Resultados sobre operadores llenos en espacios de Hilbert
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No 1, Enero/Abril, Año 2020, Ecuador (p. 51-62) 51
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 51-62). Edición continua.
RESULTADOS SOBRE OPERADORES LLENOS EN ESPACIOS DE HILBERT
Edixo Rosales
Departamento de matemáticas, Facultad Experimental de Ciencias. Maracaibo, Venezuela.
Autor para la correspondencia: edixorosales@gmail.com
Recibido: 5-03-2019 / Aceptado: 15-04-2020 / Publicación: 30-04-2020
Editor Académico: Miguel José Vivas-Cortez.
RESUMEN
Se prueba, entre otros, el siguiente resultado: Sea T:H→H un operador autoadjunto inyectivo, y K:H→H un operador de
Riesz, tal que KAlglat(T)∩{T}'. Si K:H→H es lleno, entonces T:H→H es lleno.
Palabras clave: Operador de Riesz, operador autoadjunto, operador lleno.
RESULTS ON FULL OPERATORS IN HILBERT SPACES
ABSTRACT
It is proved here, among other results, the following: Let T:H→H be a self-adjoint injective operator, and K:H→H a
Riesz operator, such that KAlglat(T)∩{T}'. If K:H→H is a full operator, then T:H→H is a full operator.
Keywords: Riesz operator, self-adjoint operator, full operator.
RESULTADOS SOBRE OPERADORES COMPLETOS EM ESPAÇOS DE HILBERT
RESUMO
O siguiente resultado, entre outros, está provado: Seja T:H→H um operador autoadjunto limitado abaixo, e K:H→H um
operador de Riesz, tal qual KAlglatT{T}^'. Se K:H→H é um operador completo, então T:H→H é um operador
completo.
Palavras-chave: operador Riesz, operador autoadjunto completo.
Citación sugerida: Rosales, E. (2020). Resultados sobre operadores llenos en espacios de Hilbert. Revista Bases de la
Ciencia, 5(1), 51-62. DOI: 10.33936/rev_bas_de_la_ciencia.v5i1.1686 Recuperado de:
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/article/view/1686
Orcid IDs:
Dr. Edixo Rosales: https://orcid.org/0000-0001-5764-928X
Dr. Miguel Vivas: https://orcid.org/0000-0002-1567-0264
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
Edixo Rosales
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1.-INTRODUCCIÓN
Este trabajo está motivado por un resultado dado en mi libro “Operadores llenos, casi llenos y de
radio numérico alcanzable”
. Este resultado dice explícitamente que, dado un
operador invertible, con un espacio de Banach complejo y tal que todo es
complementado en a través de un invariante; si dado un operador de Riesz lleno, tal que
conmuta con , y contiene todos los invariantes de , entonces es un operador lleno.
Presentamos un caso, particularmente interesante, donde es un operador autoadjunto
inyectivo definido sobre un espacio de Hilbert separable .
El segundo resultado en importancia de este trabajo, fue originalmente propuesto por el Doctor Jaime
Bravo, en una investigación inédita. El matemático referido, plantea la interrogante: ¿Dado un
operador , autoadjunto y acotado por abajo, y un operador de Riesz, tal que
′. Si es lleno, entonces es lleno?. Este teorema fue demostrado
parcialmente en
. Finalmente retomamos un corolario de Jaime Bravo dado en su tesis
doctoral en la Universidad de Berkeley , y hacemos un análisis exhaustivo de su
demostración, debido a que en él está contenida prácticamente la filosofía de la anterior interrogante.
Aunque se supone que, el lector está familiarizado con los conceptos básicos de la teoría espectral de
operadores en espacios de Hilbert, presentaremos unos preliminares de los resultados básicos que se
usarán en el transcurso del trabajo. Las referencias
,
y
pueden servir de guía para el mismo propósito.
Preliminares
Esencialmente se trabaja en este artículo en un espacio de Hilbert separable sobre los números
complejos, aunque algunos resultados valgan sin la propiedad de separabilidad. Un subespacio de
se sobreentiende que es cerrado bajo la topología de la norma, y diremos que es invariante para un
operador acotado , si . Se denota por la familia de sus subespacios
invariantes por . Si , para todo operador talque , se dice es
hiperinvariante para . Los subespacios
′
y
son importantes en este trabajo.
Un operador acotado es lleno, si , para todo . El rango numérico
asociado al operador , es el subconjunto de los números complejos
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. Aquí
denota el producto escalar en el espacio de Hilbert .
Diremos que
, es
el rango numérico máximal del operador .
Dado , se dice que , si el operador acotado es invertible. A
se le llama la
resolvente de , y a su complemento
, el espectro de Es conocido que
es
un subconjunto no vacío y compacto de los números complejos con su topología usual. Es decir
cerrado y acotado.
Particularmente
es un subconjunto del espectro de de interés
para nuestro estudio.Si
, entonces es un valor propio del operador . Por
se denota la componente conexo no acotada de la resolvente . El número real no negativo
∞
es llamado el radio espectral de operador . Se tiene el siguiente
importante resultado:
Lema 1 (Sarason): Si es un operador acotado, valen las siguientes afirmaciones:
(1) Si λ
y λ
pertenecen a una misma componente de la resolvente , entonces
( λ
( λ
(2) Si
∞
, entonces (
.
Demostración: Puede ser consultada en
.
Si , las potencias
generan un subespacio cerrado, que denotaremos por
y que
será fundamental en el desarrollo de este trabajo.
Varios tipos de operadores aparecen referidos en esta investigación. Un operador acotado
se dice que es compacto, si dada una sucesión acotada
existen y una subsucesión
tales que
, en la convergencia de la norma. Si es un operador acotado, se
dice que es de Riesz, si tiene las siguientes propiedades fundamentales:
(1) Si , entonces
es de dimensión finita para todo
.
(2) Si , entonces
es sub espacio cerrado
dimensión finita para todo .
(3) Si
es una sucesión infinita y
, entonces .
Edixo Rosales
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Se sabe que todo operador compacto es de Riesz y que si , entonces el operador
restringido
, es de Riesz. Además todo operador de Riesz se escribe de la
forma con un operador casinilpotente (es decir
) y
un operador compacto. Recíprocamente, si con un operador casinilpotente
y un operador compacto, entonces es de Riesz.
Si es un operador acotado, existe
un operador acotado, tal que
, para todo . A
se le llama el operador adjunto de . Un operador acotado
es normal cuando
, y un caso particular de este tipo de operadores, lo
constituyen los autoadjuntos, es decir aquellos tales que
. Un operador acotado
se llama una isometría, si
, para todo . Si además la isometría es sobre, el
operador se dice unitario. Un operador acotado tal que
para todo
, se le llama positivo y para este operador existe un único
, tal que
. El
operador
es la raíz cuadrada del operador .
Recordemos que si son subespacios de , entonces
Finalizamos diciendo que, algunos resultados conocidos sobre operadores llenos los damos para
hacer auto contenida la exposición y se especificará el resultado que nos pertenece.
2.-RESULTADOS SOBRE OPERADORES LLENOS EN ESPACIOS DE HILBERT
Si es un operador lleno, entonces es inyectivo. En efecto, considere . Es
claro que y por lo tanto
.
La primera importante caracterización de los operadores llenos que presentamos es la siguiente:
Teorema 1: Sea un operador acotado. es un operador lleno, si y sólo si, dado tal
que
(para todo ), entonces .
Demostración: Suponga que es un operador lleno y , tal que
(para todo
). Si , considere
(el subespacio cerrado generado por las potencias
). Como
, se tiene que existe una red de
polinomios
en norma, donde cada polinomio
es sin términos independientes.
Se deduce que
, lo que es contradictorio.
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Recíprocamente, si no fuera lleno, existiría un tal que M
. Sea
con
. Como
para todo , por hipótesis tenemos que
, lo que es una contradicción.
Observe de lo anterior, que si es un operador acotado con , entonces
es lleno. En efecto, de lo contrario existen
, luego
lo que es contradictorio.
Tenemos el siguiente resultado que nos pertenece:
Teorema 2: Si es una isometría y
, entonces es un operador lleno.
Demostración: Si no es lleno, existe un vector
tal que
para todo por el teorema 1.
Denote por
. Por ser una isometría, se tiene que
Esto dice que los
son vectores unitarios. Además se deduce que
.
Observe que
(para todo ). Esto afirma
que
lo que contradice la hipótesis del teorema.
El siguiente resultado es fundamental en esta sección y aparece originalmente en
.
Teorema 3 (Karanasios): Sea un operador casi nilpotente lleno. Si con
, entonces el espacio cociente
es de dimensión distinta de uno.
Demostración: Sabemos que
es isomorfo al subespacio cerrado .
Si , entonces
donde
indica el subespacio
cerrado generado por
.
Existen , tales que
.
Si , tenemos que
y por lo tanto
. Así que , lo que es
contradictorio.
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Si , entonces
∞
, lo que es nuevamente contradictorio. Se deduce el resultado.
Se tiene el siguiente lema, lo introducimos porque facilita la demostración de nuestros resultados:
Lema 2 : Si es un operador acotado y existe un vector
tal que
para todo , entonces el subespacio cerrado
∞
∞
es
de dimensión uno.
Demostración: Es claro que
∞
∞
.
Sea
∞
∞
, existe una red de polinomios
, en norma.
Se tiene que
.
Definamos los polinomios
(polinomios sin términos independientes).
Se tiene que
∞
. Por lo tanto
De lo
que se deduce que . Es decir
.
Se sigue el resultado:
Corolario 1: Sea un operador acotado. Si es un operador lleno y
casinilpotente, entonces es un operador lleno.
Demostración: Si no es lleno, existe un vector unitario
tal que
para todo .
Sea
∞
. Por el lema anterior
.
Como
, se tiene por hipótesis que
, lo que contradice el teorema
3.
El siguiente es nuestro principal resultado
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Teorema 4: Sea es un operador autoadjunto inyectivo, y un operador de Riesz,
tal que
′. Si es lleno, entonces es lleno.
Demostración: Si no es lleno, existe un vector unitario tal que
(para
todo ).
Sea
∞
, se tiene que
)=1.
Consideremos la siguiente familia
. Estudiemos
dos casos para esta familia:
(1)
.
Consideremos el operador restringido
definido por
.
Veamos que
es un operador casinilpotente. De lo contrario, existe
y por lo tanto
es de dimensión finita (por ser
un operador de Riesz).
Por ser inyectivo, y de dimensión finita, deducimos que
, luego
, lo que es contradictorio.
(2)
. En este caso consideramos
(subespacio cerrado generado
por los
).
Es claro que
y es un elemento máximal de esta familia con respecto a la inclusión.
Se tiene que . Como es auto adjunto
, de lo que se deduce que
.
Veamos que si
, entonces
. De lo contrario
y
lo que contradice la máximalidad
de .
Se tiene por lo tanto que
es auto adjunto inyectivo,
es de Riesz lleno y
.
Se aplica la primera parte para demostrar que
es un operador lleno y por lo tanto obtenemos
una contradicción.
Edixo Rosales
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Finalizamos este trabajo con dos importantes resultados. El primero es una generalización de un
teorema dado en
, y el segundo un desarrollo exhaustivo de uno dado en
.
Teorema 5: Sea un operador acotado invertible y existen operador unitario y
operador compacto, tal que la perturbación compacta ′ es un
operador no escalar y lleno
y
. Si
es no trivial,
entonces
es no trivial.
Demostración: Si
, es claro que dado
,
con
.
Supondremos por lo tanto que
y es un operador unitario no escalar.
Si no es lleno, existen
tales que
, para todo .
Por lo tanto
(
)(*)
(
)(**)
Se deduce de la igualdad (*) y del hecho de ser invertible que cada
para todo .
Vamos a demostrar que .
Notemos que
para todo .
Es decir que
es un operador no lleno.
Por otro lado:
(*).
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Como la familia
es ortonormal y es un operador compacto, tenemos que
en norma
y por lo tanto
. Pasando al límite en (*) obtenemos
que
.
Si
, como
(ver referencia
), tenemos
que
∞
y por lo tanto se deduce que,
lo que dice
que el operador
es lleno, lo que es una contradicción. Esto dice que
y como
, luego
para todo , lo que es nuevamente contradictorio, ya que
hemos supuesto que
.
Si es unitario escalar, luego existe
, tal que . Como
, se deduce por
que, tiene subespacios
hiperinvariantes y como
′ el resultado se sigue.
Corolario 2: Sea un operador acotado invertible y existen operador acotado tal
que ′ es un operador no escalar y
compacto. Si
es no trivial,
entonces
es no trivial.
Demostración: Suponemos sin pérdida de generalidad que
.
Si
y
es claro que
. Suponemos por lo
tanto que
.
Como
, tenemos que ya que
y por lo tanto podemos
definir el operador acotado
, el cual es claramente inyectivo.
Veamos que
. En efecto:
, de lo que se deduce lo afirmado.
Por otro lado como
∞
, se deduce que ′
Edixo Rosales
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De un cálculo directo se deduce que
∞
y por lo tanto y no puede ser un operador escalar. En efecto
(*) es un operador invertible. Por otro lado si para algún , se deduce que
(**). Usando (*) y (**) deduciríamos que es realmente un operador escalar,
lo que contradice la hipótesis del corolario 2.
Usando el hecho de que
llegamos a que el operador
es compacto y que
, es decir
es un operador normal.
Como es inyectivo y normal, tenemos que
, deducimos que
, luego por la descomposición polar de , existe un operador unitario tal que
. Se tiene que
es compacto
Probemos que
. En efecto, si
, se tiene que
, y por
lo tanto se deduce que, los operadores
son invertibles, lo que contradice la
compacidad de
.
Veamos que
es acotado por abajo, en efecto
+
. Como
es auto
adjunto, se concluye que
es un operador invertible.
De los razonamientos previos obtenemos que
es un operador compacto, luego podemos
escribir
con unitario y
compacto.
Si
, es claro que existe
, con
.
De lo contrario . Sólo falta demostrar que es un operador lleno. Por Sarason tenemos que
, lo que asegura lo afirmado. Se termina aplicando el teorema 5.
3. COMENTARIOS FINALES
Nuestro resultado principal es un caso particular de un problema que enseguida anunciaremos:
Sea es un operador acotado por abajo, y un operador de Riesz, tal que
′. Si es lleno, entonces es lleno.
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Realmente el teorema anterior se puede estudiar para operadores acotados sobre espacios de Banach
uniformemente convexos y es lo que ocupa parte de nuestras actuales investigaciones. El problema
ha sido estudiado parcialmente por el profesor Wilson Pacheco
.
4. REFERENCIAS
Bravo J. (1980). Relations between ,−,and operators with compact imaginary parts.
Ph.D. Dissertation. U.C. Berkeley.
Fernandez G., Carlos (2015). “Introducción a los Espacios de Hilbert, Operadores y espectros.
UNED.
Halmos P. R. (1982). A Hilbert Space Problem Book. Springer Verlag. Second Edition. New York.
Karanasios, S. (1984). Full operators and approximation of inverses. J. London Math. Soc. 30, 295-
304.
Kubrusly, C. (2008). Hilbert Space Operators. A Problem Solvind Approach. Birkhauser. Boston.
Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. New
York.
Pacheco, W. Carolina, C. (2009). Operadores llenos y aproximación del inverso en espacios de
Hilbert. Revista Ciencia. 21 (4), 216-223.
Rosales, E. (2011). Operadores Casi Llenos y de Radio Numérico Alcanzable. Ediciones del
Vicerrectorado Académico de la Universidad del Zulia.
Schecter, M. (1971). Principles of Functional Analysis. Academic Press, INC. New York.
