Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No. 2, Mayo/Agosto, 2020, Ecuador (p. 5969). Edición continua
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE RESUMACIÓN DE BOREL EN LA
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EULER
Oswaldo José Larreal Barreto
Departamento de Matemáticas y Estadísticas, Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Técnica de Manabí.
Autor para correspondencia: olarreal@utm.edu.ec
Recibido: 2642019 / Aceptado: 2472020 / Publicación: 3182020
Editor Académico: Michel Enrique Gamboa Graus
RESUMEN
El propósito de este artículo es mostrar que a partir de la series divergentes se puede obtener información relevante que
permite resolver algunos problemas, para lograr este cometido, inicialmente se hace una breve introducción a la teoría
resurgente deÉcalle, se establecen las definicionesbásicas como: resumaciónde Borel, serie clase Gevrey1e introducimos
las herramientas necesarias, entre ellas la transformada de Borel y Laplace, además se hace un esquema de los pasos que
se deben seguir para usar el método de resumación de Borel. Se muestra como ejemplo la ecuación diferencial de Euler,
de la cual se halla una solución en forma de serie formal divergente. Siguiendo el esquema del método se debe calcular
en primer lugar la transformada de Borel y asociar esta con una función que es analítica en un dominio, para así definir
el dominio de la transformada de Laplace y obtener por extensión analítica las soluciones al problema inicial. Luego de
este procedimiento las soluciones al problema inicial no deben estar dado por una serie divergente y en su lugar puede ser
representado por integrales con caminos distintos, esto último puede permitir establecer relaciones entre las soluciones.
Palabras clave: resumación de Borel, ecuación diferencial de Euler, series divergentes.
APPLICATION OF BOREL’S SUMMARIZATION METHOD IN EULER’S
DIFFERENTIAL EQUATION
ABSTRACT
The purpose of this article is to show that from the divergent series it is possible to obtain relevant information that allows
solving some problems, to achieve this task, initially a brief introduction to the resurgent theory of Écalle is made, the
basic definitions are established such as: Borel summarization, Gevrey1 class series and we introduce the necessary
tools, among them the Borel and Laplace transform, we also outline the steps that must be followed to use the Borel
summarization method. Euler’s differential equation is shown as an example, of which a solution is found in the form of a
divergent formal series. Following the scheme of the method, the Borel transform must first be calculated and associated
with a function that is analytic in a domain, in order to define the domain of the Laplace transform and obtain by analytical
extension the solutions to the initial problem. After this procedure, the solutions to the initial problem should not be given
by a divergent series and instead can be represented by integrals with different paths, the latter can allow establishing
relationships between the solutions.
Keywords: Borel’s summary, Euler differential equation, series divergent.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No. 2, Mayo/Agosto, 2020, Ecuador (p. 5969)
Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE SUMARIZAÇÃO DE BOREL NA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL DE EULER
RESUMO
O objetivo deste artigo é mostrar que a partir das séries divergentes é possível obter informações relevantes que permitam
resolver alguns problemas, para cumprir esta tarefa, inicialmente é feita uma breve introdução à teoria ressurgente de
Écalle, as definições básicas são estabelecidas como: Sumarização de Borel, série de classes Gevrey1 e apresentamos
as ferramentas necessárias, entre elas a transformada de Borel e Laplace, também delineamos os passos que devem ser
seguidos para usar o método de sumarização de Borel. A equação diferencial de Euler é mostrada como um exemplo, cuja
solução é encontrada na forma de uma série formal divergente. Seguindo o esquema do método, a transformada de Borel
deve primeiro ser calculada e associada a uma função analítica em um domínio, a fim de definir o domínio da transformada
de Laplace e obter por extensão analítica as soluções para o problema inicial. Após esse procedimento, as soluções para o
problema inicial não devem ser dadas por uma série divergente, mas podem ser representadas por integrais com caminhos
diferentes, podendo esta última permitir estabelecer relações entre as soluções.
Palavras chave: resumo de Borel, equação diferencial de Euler, séries divergentes.
Citación sugerida: Larreal, O. (2020). Aplicación del método de resumación de Borel en la ecua
ción diferencial de Euler. Revista Bases de la Ciencia, 5(2), 59 69. DOI: 10.33936/rev_bas_de_la_
ciencia.v %vi %i.1740 Recuperado de:
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/article/view/1740
Orcid IDs:
Dr. Oswaldo José Larreal Barreto: https://orcid.org/0000-0001-7604-7030
Dr. Michel Enrique Gamboa Graus: https://orcid.org/0000-0003-3704-9927
60 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Oswaldo José Larreal Barreto
1. INTRODUCCIÓN
La idea central de este trabajo es el tratamiento de ciertas series de potencia divergentes. Como una
primera parte se introduce la definición de límite generalizado de una sucesión. Se hace un bosquejo
de la idea propuesta por Félix Édouard Justin Émile Borel, para luego mostrar la definición formal de
suma generalizada. Se estructura el procedimiento que se debe considerar frente a una serie divergente,
en el mismo se define la transformada formal de Borel a lo largo de una dirección arbitraria del plano
complejo.
Por último se muestra el método de resumación de Borel en la solución formal de la ecuación diferen
cial de Euler.
Como referencia principal se usan los libros Candelpergher et al. (1993), Mitschi y Sauzin (2016),
sin embargo se debe tener también a la mano los artículos Baldomá y Seara (2008), Seara y Sauzin
(2003), Olivé et al. (2003), Martin et al. (2011), y las tesis doctorales Olivé (2006), Larreal (2011).
Resumación de Borel
Si se consideran las sucesiones {v
n
} y {p
n
} de números complejos y reales positivos, respectivamente
y se define la sucesión de medias ponderadas por:
w
n
=
n
i=0
p
i
v
i
n
i=0
p
i
(1)
Una pregunta natural que se puede formular es: ¿bajo qué condiciones convergen w
n
?.
Borel para resolver este problema, propuso dar más importancia en la suma (1) que a los términos con
n más grande. Para esto tomó un parámetro λ > 0 y definió a los p
n
= λ
n
/n!. Se observa que con esta
definición, los pesos más grandes corresponde a: n ≈ λ, por lo tanto, haciendo λ cada vez más grande
se obtiene el efecto deseado. Ahora teniendo en cuenta que
i=0
p
n
→ e
λ
, el límite generalizado
será, para cada valor de λ, e
−λ
∞
n=0
λ
n
/n!v
n
. Consiguiendo de esta manera dar más importancia a
los términos con la n más grande.
Así de esta forma se define el límite generalizado como:
lím
λ→∞
e
−λ
∞
n=0
λ
n
n!
v
n
. (2)
Se puede observar que si v
n
converge a v, entonces el límite generalizado de Borel converge a v. Es
de esperar, sin embargo, que este límite pueda existir también para sucesiones no convergentes. Este
es el motivo principal por el que se usa esta herramienta en nuestro problema.
Por ejemplo, la sucesión v
n
= z
n
, tiene límite cero si |z| < 1, tiene límite 1, si z = 1, y no es
convergente si |z| > 1. Pero
∞
n=0
λ
n
/n!z
n
= e
λz
, para todo z ∈ C, por tanto el límite generalizado
de Borel será:
lím
λ→∞
e
−λ
e
λz
= lím
λ→∞
e
−λ(1−z)
=
0, si (z) < 1
1, si z = 1
Fijémonos, que el límite generalizado de Borel ha permitido extender la definición de límite de la
sucesión v
n
fuera del disco unidad, concretamente en el semiplano complejo (z) < 1, conservando
los valores del límite clásico en los casos que la sucesión ya convergía. El método de resumación de
Borel de una serie
∞
n=0
u
n
consiste en aplicar el límite generalizado de Borel a sus sumas parciales
S
n
=
n
i=0
u
i
, con S
0
= 0.
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Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler
Se define
S(λ) = e
−λ
∞
n=0
λ
n
n!
S
n
Se puede obtener una expresión más útil si se supone que S(λ) está bien definida para todo λ > 0, y
calcular su derivada:
S
′
(λ) = e
−λ
∞
n=0
λ
n
n!
(S
n+1
− S
n
) = e
−λ
∞
n=0
λ
n
n!
u
n
.
Usando que S(0) = S
0
= 0, se obtiene S(λ) =
λ
0
e
−α
∞
n=0
α
n
n!
u
n
dα. Si ahora se hace tender λ a
infinito se obtiene la definición de suma generalizada de Borel.
Definición 1. Dada una serie
∞
n=0
u
n
, se dice suma generalizada de Borel o resumación de Borel
de esta serie a:
∞
0
e
−α
∞
n=0
α
n
n!
u
n
dα
Para que tenga sentido la definición anterior se debe exigir que la serie de potencias
∞
n=0
α
n
n!
u
n
tiene
un radio de convergencia no nulo y que además se pueda prolongar fuera de su disco de convergencia,
a una función f (α) analítica en un entorno del origen, por otro lado también hay que exigir que tenga
crecimiento exponencial.
En casos generales se trabaja con series de potencias de la forma:
˜
f =
n
=0
a
n
z
n+1
de clase Gevrey1, en las cuales se va a aplicar el procedimiento que se explica más adelante para así
poder hallar la resumada de Borel.
Definición 2. Dada una serie de potencia
n=0
a
n
z
n
, se dice que es de clase Gevrey1 si existen dos
constantes positivas M > 0, ρ > 0 tales que |a
n
| ≤ M n!ρ
n
.
Definición 3. Se dice sector en una superficie de Riemann del logaritmo al conjunto
S(δ, α, ρ) = {ξ ∈ C : | arg ξ − α| < δ/2 y 0 < |ξ| < ρ},
donde δ es un número real positivo, α es real y ρ puede ser un número real positivo o +∞. También
se denotar a S(δ, α, +∞) por S
δ
(α)
Definición 4. Dada una función
ˆ
f(ξ) analítica en un sector S
δ
(α) = {ξ ∈ C : | arg ξ − α| < δ/2}
para algún δ > 0, se dice que tiene crecimiento exponencial τ , si existe una constante C > 0 tal que
|
ˆ
f(ξ)| < Ce
τ|ξ|
, ∀ξ ∈ S
δ
(α).
Definición 5. La transformada de Borel formal es la aplicación B : z
−1
C[[z
−1
]] → C[[ξ]] definida
por:
B : ˜φ =
∞
n=0
a
n
z
−n−1
→ ˆφ =
∞
n=0
a
n
ξ
n
n!
.
Donde C[[ξ]] denota el espacio de series formales con coeficientes en C, es decir:
C[[ξ]] =
φ(z) =
n≥0
a
n
ξ
n
, con a
0
, a
1
, . . . ∈ C
62 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Oswaldo José Larreal Barreto
Así
C[[z
−1
]] =
φ(z) =
n≥0
a
n
z
−n
, con a
0
, a
1
, . . . ∈ C
El conjunto de series formales convergentes en ∞ lo se denota por C{z
−1
}. Las definiciones anteriores
son usadas en Candelpergher et al. (1993) y Olivé et al. (2003).
Observación 1. La aplicación B es un isomorfismo entre los espacios z
−1
C[[z
−1
]] y C[[ξ]].
2. PASO A SEGUIR EN LA RESUMACIÓN DE BOREL
1. Como primer paso se debe calcular la transformada de Borel de la serie
˜
f =
n=0
a
n
z
n+1
→ B(
˜
f) =
n=0
a
n
n!
ξ
n
.
2. Ahora si esta serie tiene un radio de convergencia R > 0 esto nos permite definir una función
analítica
ˆ
f(ξ), para todo ξ ∈ C con |ξ| < R. Obsérvese que esto es una condición necesa
ria, ya que en caso contrario carecería de sentido definir la función
ˆ
f(ξ) y por supuesto este
procedimiento no se puede aplicar.
3. Por otro lado si se observa θ, y si está bien definida la siguiente integral:
S
θ
(
˜
f)(z) = L
θ
(
ˆ
f)(z) =
C
θ
e
−zξ
ˆ
f(ξ) dξ, (3)
con C
θ
= {ξ : ξ = r e
θi
, r > 0}.
La cual se llama resumación de Borel en la dirección θ de
ˆ
f(ξ), esta definición es más general
que la dada en 1. Se Observa que S
θ
(
˜
f)(z) es la transformada de Laplace de la función
˜
f a lo
largo del camino C
θ
.
Observación 2. Para que esté bien definida la integral de S
θ
(
˜
f)(z) se necesita que:
a)
ˆ
f(ξ) debe ser integrable en C
θ
= {ξ : ξ = r e
θi
, r > 0}. En particular
ˆ
f(ξ) debe tener
singularidades en C
θ
.
b) Como se ha mencionado anteriormente, para impedir que la integral (3) tienda a ∞ se
debe exigir que
ˆ
f al menos tenga crecimiento exponencial, por lo tanto deben existir dos
números reales c
1
> 0 y τ tales que si arg ξ = θ entonces |
ˆ
f(ξ)| < c
1
e
τ|ξ|
. Así se obtiene
que:
|e
−zξ
ˆ
f(ξ)| < e
−ℜ(zξ)
c
1
e
τ|ξ|
= c
1
e
|ξ|
(
τ−ℜ(ze
θi
)
)
y la integral será convergente para los z ∈ C, tales que:
τ − (ze
θi
) < 0
Por lo tanto:
(ze
θi
) > τ (4)
Visto C
∼
=
R
2
como un Respacio vectorial, se obtiene que z y e
−θi
son vectores en R
2
por
lo tanto la ecuación (4) se puede escribir como:
(z; e
−θi
) > τ,
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No. 2, Mayo/Agosto, 2020, Ecuador (p. 6369) 63
Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler
Z
θ
−θ
D = {z ∈ R
2
: (z; e
−θi
) > τ}
τ
Figura 1. Representación del dominio D
θ
fijado θ.
donde (· ; · ) denota el producto interno canónico en R
2
. Así se obtiene que el dominio de
z debe ser, el semiplano:
D
θ
= {z ∈ R
2
: (z; e
−θi
) > τ }
Ver figura 1, en la cual se muestra una representación del dominio D
θ
fijado θ.
Ahora dado α ∈ R
+
y θ
0
∈ [0, 2π). Si se varia arg ξ = θ en un sector S
α
(θ
0
) = {ξ : |θ −
θ
0
| <
α
2
}, se obtiene que el dominio D
α
θ
0
de los z correspondiente a todos los ξ ∈ S
α
(θ
0
)
debe ser la unión de los planos D
θ
que están delimitados por las rectas (z; e
−θi
) = τ , ver
figura 2, es decir:
D
α
θ
0
=
|θ−θ
0
|<
α
2
D
θ
ξ
α
2
θ
0
Figura 2. Izquierda sector S
α
(θ
0
). Derecha dominio D
α
θ
0
=
|θ−θ
0
|<
α
2
D
θ
correspondiente al sector al
sector S
α
(θ
0
).
En particular si el sector fuese S
2π
(0) y si τ > 0, el dominio D
2π
0
en los complejos es el com
plemento del circulo centrado en el origen de radio τ (ver figura 3).
3. MÉTODO DE RESUMACIÓN DE BOREL APLICADO A LA ECUACIÓN DE EULER
Para ilustar la utilidad de la resumación de Borel, se considera un caso particular de la ecuación diferen
cial de Euler (5), los casos más genéricos se muestran en: Delkhosh (2012), Jung y Min (2009),Utoch
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DE LA CIENCIA
Oswaldo José Larreal Barreto
Figura 3. Dominio correspondiente al sector S
2π
(0).
kina et al. (2014).
t
2
y
′
+ y = t. (5)
Ahora haciendo el cambio el variable t =
1
z
, se obtiene que la ecuación anterior se puede escribir
como:
Y
′
(z) − Y (z) = −
1
z
(6)
Se puede observar que la serie (formal):
˜
Y (z) =
n=0
(−1)
n
n!
z
n+1
, (7)
es solución de la ecuación (6), pero además es una serie divergente de clase Gevrey1.
Se desea en encontrar soluciones para la ecuación (6), usando el método de resumación de Borel en
la serie (7). Además si existen varias soluciones se desea determinar algunas relaciones entre ellas.
Para poder aplicar el método de resumación de Borel es necesario seguir lo planteado en la sección 2,
así se puede hallar la transformada de Borel a la serie (7), con lo cual se obtiene:
ˆ
f(ξ) =
n=0
(−1)
n
ξ
n
.
Esta serie converge a
ˆ
Y (ξ) =
1
1+ξ
si |ξ| < 1, por lo tanto
ˆ
Y (ξ) representa la prolongación analítica de
ˆ
f(ξ), así esta puede ser resumada por Borel, casi para cualquier dirección θ excepto en la dirección
que contenga ξ = −1, ya que allí no está definida la integral S
θ
(
˜
f). Por lo tanto se puede considerar
la transformada de Laplace S
θ
(
˜
f) en la dirección ξ = θ, con 0 ≤ θ < π. Así se obtiene:
S
θ
(
˜
Y (z)) = Y
θ
(z) =
C
θ
e
−zξ
1
1 + ξ
dξ, (8)
con C
θ
= {ξ : ξ = r e
θi
, r ≥ 0}.
Se verifica que
1
1+ξ
tiene crecimiento exponencial, para esto se puede comprobar que:
|1 + ξ|
2
≥ g
2
(θ) =
1 si θ ∈ [−
π
2
,
π
2
]
| sin(θ)|
2
si θ ∈ (
π
2
,
3π
2
]
Por lo tanto:
1
1 + ξ
≤ |g(θ)|
−1
si θ = π
Así se obtiene que dado ε > 0 y arg ξ ∈ [−π − ε, π + ε], se obtiene:
1
1 + ξ
≤ máx
x∈[−π−ε,π+ε]
|g(x)|
−1
= Ce
0|ξ|
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No. 2, Mayo/Agosto, 2020, Ecuador (p. 6569) 65
Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler
Por lo tanto τ = 0, y S
θ
(
˜
Y (z)) está bien definida y es analítica cuando (z; e
−θi
) > 0 ≡ (zξ) ≥ 0 es
decir S
θ
(
˜
Y (z)) es analítica en el dominio
D
θ
= {z : (z; e
−θi
) > 0}
Ahora si se elige θ
1
, θ
2
∈ [0, π), por el teorema de Cauchy las funciones S
θ
1
(
˜
Y (z)) y S
θ
2
(
˜
Y (z)), son
extensiones una de la otra en los dominios D
θ
2
y D
θ
1
respectivamente, así se obtiene que se puede
hacer una extensión de S
θ
1
(
˜
Y (z)) a D
θ
1
∪ D
θ
2
.
Z
D
θ
1
∩ D
θ
2
θ
1
−θ
1
θ
2
−θ
2
Figura 4. Intersección de los dominios correspondiente a θ
1
y θ
2
.
Por ejemplo si se inicia fijando θ
0
= 0, se obtiene una función Y
0
(z) = S
0
(
˜
Y (z)), definida en
D
0
= {z : z > 0}. Ahora si se varia θ ∈ [0, π), se puede extender Y
0
(z) analíticamente, al
dominio D
−
=
θ∈[0,π)
D
θ
.
ξ
θ
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Figura 5. Camino de integración arg ξ = θ con 0 < θ < π.
Z
D
θ
θ
−θ
Figura 6. Plano D
θ
.
Por otro lado como
ˆ
Y (ξ) tiene un polo en ξ = −1 por lo tanto θ = arg ξ no puede ser igual a π en el
integrando de la ecuación (8), sin embargo se puede definir por continuación analítica la resumada al
semiplano de los complejos con parte real negativa tomando un camino que sigue el semieje negativo
y que pasa por arriba de esta singularidad.
A este camino lo se denota por O(π
−
) (ver figura 8(a)).
66 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Oswaldo José Larreal Barreto
Así se ha obtenido la prolongación analítica Y
−
(z) en el conjunto
D
−
= {z ∈ C : −3/2π < arg z ≤ π/2}
La cual está definida de la siguiente manera:
Y
−
(z) =
∞
0
e
−zξ
1
1+ξ
dξ si (z) ≥ 0
Y
π
−
(z) =
O(π
−
)
e
−zξ
1
1+ξ
dξ si (z) < 0
De hecho, se puede comprobar que si se toma un subsector S
2π−2ε
(−
π
2
) ⊂ D
−
(con ε > 0),
˜
Y (z) es
asintótica a Y
−
(z).
También se puede encontrar otra prolongación analítica Y
+
(z) si se elige θ ∈ (−π , 0]. Con lo cual se
define el camino O(π
+
) de manera análoga (ver figura 8(b)) a la definición del camino O(π
−
) solo
que esta vez pasa por debajo de la singularidad ξ = −1. Y así se define Y
+
(z) de la siguiente manera:
Y
+
(z) =
∞
0
e
−zξ
1
1+ξ
dξ si (z) ≥ 0
Y
π
+
(z) =
O(π
+
)
e
−zξ
1
1+ξ
dξ si (z) < 0
D
−
(a) Dominio D
−
.
D
+
(b) Dominio D
+
.
D = D
+
∩ D
−
(c) Dominio D.
Figura 7. Dominios D
−
, D
+
y D.
Por lo tanto cuando (z) < 0 se obtiene que Y
0
(z) tienen dos prolongaciones analíticas distintas que
son asintóticas a la serie
˜
Y (z).
Por último se establecen relaciones entre ambas soluciones.
Por teorema del residuo se puede calcular Y
−
(z) − Y
+
(z), (ver figura 8(c)) cuando z < 0:
Y
−
(z) − Y
+
(z) = Y
π
−
(z) − Y
π
+
(z)
=
O(π
−
)
e
−zξ
1
1 + ξ
dξ −
O(π
+
)
e
−zξ
1
1 + ξ
dξ
=
γ=O(π
−
)∪−O(π
+
)
e
−zξ
1
1 + ξ
dξ
= 2πi Res
e
−zξ
1
1 + ξ
ξ=−1
= 2πie
z
Entre las aplicaciones de la resumación de Borel, cabe destacar la resolución de ecuaciones inner ver:
Baldomá y Seara (2008), Martin et al. (2011), Simó y Vieiro (2009) más aún en aplicaciones concretas
en los cálculos del acelerador de microtrón ver Larreal (2011).
Publicación Cuatrimestral. Vol. 5, No. 2, Mayo/Agosto, 2020, Ecuador (p. 6769) 67
Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler
ξ
O(π
−
)
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
(a) Camino de integración
O(π
−
) .
ξ
O(π
+
)
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
(b) Camino de integración
O(π
+
) .
ξ
γ
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
(c) Camino de integración
γ .
Figura 8. Caminos de integración de γ.
4. CONCLUSIONES
El método de resumación de Borel ofrece una alternativa para definir una función por prolongación
analítica de una serie divergente, este método además ofrece la posibilidad de encontrar soluciones de
ecuaciones diferenciales que tienen soluciones en forma de series divergentes.
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