Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 63-71). Edición continua
UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE KURATOWSKI
Ismael Cohen
∗
, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes Linero, Rafael
Segundo Sanchez Anillo
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas, Universidad de la Costa, Colombia.
Email: jrodri@uninorte.edu.co, jorgelrodriguezc@mail.uniatlantico.edu.do
*Autor para correspondencia: icohen@cuc.edu.co
Recibido: 25-05-2019 / Aceptado: 22-04-2020 / Publicación:30-04-2020
Editor Académico: Miguel José Vivas-Cortez
RESUMEN
El presente estudio se enmarca dentro del paradigma de la investigación básica matemática. Nuestro trabajo está orientado
hacia el planteamiento de una nueva versión conceptual y la construcción de una prueba formal del reconocido problema
de clausura-complemento de Kuratowski en el marco de la teoría de los espacios vectoriales.
Palabras clave: Espacios vectoriales, Problema de Kuratowski, problema de cerradura y complemento.
A LINEAR VERSION OF THE KURATOWSKI’S PROBLEM
ABSTRACT
This study is framed into the basic mathematics research paradigm. This work is geared towards the statement of a new
conceptual version and to the construction of a formal proof of the well-known Kuratowski closure-complement problem
in the vector space theory frame.
Keywords:
Kuratowski’s problem, Vector spaces, Closure-complement problem.
UMA VERSÃO LINEAR DO PROBLEMA DE KURATOWSKI
RESUMO
O presente estudo está enquadrado no paradigma da pesquisa matemática básica. Este trabalho está voltado para afirmação
de uma nova versão conceitual e para a construção de uma prova formal do bem conhecido problema de complemento de
Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 63-71) 63
UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE KURATOWSKI
roupas de Kuratowski no quadro da teoria linear do espaço.
Palavras chave: Problema de Kuratowski, Espaços vetoriais, Problema de fechamento-complemento
Orcid IDs:
Dr. Ismael Cohen: https://orcid.org/0000-0003-2305-6974
Dr. Giovanni Wences: https://orcid.org/0000-0003-3745-2118
Dr. Jorge Rodriguez Contreras: https://orcid.org/0000-0002-1953-5350
MCs. Alberto Reyes Linero: https://orcid.org/0000-0002-9024-5006
Dr. Miguel José Vivas-Cortez: https://orcid.org/0000-0002-1567-0264
64 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Citación sugerida: Ismael Cohen, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes
Linero, Rafael Segundo Sanchez Anillo . UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE
KURATOWSKI. Revista Bases de la Ciencia, 5(1), 63 -71. DOI:
10.33936/rev_bas_de_la_ciencia.v5i1.1787 Recuperado de:
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/article/view/1787
Ismael Cohen, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes Linero, Rafael Segundo Sanchez Anillo
1. INTRODUCCIÓN
Teorema 1 (Teorema de Kuratowski). Si (X, τ) es un espacio topológico y A ⊆ X entonces a lo
más 14 conjuntos pueden ser obtenidos de A al tomar clausuras y complementos. Además, existe un
espacio donde esta cota se alcanza.
Este resultado también conocido como el Teorema de Clausura-Complemento de Kuratowski, ha
sido objeto de estudio de un sin número de autores (Berman y Jordan, 1975; Fife, 1991; Santiago, 2019;
Koenen, 1966; Langford, 1971; Sherman, 2010; Villegas, Sestier y Olivares, 2000). La sencillez de su
planteamiento y la armonía existente entre los conceptos que relaciona son los principales responsables
de su gran reconocimiento desde su aparición (Kuratowski, 1922).
Una de las aproximaciones más convenientes para el estudio de este resultado es a través de su in-
terpretación en el lenguaje funcional. Sobre el espacio topológico (X, τ) se consideran los operadores
complemento y clausura definidos como C(A) = X − A y cl(A) =
¯
A. Se pueden dar pruebas del
Teorema estudiando las propiedades de estos operadores (Gardner y Jackson, 2008; Fife, 1991).
Es bastante claro que a través de los años, se han presentado diferentes tipos de generalizacio-
nes de este resultado (Brzozowski, Grant y Shallit, 2009; Hammer, 1960; Koenen, 1966; Santiago,
2019). Nuestro objetivo es presentar un caso particular del resultado presentado en (Santiago, 2019),
en el contexto de los espacios vectoriales. Somos conservadores en nuestro método de aproximación,
toda vez que precisamos del estudio de funciones definidas sobre espacios lineales que hereden las
propiedades fundamentales de la clausura topológica.
En este sentido, dado el espacio vectorial V lo que entenderemos por operador “span”, será la
función L : P(V ) −→ P(V ) que a cada subconjunto S ∈ P(V ) lo mapea en el subespacio
vectorial generado por S. Aquí P (V ) es el conjunto partes de V . Observamos que el span de S
coincide formalmente con la intersección de todos los subespacios que contienen a S (Friedberg, Insel
y Spence, 1982), así como la clausura de un conjunto en un espacio topológico (X, τ) es la intersección
de todos los cerrados que lo contienen.
Las operaciones fundamentales de la clausura expuestas en (Engelking, 1989; Munkres, 2000),
plantean que sobre el espacio (X, τ) verificamos:
(T.1.) cl(∅) = ∅.
(T.2.) A ⊆ cl(A) para todo A ∈ P(X).
(T.3.) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B) para todo A, B ∈ P(X).
(T.4.) cl(cl(A)) = cl(A) para todo A ∈ P(X).
Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 65-71) 65
UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE KURATOWSKI
2. ANALOGÍA FUNDAMENTAL Y RESULTADOS PREVIOS.
Lo que queremos mostrar ahora es la analogía existente entre los espacios topológicos con el
operador clausura y los espacios vectoriales emparejados con el operador span. El siguiente resultado
es determinante en la justificación de nuestro propósito.
Lema 1. Si S y T son subconjuntos de un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces L(S∪T ) =
L(S) + L(T ).
Demostración. Para x ∈ L(S ∪ T ), existe un conjunto finito H = {h
1
, h
2
, . . . , h
n
} ⊆ S ∪ T
que satisface x = α
1
h
1
+ · · · + α
n
h
n
donde α
1
, . . . , α
n
∈ K. Por la definición de S ∪ T podemos
escoger
˜
S ⊆ S y
˜
T ⊆ T tales que
˜
S ∩
˜
T = ∅ y
˜
S ∪
˜
T = H. Consideremos
˜
S = {s
1
, . . . , s
m
} y
˜
T = {t
1
, . . . , t
r
}. Por las propiedades de V como espacio vectorial tenemos que:
x = α
1
h
1
+ · · · + α
n
h
n
= [β
1
s
1
+ · · · + β
m
s
m
] + [γ
1
t
1
+ · · · + γ
r
t
r
],
donde (β
1
, β
2
, . . . , β
m
, γ
1
, γ
2
, . . . , γ
r
) es una permutación de (α
1
, . . . , α
n
). Dado que s = β
1
s
1
+
· · · + β
m
s
n
∈ L(S) y t = γ
1
t
1
+ · · · + γ
r
t
r
∈ L(T ), se tiene que x = s + t ∈ L(S) + L(T ). La
contenencia restante L(S) + L(T ) ⊆ L(S ∪ T ) no es muy difícil de mostrar.
Por el anterior resultado y la definición presentada, podemos verificar que sobre cualquier espacio
vectorial se satisfacen las propiedades:
(V.1.) L(∅) = {e}.
(V.2.) S ⊆ L(S) para todo S ⊆ V .
(V.3.) L(S ∪ T ) = L(S) + L(T ) para todo S, T ⊆ V (Lema 1).
(V.4.) L(L(S)) = L(S) para todo S ⊆ V .
Notar que el ítem (V.3.), contempla una condición mucho más fuerte que L(S) ∪ L(T ) ⊆ L(S ∪ T ).
De esta manera la semejanza entre las propiedades fundamentales de los espacios topológicos con la
operación clausura [enunciadas en los numerales de (T.1.) hasta (T.4.)] y los espacios vectoriales con
la operación span [enunciadas en los numerales de (V.1.) hasta (V.4.)] queda completamente expuesta.
Los siguientes resultados jugarán un papel completamente trascendental en la prueba de nuestro
Teorema principal. Estos conforman una sustanciosa lista de propiedades que caracterizan espacios
lineales.
66 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Ismael Cohen, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes Linero, Rafael Segundo Sanchez Anillo
Lema 2. La unión de dos subespacios de un espacio vectorial tiene estructura de subespacio si y solo
si uno de los subespacios está contenido en el otro.
Demostración. Si A ⊆ B, entonces A∪B = B y si B ⊆ A, luego A∪B = A luego la implicación
que va de derecha a izquierda queda demostrada.
Para demostrar el recíproco, sean A y B subespacios de V tales que A ∪ B es también subespacio
vectorial. Por reducción al absurdo, supongamos que existen a ∈ A − B y b ∈ B − A. Dado que
A ∪ B es subespacio, tenemos que a + b ∈ A ∪ B y de esta forma a + b ∈ A o a + b ∈ B. Si se
cumple el primer caso, entonces b = (a + b) − a ∈ A, lo cual es absurdo; si se da el segundo caso, se
tiene que a = (a + b) − b ∈ B lo cual también es absurdo.
Corolario 1. Si A es un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces L(A) = V
o L(V − A) = V .
Demostración. Afirmamos la siguiente proposición:
(*) Si S es un subespacio propio de un espacio lineal V , entonces L(V − S) = V .
En efecto, es claro que V = S ∪ L(V − S). Si L(V − S) es subespacio propio de V , se llegaría a una
contradicción del Lema 2. Concluimos así que L(V − S) = V , en este caso.
De esta forma, si A ⊆ V entonces L(A) es un subespacio propio o L(A) = V , lo cual muestra
el resultado, ya que si span(A) es propio entonces por la afirmación (*), span(V − span(A)) = V y
como A es subconjunto de span(A), V = span(V − span(A)) es subconjunto de span(V − A). Es
decir V = span(V − A).
3. UNA VERSIÓN LINEAL DE KURATOWSKI.
Por todo lo anteriormente discutido, tenemos herramientas para formular una versión lineal del
Teorema de Clausura-Complemento, además de construir formalmente su demostración. Notamos
que el span toma el lugar de la clausura en espacios lineales y que la interacción entre la suma de
conjuntos y la unión juegan un papel bastante determinante.
Teorema 2. Sean (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un campo K y A ∈ P(V ). Al aplicar de
forma consecutiva las operaciones de complemento y span al conjunto A (en cualquier orden que
escojamos), podemos obtener no más de 8 subconjuntos diferentes de V .
Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 67-71) 67
UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE KURATOWSKI
Demostración. Empezamos definiendo para cada n ∈ N el término:
x
n
=
L(x
n−1
), si n es impar.
V − x
n−1
, si n es par.
De esta forma, la sucesión
{
x
n
}
n∈N
se compone por la totalidad de los subconjuntos de V que se
obtienen de x
0
= A, aplicando primero el operador span y luego alternando la aplicación complemento
y span iterativamente, en ese orden. Si L(A) es propio, luego por Corolario 1 tenemos que x
3
= V .
Así se deduce que x
4
= ∅ y también que x
5
= {0
V
}. La aparición de posibles nuevos subconjuntos
de V producidos por esta sucesión se detiene puesto que x
7
= V . Mostramos así que:
{x
n
}
n∈N
= {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
}, (1)
donde los subconjuntos de esta sucesión se enlistan como:
x
1
= L(A), x
2
= V − L(A), x
3
= V, x
4
= ∅, x
5
= L(∅) = {0
V
}, x
6
= V − {0
V
}.
Concluimos que este procedimiento produce a lo más seis subconjuntos distintos de V a partir de A.
Por otro lado, podemos definir:
y
n
=
V − y
n−1
, si n es impar.
L(y
n−1
), si n es par.
Acá consideramos y
0
= A. Así construimos las sucesión de todos los subconjuntos de V que se obtie-
nen de A tomando su complemento y luego aplicando iterativamente operador span y complemento,
en ese orden. La sucesión y
1
, y
2
, y
3
, . . . , viene dada por:
V − A, L(V − A), V − L(V − A), L(V − L(V − A)), . . . (2)
Al comparar los términos de las sucesiones {x
n
}
n∈N
y {y
n
}
n∈N
identificamos los siguientes casos con
sus correspondientes resultados. Si L(A) es propio, entonces L(V − A) = V por Corolario 1. Así la
sucesión {y
n
}
n∈N
viene dada por la extensión
{y
n
}
n∈N
= {y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
},
68 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Ismael Cohen, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes Linero, Rafael Segundo Sanchez Anillo
satisfaciendo que
y
1
= V − A, y
2
= V, y
3
= ∅, y
4
= {0
V
}, y
5
= V − {0
V
}.
De esta forma, la sucesión {y
n
} brinda a lo más un subconjunto adicional de V distinto a los de la
Ecuación 1, a saber V − A. Si L(A) = V y L(V − A) es propio, entonces L(V − L(V − A)) = V
por la afirmación en el Corolario 1. Luego nuestra sucesión satisface
{y
n
}
n∈N
= {y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
}
donde
y
1
= V − A, y
2
= L(V − A), y
3
= V − L(V − A), y
4
= V,
y
5
= ∅, y
6
= {0
V
}, y
7
= V − {0
V
}.
Así, en este caso el máximo número de posibles elementos nuevos que brinda la sucesión {y
n
} es de
tres, a saber, y
1
, y
2
y
3
. Si L(A) = V y L(V − A) = V , entonces {y
n
} brinda a lo más un subconjunto
de V distinto a los dados por la sucesión {x
n
}.
Se sigue de todo lo anterior que el número máximo de elementos que se pueden obtener de un
A ∈ P(V ) al aplicar operaciones de complemento y span alternada y sucesivamente, es a lo más
ocho.
Como aplicacion del anterior resultado mostramos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Sea F un campo. Definimos el espacio de las sucesiones no nulas V
0
, como el conjunto
de sucesiones {x
n
} en F que tienen solamente un número finito de términos x
n
distintos a cero. Se
puede mostrar que V
0
es un espacio vectorial sobre F con las operaciones usuales de funciones, esto
es, {x
n
} + {y
n
} = {x
n
+ y
n
} y r{x
n
} = {rx
n
}. Podemos construir una base sobre V
0
definiendo la
sucesión ϕ
k
que satisface que todos sus elementos son cero excepto el k-ésimo siendo este igual a 1.
Dado que el conjunto B = {ϕ
n
: n ∈ N} es una base para V
0
, tenemos que este espacio vectorial es
de dimensión infinita y así tiene por lo menos una cantidad numerable de elementos. Consideremos
el subconjunto de V
0
dado por la fórmula H = {0, ϕ
1
}. Luego ni H, ni V
0
− H son subespacios de
V
0
. Luego la dimensión infinita del espacio vectorial V
0
, haría del cálculo de la solución al problema
de Kuratowski asociado al conjunto H una labor extremadamente complicada. Notamos que en la
hipótesis de nuestro resultado principal (Teorema 2) no es determinante la dimensión del espacio en
el calculo de los conjuntos resultantes de la iteración de las operaciones fundamentales del problema.
Sea el caso finito o infinito de la dimensión el calculo de estos conjuntos es exacto. Luego podemos
Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 69-71) 69
UNA VERSIÓN LINEAL DEL PROBLEMA DE KURATOWSKI
afirmar por Teorema 2 que la solución al problema de Kuratowski asociado al conjunto H es de a los
más 8.
4. CONCLUSIÓN
En el presente estudio se logra trasladar el problema de clausura y complemento al marco de los
espacios vectoriales, construyendo una cota para la solución de dicho problema. Una posible extensión
al trabajo sería el cálculo de los conjuntos de Kuratowski asociados a la C*-álgebra dada por la fórmula
C
∗
0
=
{
∑
finito
f
k
U
k
∈ C
0
(X) ⋊ Z : k ∈ Z, f
k
(0) = 0 para todo k ̸= 0
}
,
generada en el sentido de Woronowicz por un operador no acotado q-normal σ sobre un espacio de
Hilbert separable H con descomposición polar dada por σ = U |σ| tal que X := spec(|σ|) ̸= 0 (Cohen
y Wagner, 2012, 2014, 2018). La extensión natural del álgebra lineal hacia el análisis funcional y a su
vez el salto a la teoría de grupos cuánticos, nos permite alimentar este proyecto de varias analogías
ya construidas en la presente investigación. Se especula que la metodología expuesta también logra
encontrar extensión a la teoría de módulos, toda vez que los espacios vectoriales constituyen el caso
escalar particular en este contexto. Es una tarea ya bastante adelantada de los autores la construcción
de estas translaciones. Su divulgación se proyecta como un resultado cercano.
5. REFERENCIAS
Berman, J. y Jordan, S. (1975). The kuratowski closure-complement problem. American Mathematical
Monthly, 82.
Brzozowski, J., Grant, E., y Shallit, J. (2009). Closures in formal languages and kuratowski’s theorem.
En Diekert, V. y Nowotka, D., editores, Developments in Language Theory, pp. 125–144, Berlin,
Heidelberg. Springer Berlin Heidelberg.
Cohen, I. y Wagner, E. (2012). A noncommutative 2-sphere generated by the quantum complex plane.
Banach Center Publications, 98:55–66.
Cohen, I. y Wagner, E. (2014). Function algebras on a 2-dimensional quantum complex plane. Journal
of Physics: Conference Series, 563:012034.
Cohen, I. y Wagner, E. (2018). K-theory and index pairings for c
∗
-algebras generated by q-normal
operators. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 48 (5):1485–1510.
70 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Ismael Cohen, Giovanni Wences, Jorge Rodriguez Contreras, Alberto Reyes Linero, Rafael Segundo Sanchez Anillo
Engelking, R. (1989). General Topology. Heldermann Verlag.
Fife, J. (1991). The kuratowski closure-complement problem. Mathematics Magazine, 64:180–182.
Friedberg, S. Insel, A. y Spence, L. (1982). Linear algebra. Illinois State University Editions.
Gardner, B. y Jackson, M. (2008). The kuratowski closure-complement theorem. New Zealand Jour-
nal of Mathematics [electronic only], 38:841–842.
Hammer, P. (1960). Kuratowski’s closure theorem. Nieuw Archief voor Wiskunde. Derde Serie, 8
(2):74–80.
Koenen, W. (1966). The kuratowski closure problem in the topology of convexity. The American
Mathematical Monthly, 73 (7):704–708.
Kuratowski, K. (1922). Sur l
′
opération ¯a de l
′
analysis situs. Fundamenta Mathematicae, 3:182–199.
Langford, E. (1971). Characterization of kuratowski 14-sets. The American Mathematical Monthly,
78 (4):362–367.
Munkres, J. (2000). Topology. Prentice Hall.
Santiago, J. H. (2019). The group-theoretic analog of kuratowski’s closure-complement theorem. The
American Mathematical Monthly, 126(6):519–526.
Sherman, D.(2004). Variations on kuratowski’s 14-set theorem. The American Mathematical Monthly,
117(2):113–123.
Villegas, L. Sestier, A. y Olivares, J. (2000). Lecturas básicas en topología general. Revista Aporta-
ciones Matemáticas, 28:10–16.
Publicación cuatrimestral. Vol. 5, No. 1, Enero/Abril, 2020, Ecuador (p. 71-71) 71
