken into consideration, in which the variables that intervene in the axis of the
ordinates and the abscissas are examined. After this, certain known even numbers were studied which the
number of existing prime numbers is known. Later, it is separated from any number in intervals from 1 to
and from N to , thus, finding the prime numbers in the first one. The aforementioned interval is greater
than the number of prime elements of the second, with these results and the analysis made to the graph of the
aforementioned Graphic Method, it is concluded that the distribution of the primes is related to the natural
logarithm function; as it is expressed in the Theorem of the Prime Numbers, but in this case with a slight variant
for each of the aforementioned intervals. A probability analysis to verify that the number of intersections that
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
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occur is intrinsically related to the function that limits the number of prime elements was performed. This is
also related to the function
proposed by Gauss.
Key words: Goldbach conjecture, Prime number, theorem.
CONJECTURA DE GOLDBACH, NÚMEROS NATURAIS E O
TEOREMA DE NÚMEROS PRIMOS
RESUMO
Usando Geogebra no seguinte manuscrito, uma análise da conjectura de Goldbach é feita, depois é verificado
por expressões algébricas que há sempre uma quantidade mínima de elementos primos que fazem a
conjectura para qualquer número natural par (2N). O gráfico que é gerado pelo Método Gráfico da Conjectura
de Goldbach é levado em consideração, no qual cada uma das variáveis que intervêm no eixo das ordenadas
e das abscissas é examinada. Depois disto, nós estudamos certos números pares conhecidos nos quais o
número de primos existentes é conhecido, então ele é separado para qualquer número 2N em intervalos de
1 a N e de N a 2N, achando que o número de primos no primeiro intervalo acima mencionado é maior que o
número de elementos primos do segundo, com esses resultados e a análise feita no gráfico do Método Gráfico
supracitado, conclui-se que a distribuição dos primos está relacionada à função do logaritmo natural; como
expresso no Teorema dos Números Primos, mas neste caso; com uma ligeira variante para cada um dos
intervalos acima mencionados. Uma análise de probabilidade é então realizada, que verifica que o número
de interseções que ocorrem está intrinsecamente relacionado às funções que limitam o número de elementos
primos, que por sua vez também se relaciona com a função π (x) proposta por Gauss.
Palavras-chave: Conjectura de Goldbach, Teorema, dos números primos.
1. INTRODUCCIÓN
Christian Goldbach (1690-1764) afirmó que: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse
como la suma de 2 números primos”. A lo largo de la historia notables matemáticos han
puesto su interés en este postulado. En mayo de 2013, con el uso de técnicas matemáticas
avanzadas se publicó un artículo en el cual se demostraba la conjetura débil de Goldbach, la
cual afirma que: “Todo número impar se puede expresar como la sumatoria de 3 números
primos”, (Helfgott, 2014). Dada la abundante información que se encuentra en internet, la
influencia de divulgadores matemáticos como Paenza, según el video de YouTube “Números
primos” … (EduMates, 2010) o Sáenz; según el video de YouTube “Los números primos más
grandes del mundo y ¡el enigma de los números perfectos!” … (Derivando, 2017). El enfoque
encontrado en L´ipotesi di Goldbach da una Congettura Statistica ad una Congettura
Matematica (Salmeri & Salmeri, 2002); y en obras como The Number Mysteries (du Sautoy,
2010) y “La Soledad de los Números Primos” (Giordano, 2010); en el presente trabajo
investigativo se ha desarrollado un estudio a partir del esquema triangular utilizado en Método
gráfico de la conjetura de Goldbach (Intriago, 2018), siendo una herramienta eficaz para
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visualizar los pares de números primos que hacen que se cumpla con la conjetura para todo
número par.
Johann Carl Friedrich Gauss en su Teorema de los números primos demuestra la función
(Sánchez, 2011), a partir de este punto se han desarrollado métodos para calcular la
cantidad de pares de primos, uno de los cuales es la criba de Selberg (Deshouillers, Granville,
Narkiewicz, Pomerance, 1993; Ramachandra,1997).
En este manuscrito, se hace una ligera modificación a la función que utilizó el matemático
francés Adrien-Marie Legendre (Zagier, 1977). Luego se calcula la probabilidad de
intersección que posee un conjunto de números primos presente en el intervalo de 1 hasta el
número par evaluado, obteniendo las funciones
y
; que, al ser restadas, muestran
la cantidad mínima de intersecciones que posee un determinado número par, lo cual hace
que se cumpla la conjetura de Goldbach.
2. MÉTODO GRÁFICO DE LA CONJETURA DE GOLDBACH Y ANÁLISIS DE LOS
NÚMEROS NATURALES
La distribución de pares de primos se da mediante una colocación que relaciona el número
natural con su par correspondiente en el eje de las abscisas y la colocación de los números
primos en el eje de las ordenadas (Intriago, 2018). Tal como se lo muestra en la Figura 1.
Figura 1. Relación de los números pares y la Conjetura de Goldbach
A continuación, en la Figura 2 se analizarán dos números naturales (N) con sus respectivos
duplos .
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Figura 2. Distribución de pares generados para los números pares 16 y 42.
Se revisarán los números y correspondientes; en el primer caso y ,
dentro de este rango hay dos números primos que son el 11 y el 13. Anteceden a esta
distribución los números primos 2, 3, 5 y 7. Se examinará a continuación el número par 42;
entre los números y existen 5 elementos primos: 23, 29, 31, 37 y 41. Los
cuadros azules indican intersecciones válidas; nótese que no todos estos espacios ocupados
por los números antes mencionados producen combinaciones efectivas de valores que
cumplen con la Conjetura de Goldbach; cabe mencionar que la forma de la gráfica bajo la
curva se asemeja a la función logaritmo natural: A continuación, en la Figura 3 se
muestra el modelo bajo el cual se desarrollará esta investigación.
Figura 3. Intervalo de afectación de un número par.
Esta distribución se origina mediante triangulaciones; tal como se lo muestra en la Figura 4.
Figura 4. Triangulación realizada al número par 20
13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252
11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 231
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
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Como se puede notar de acuerdo a la triangulación efectuada, el número par evaluado no
interfiere en la creación de líneas que puedan generar pares que cumplan con la conjetura
de Goldbach. Como ya es conocido, para este procedimiento únicamente se grafican líneas
en diagonales para los números primos. Esta forma de representar el conjunto de pares de
primos que cumplen con la conjetura es similar a la desarrollada en An Exploration on
Goldbach’s Conjecture (Markakis, Provatidis, Markakis, 2013).
En la Figura 5, el número par evaluado es 2N; donde N es la mitad de este número. La
relación de elementos iniciará con el primer elemento de los naturales (número 1) y terminará
en el elemento impar que le antecede a , es decir; pudiendo ser éste: primo o
compuesto.
Figura 5. Intervalo de afectación de un determinado número par 2N.
En la Figura 6 se aprecia que en sentido vertical existe N cantidad de espacios donde puede
existir intersecciones de números que cumplen con la Conjetura de Goldbach, la colocación
de los espacios verticales antes mencionados corresponden a los múltiplos de , iniciando
su distribución desde hasta
o
.
Figura 6. Relación de N en sentido vertical.
En esta distribución N puede ser par o impar, por lo tanto; podría ser un número primo. Los
lugares donde existen combinaciones efectivas son los espacios que se encuentran en
sentido vertical de secuencia:
hasta llegar a (vertical) cuando
el natural evaluado es impar, alcanzará el punto 2
N
cuando el natural evaluado es un numero
par que se encuentra entre 2 números primos (primos gemelos), o cuando
N
es un número
primo.
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Si se suman los puntos y , su resultado será ; así mismo, cualquier punto
equidistante siempre dará como resultado el número par que se está evaluando. Como se lo
muestra en la Figura 7.
Figura 7. Lugares donde se generan intersecciones en N vertical.
No todas las intersecciones que se generan cumplirán con la Conjetura de Goldbach debido
a la distribución irregular que poseen los números primos (Cilleruelo, 2000), además; se
considera que, así como va creciendo la secuencia de los naturales, aumenta la cantidad de
números impares compuestos y decrece la cantidad de elementos primos.
En la Figura 8 a. se examina la distribución que posee el número par 4.
Figura 8 a. Análisis del número par 4 Figura 8 b. Análisis del número par 6
Como se puede notar, este número no genera una intersección efectiva; ya que únicamente
se relaciona el 1 y el 3, y como es conocido, el 1 no es un número primo; sin embargo, al ser
el 2 un número primo, generará una intersección al relacionarse consigo mismo. En la Figura
8b se observa que la única combinación que forma el primer número primo impar (número
3), es consigo mismo, para crear el numero par 6.
Para esta distribución se podría considerar el siguiente intervalo de afectación para cualquier
número par
, esta expresión está representada en la
Figura 9.
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Figura 9. Análisis de intervalos de 1 a 2N.
Como se indica en la Figura 10, de ahora en adelante se considerará al intervalo
como “”, y al intervalo
; como “”
Figura 10. Delimitación de intervalos x e y.
Ejemplo 1: En la Figura 11 se examinará al número par
10000.
Figura 11. Análisis del número par 10000.
Para este ejemplo en existen 2500 números impares; 668 de ellos son primos, en igual
cantidad de impares; habiendo 559 elementos primos, el 5000 es un número par.
Ejemplo 2: En la Figura 12 se examinará al número par
100000.
Figura 12. Análisis del número par 100000.
En este ejemplo, para x existen 25000 números impares; 5132 de ellos son primos, en igual
cantidad de impares, existiendo 4452 elementos primos, el 50000 es un número par.
Luego de analizar los ejemplos previos se puede deducir que: “” tiene mayor cantidad de
valores primos; en relación a “” que tiene menor cantidad, como se puede apreciar en la
Figura 13.
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Figura 13. Análisis resultante de los ejemplos 1 y 2
Estos intervalos tienen una relación definida para números muy grandes, en donde se
desconoce la cantidad de primos existentes. Es conveniente tener una estimación de la
cantidad aproximada de números primos presentes en cada uno de los intervalos estudiados
que se analizaron previamente. La curva generada por la distribución mostrada en la
Figura 1 seguía un patrón similar al de la función en el intervalo de 1 a . Para
aproximar lo que ocurre en cada uno de los intervalos se usarán las siguientes expresiones
y se realizará el siguiente análisis en la Figura 14:
Figura 14. Análisis del valor de la constante R.
y
serán constantes propias de cada intervalo estudiado, ya que como se observa en
los resultados: posee siempre más elementos primos que .
En el intervalo : de a 1 como se muestra en la Figura 14, 1 está a la izquierda de , por
consiguiente es negativo (); por lo tanto
.
En el intervalo : de a , como se aprecia en la Figura 14, N por la derecha es
positivo (+) y alcanza su máximo en , en este caso se igualará a 0 este valor.
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Este último resultado es igual al límite del factor
utilizado por Mutafchiev (2016). Se
llamará
(3) a la cantidad de primos existentes en el intervalo , y se denominará
(4) a
la cantidad de primos existentes en el intervalo . Luego de realizar los respectivos
procedimientos se tienen las expresiones:
Ejemplo 3: Se examinará al número par
.
Figura 15. Análisis del número par
A partir de los datos de la Figura 15. Se tiene que:
y
Se aplicarán las fórmulas anteriormente descritas para estimar los primos existentes en cada
intervalo:
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Figura 16. Distribución aproximada de primos para el número par
El número par
tiene aproximadamente
números primos en el intervalo ,
y
números primos en el intervalo y. La distribución resultante de primos está
representada en la Figura 16. Como dato adicional
representan el 2.2% de
.
Si al número
se lo evaluara con la expresión (1) se tendría como resultado
,
que es el mismo valor que se obtendría al sumar los primos de los intervalos
con
.
2.1. Cantidad de Intersecciones, cálculo Analítico
Para todo número natural par
de a
en sentido vertical posee lugares, donde
probablemente existen intersecciones de Goldbach. Antes de hacer cálculos se delimitarán
las variables de este problema. Primero se usará la expresión
para hacer referencia al
lugar o los lugares donde existe una intersección de elementos impares equidistantes en
sentido vertical, correspondiente a los números del conjunto vertical; los cuales son la
secuencia de múltiplos de como se lo muestra en la Figura 17.
Figura 17. Delimitación de las variables
.
La expresión
(5) indicará la probabilidad de que en algún lugar; entre 1 y , un
elemento de por la izquierda estará en un punto equidistante con otro elemento de por la
derecha.
Por otro lado
(6) indica la mínima cantidad de veces en las cuales un determinado
número par se ha intersectado en N vertical
.
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Hay que tener en cuenta que tanto para el intervalo ; así como en el , los lugares que
ocupan los impares son la mitad de los números naturales existentes; es decir:
Las expresiones (3) y (4) son equivalentes con (7) y (8) respectivamente, las mismas sirven
para determinar la cantidad de primos para cualquier número , sea este: par o impar. A
continuación, se calculará la probabilidad que existe de que un elemento
se encuentre en
algún lugar de en el intervalo .
Por conveniencia, en este punto no se simplifica la expresión. Ahora se calculará la
probabilidad de que un elemento
se encuentre en algún lugar de en el intervalo .
La siguiente expresión indica la probabilidad de que tanto los elementos primos de
así
como los de
se encuentran en un lugar equidistante el uno del otro.
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Luego se debe calcular la probabilidad de encontrar una intersección en
, en donde solo
se podrían dar intersecciones en la mitad de sus elementos.
Para finalizar:
La expresión (6) indica la cantidad mínima de intersecciones que tiene un determinado
número par en
, el dominio de esta función está representado en la Figura 18.
Figura 18. Dominio de la función
.
El único primo par (número 2), originará una intersección consigo mismo (número 4). En la
Figura 19. se representa la distribución de los números que cumplen la conjetura de
Goldbach. El intervalo
se desecha para este cálculo por obvias razones, y como
se puede apreciar; todo cumple con la conjetura.
Figura 19. Distribución de números pares que cumplen la Conjetura de Goldbach.
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Si a la expresión
se le aplica limite cuando , usando la regla de L´Hôpital, se
obtendrá:
2.2. Análisis de las Funciones f(N) y g(N).
Para el presente análisis se considerará lo siguiente:
, representa a la cantidad de primos existentes en el intervalo .
, la cantidad de primos existentes en el intervalo .
En este punto
, así como
serán considerados como funciones de ; desde
Se realizará la suma de las funciones y (expresión 9):
A continuación, la fórmula (10) indica la operación resta entre y :
Se observa entonces que entre
y existe una relación, la cual sería:
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En este caso, 2/3 es una aproximación a la constante de Hardy and Littlewood
(Nazardonyavi, 2012). A continuación, en la Figura 20 se representan de
manera gráfica las funciones y ; en donde al eje de las abscisas le corresponde la
secuencia de los números naturales y al de las ordenadas; la secuencia ordinal de los
números primos.
Figura 20. Funciones de N
A continuación, en la Figura 21 de una forma más detallada se observa la forma de la función
, se aprecia que en el intervalo 0 a
no se forman los elementos que cumplen la
conjetura de Goldbach, la formación de los mismos se da desde la función
hasta .
La función
posee una menor cantidad de elementos primos, por lo tanto, delimita la
cantidad de intersecciones.
Figura 21. Análisis de las funciones f, g y
En este punto se puede hacer la siguiente observación: el área del cometa de Goldbach de
la Figura 22 siempre estará acotado desde la función
hasta
.
Números Naturales
Números Naturales
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Figura 22. Cometa de Goldbach, relacionado con las funciones de N
En la Figura 23 está representada el área equivalente a la función , la cual sería:
Figura 23. Gráfica del área de la función
En la Figura 24 se observa que a pesar de que la escala aumenta: siempre existirá un
pequeño espacio entre la linea color azul y la de color rojo; es decir, el área que ocupa
. Esta región tiene relación con la probabilidad de intersección que tiene
un determinado elemento .
Figura 24. Gráfica de la función f-g para números de orden
Números Naturales
Números Naturales
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Ejemplo 4. En la Figura 25 se analizará la distribución del número
mediante geogebra
y se calculará la cantidad mínima de pares numéricos que hacen cumplir la conjetura para
este número.
Figura 25. Gráfica de la función f-g para el número par
Para el número par
existe una cantidad mínima de 792 lugares aproximadamente en
N vertical, en donde la unión de 2 números primos hace que se cumpla la conjetura.
Cabe recalcar, que este cálculo se verificó de manera analítica para este problema.
2.3. Teorema fundamental de números primos
Este teorema ya fue demostrado por D.J. Newman (Ramos, 2003), en este caso se analizará
con la función la cual indica la cantidad de primos totales presentes para un
determinado número de la secuencia .
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La expresión será el contador de primos para este caso, ya que “ no es
numéricamente una buena aproximación de ” (Chamizo, 2011).
Se realizan las operaciones indicadas:
Se hace un cambio de variable:
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Se aplica límites y se considerará que si crece a valores altos; el también lo hará.
Además, cualquier natural dividido por un número grande tiende a 0.
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En la Figura 4 por medio de relaciones se encontraron las ternas pitagóricas de la forma:
y
con n impar, también la de forma
para n par.
La Figura 2 muestra en su borde inferior que la función que la genera tiene la forma de una
curva logarítmica, esto no es algo novedoso, pues Gauss ya lo había descubierto.
Posteriormente, luego de revisar muchos ejemplos con valores de números pares conocidos
se modelan fórmulas, empleando la relación: usada por Legendre para
calcular con mayor precisión los valores de la relación de Gauss (, en donde se
determina la cantidad de primos presentes hasta un determinado número natural .
Cabe mencionar que los elementos del conjunto x y los del conjunto y; señalados en la Figura
10, no tienen términos que sean iguales o que se intersecten en una relación de conjuntos,
ya que como es conocido: cada número primo es único. La expresión (5) determina la
probabilidad de contar con puntos equidistantes, en donde se intersectarán pares de números
primos que harán cumplir la conjetura de Goldbach.
La expresión (9) indica la cantidad de primos existentes hasta un determinado número
, la aproximación que se le da en el presente trabajo al teorema de Gauss es
.
La expresión (10)
está relacionada con la expresión (6),
como se indica en la
relación (11), esta última indica la cantidad de intersecciones mínimas que puede tener
cualquier número par dentro de N vertical. Así mismo, la expresión (7) indica la cantidad
máxima de intersecciones. De acuerdo al manuscrito: Método Gráfico de la Conjetura de
Goldbach, existen números con mayor cantidad de intersecciones, como ocurre con los
múltiplos de 5.
De acuerdo al análisis gráfico de Geogebra . Además, se comprobó la
cantidad de primos menores a
con un error del 0,28%. Para el presente trabajo no se
pudo llegar a evaluar cantidades extremadamente altas, pues no se contaba con una
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supercomputadora para realizar esta tarea, aun así, se pudo determinar por medio de las
fórmulas (7) y (8) y corroborar con el graficador de Geogebra, que existe una gran precisión
para conocer la cantidad de números primos que se encuentran dentro de un intervalo
determinado. La cantidad es el contador de primos que se usa en el presente
trabajo, pues su valor indica menos cantidad de error en comparación a .
Si se aplica límite cuando en la expresión (5), y probabilidad de intersección en
vertical P(V), se obtendrá como resultado 0 en ambos términos:
,
lógicamente, cada vez que se avanza en la secuencia N hacia el infinito, decrece la cantidad
de números primos. En la expresión:
se
soluciona esta indeterminación al aplicar el límite cuando , se obtiene: . Así mismo,
se obtiene este resultado de límite en las ecuaciones: , (9), (10), y (11). En los cálculos
de las áreas de las funciones y
se encuentra presente la integral exponencial
, esto podría indicar que las funciones aquí encontradas son convergentes, las
integrales de este tipo son de la forma:
, donde según
Abramowitz & Stegun (1964)
, por lo tanto, hay series numéricas infinitas dentro de este cálculo. De acuerdo a la
hipótesis de Riemann (Gracián, 2010) y la identidad de Euler (Gracián), análoga a ésta, se
indica que existe una relación entre el conjunto de los y los números primos.
4. CONCLUSIONES
En el presente trabajo se constata que; {
donde es el conjunto de los números primos, el conjunto de los
números pares, y
son elementos primos que se encuentran en puntos equidistantes al
natural evaluado.
Con la función
se deduce el teorema fundamental de números primos. Para
los
resultados fueron comparados hasta
, mediante el uso de tablas de números
primos y Geogebra.
El área de Figura 23, muestra que continuamente existen elementos primos a lo largo
de la secuencia infinita de los números naturales , esto se da porque hay una diferencia
entre la cantidad de elementos primos en los intervalos , de acuerdo a la expresión (11)
está relacionada con la cantidad mínima de intersecciones
, por lo tanto, siempre
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habrá valores que harán cumplir la conjetura, además el valor =0.66666... es aproximado
a
. Esta función fue comprobada para
con el uso de un cometa de Goldbach
que posee 300 elementos primos.
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