Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165). Edición Contínua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4107
CONDICIONES SUFICIENTES PARA OPERADORES ASOCIADOS AL
OPERADOR DE CAUCHY−RIEMANN EN LOS BI−CUATERNIONES
Luis Alfredo Párraga Pincay
1∗
, Eusebio Alberto Ariza García
2
.
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador. Email: lparraga9287@utm.edu.ec
2
Yachay Tech, 100119 Urcuquí, Ecuador. Email: eariza@yachaytech.edu.ec
*Autor para correspondencia: lparraga9287@utm.edu.ec
Recibido: 21−10−2021 / Aceptado:13−12−2022 / Publicación:27−12−2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas .
RESUMEN
El método de los espacios asociados es una herramienta útil para estudiar algunos problemas de valor inicial. El desarrollo
del presente trabajo tuvo como objetivo principal determinar las condiciones suficientes para que un par de operadores
diferenciales sean asociados, uno de los cuales es el operador de Cauchy−Riemann generalizado, todo esto en el con
texto de los cuaterniones complejos; estas condiciones, junto con un estimado interior conveniente para las derivadas
de primer orden de funciones regulares generalizadas en los cuaterniones complejos, permiten resolver un problema de
Cauchy−Kovalevskaya en un dominio cónico de R
4
, con respecto a una norma pesada en un espacio de Banach adecuado.
Palabras clave: Espacios Asociados, Estimados Interiores, Operador de Cauchy−Riemann, Bi−cuaterniones.
SUFFICIENT CONDITIONS FOR OPERATORS ASSOCIATED TO THE
CAUCHY−RIEMANN OPERATOR IN BI−QUATERNIONS
ABSTRACT
The method of associated spaces is a useful tool for studying some initial value problems. The main objective of the de
velopment of this work was to determine the sufficient conditions for a pair of differential operators to be associated, one
of which is the generalized Cauchy−Riemann operator, all this in the context of complex quaternions; these conditions,
together with a convenient interior estimate for the firstorder derivatives of generalized regular functions on the complex
quaternions, allow us to solve a Cauchy−Kovalevskaya problem in a conic domain of R
4
, with with respect to a heavy
norm in a suitable Banach space.
Keywords: Associated Spaces, Cauchy−Riemann Operator, Interior Estimates, Bi−quaternions.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 153
CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA OPERADORES ASSOCIADOS AO
OPERADOR CAUCHY−RIEMANN EM BI−QUATÉRNIOS
RESUMO
O método dos espaços associados é uma ferramenta útil para estudar alguns problemas de valor inicial. O principal objetivo
do desenvolvimento deste trabalho foi determinar as condições suficientes para que um par de operadores diferenciais seja
associado, sendo um deles o operador generalizado de Cauchy−Riemann, tudo isso no contexto de quatérnios complexos;
essas condições, juntamente com uma estimativa interna conveniente para as derivadas de primeira ordem de funções
regulares generalizadas nos quatérnios complexos, nos permitem resolver um problema de Cauchy−Kovalevskaya em
um domínio cônico de R
4
, com respeito a uma norma pesada em um espaço de Banach adequado.
Palavras chave: Espaços Associados, Estimativas de Interiores, Operador Cauchy−Riemann, Bi−quatérnios.
Citación sugerida: Párraga, L., Ariza, E. (2022). Condiciones suficientes para operadores asociados
al operador de Cauchy−Riemann en los Bi−cuaterniones. Revista Bases de la Ciencia, 7(Especial) ,
153165. DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4107
154 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Luis Párraga, Eusebio Ariza
1. INTRODUCCIÓN
El método de espacios asociados y estimados interiores se ha usado en varios contextos, como los
números complejos, los cuaterniones reales y álgebras de Clifford, para resolver problemas de valores
iniciales como el siguiente:
∂
t
u = F (t, x, u, ∂
0
u, ∂
1
u, . . . , ∂
n
u) , (1.1)
u(0, x) = φ(x), (1.2)
donde t es la variable temporal, x es la variable espacial, u es la función incógnita, que depende de
x y t, y F depende de t, x, u y sus primeras derivadas parciales. Ver Abbas e Yüksel (2015); Ariza
y Di Teodoro (2014); Ariza, Vanegas y Vargas (2016); Ariza, E., Bolı
́
var, Y., Mármol, L. y Vanegas,
J. (2015); Asano y Tutschke (2002); Tutschke (2004); Tutschke (2008); Yüksel (2013).
El problema (1.1)−(1.2) puede escribirse como
u(t, x) = φ(x) +
t
0
F (τ, x, u, ∂
0
u, ∂
1
u, . . . , ∂
n
u) dτ, (1.3)
por lo que las soluciones del problema de valor inicial (1.1)−(1.2) son puntos fijos del operador
integro−diferencial asociado:
T u(x, t) = φ(x) +
t
0
F (τ, x, u, ∂
0
u, ∂
1
u, . . . , ∂
3
u) dτ, (1.4)
y vice−versa.
En este trabajo se dan las condiciones suficientes para que el operador
Fu(x, t) :=
3
i=0
A
(i)
(x, t)∂
i
u + B(x, t)u + C(x, t)
y el operador de Cauchy−Riemann generalizado,
D
=
3
j=0
i
j
∂
j
,
sean asociados, en el contexto de los bi−cuaterniones. Esto permite garantizar que el problema de valor
inicial (1.1)−(1.2) es soluble en el espacio de funciones regulares generalizadas H(C) bajo el método
de espacios asociados y estimados interiores, siempre que se cumplan las siguientes condiciones (ver
Tutschke (1997)):
• F es asociado a D.
• La función inicial φ es una funcion regular generalizada.
• Los elementos del espacio asociado satisfacen un estimado interior de primer orden de tipo
∥∂
j
u∥
Ω
′
≤
const
dist (Ω
′
, ∂Ω
′′
)
∥u∥
Ω
′′
.
Este trabajo está organizado de la siguiente forma. En la sección 2 se muestran algunos preliminares,
introduciendo el concepto de operadores asociados, espacios asociados, bi−cuaterniones, funciones
regulares generalizadas y estimados interiores. La sección 3 está dedicada a obtener las condiciones
suficientes para el par de operadores asociados F and D. La sección 4 se dan algunas conclusiones.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 155
2. DESARROLLO
En esta sección se presentan los principales conceptos usados en este trabajo.
2.1. Operadores Asociados y Espacios Asociados
Definición 2.1. Sea Ω un subconjunto acotado de R
n
, u definida en Ω y F un operador diferencial
de primer orden dependiendo de t, x, u y ∂
i
u, para i = 0, 1, . . . , n, mientras que G es un operador
diferencial con respecto a las variables espaciales x
i
, cuyos coeficientes no dependen de t. Se dice
entonces, que F es asociado a G si F mapea todas las soluciones de la ecuacion diferencial Gu = 0
en soluciones de esa misma ecuación, para un t elegido fijamente, i.e.,
Gu = 0 ⇒ G(Fu) = 0. (2.1)
El espacio X conteniendo todas las soluciones para le ecuación diferencial Gu = 0 es llamado un
espacio asociado de F.
Ejemplo 2.1. Uno de los ejemplos más simples es el espacio de funciones holomorfas. Este es un
espacio asociado al operador diferenciación compleja G =
d
dz
. Esto es así debido a que la derivada
compleja de una función holomorfa es nuevamente una función holomorfa.
2.2. Bi−cuaterniones
Se denotará a H(R) y H(C) como el conjunto de cuaterniones reales y cuaterniones complejos (tam
bién llamados bi−cuaterniones), respectivamente. El presente trabajo está centrado en H(C).
Definición 2.2. Cada elemento a es representado por a =
3
j=0
a
j
i
j
, donde a
j
∈ R si a ∈ H(R), y
a
j
∈ C si a ∈ H(C), siendo j = 0, 1, 2, 3. El elemento i
0
= 1 es el elemento identidad, mientras que
i
1
, i
2
, i
3
son las unidades imaginarias cuaterniónicas, satisfaciendo las propiedades:
i
2
0
= i
0
= −i
2
j
, i
0
· i
j
= i
j
· i
0
= i
j
, j = 1, 2, 3,
i
1
· i
2
= −i
2
· i
1
= i
3
, i
2
· i
3
= −i
3
· i
2
= i
1
, i
3
· i
1
= −i
1
· i
3
= i
2
.
Si se denota a i como la unidad imaginaria compleja, como usualmente se lo hace, entonces pedimos
que
i
j
· i = i ·i
j
, j = 0, 1, 2, 3.
Es decir, la unidad imaginaria compleja i conmuta con las unidades imaginarias cuaterniónicas i
1
, i
2
, i
3
.
Algunas veces, el producto anterior se suele suponer como anti−conmutativo para j = 1, 2, 3. En este
caso, el álgebra que se obtiene es la de los octoniones o números de Cayley. H(C) y el álgebra de
los Octoniones son isomorfos como espacios vectoriales, sin embargo, no lo son como álgebras. Por
un lado, H(C) es un álgebra asociativa con divisores de cero. Por otro lado, el álgebra de los Octo
niones es un álgebra de división no asociativa, i.e., cada octonión distinto de cero es invertible. Para
conocer más obre los Octoniones, remitimos al lector a Dixon
(2013); Kantor y Solodovnikov (1989);
Thaller (2013); Tze (1996); Ward (2012).
Ejemplo 2.2. Considere, en H(C), los números p = 1+ii
1
y q = 1−ii
1
. Entonces p·q = 0 implicando
que p y q son divisores de cero.
156 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Luis Párraga, Eusebio Ariza
Tenga en cuenta que a ∈ H(C) se puede reescribir de la forma a = Re(a) + iIm(a), donde
Re(a) =
3
j=0
Re(a
j
)i
j
e Im(a) =
3
j=0
Im(a
j
)i
j
son elementos de H(R). Esta es una posible representación para elementos en H(C). Otra represen
tación posible es a = a
0
+ ⃗a, donde a
0
es llamada la la parte escalar y ⃗a es la parte vectorial de
a.
Estas representaciones conducen a las siguientes conjugaciones:
(i) Conjugación Compleja, definida por a
∗
= Re(a) −iIm(a), y
(ii) Conjugación Cuaterniónica, dada por a = a
0
−⃗a.
No es difícil ver que la Conjugación Cuaterniónica es un anti−automorfismo, i.e., dados a, b ∈ H(C),
a · b = b ·a.
Considemos el conjunto de divisores de cero en
H
(
C
)
definido por
G = {a ∈ H(C) |a ̸= 0 and ∃b ∈ H(C) with b ̸= 0 and a ·b = 0}.
Claramente, si a ∈ G, entonces a
−1
no existe. Una caracterización del conjunto G es lo siguiente (ver
V. Kravchenko y Shapiro (1996); V. V. Kravchenko (2003)):
Proposición 2.3. (Caracterización de divisores de cero) Sea a ∈ H(C) con a ̸= 0. Los siguientes son
equivalentes:
(1) a ∈ G.
(2) a · a = 0.
(3) a
2
0
= ⃗a
2
.
(4) a
2
= 2a
0
a = 2⃗aa.
Observación 2.1. Note que a ·a ̸= 0 implica a /∈ G ∪ {0}, i.e., a es invertible. Más aún,
a
−1
= a/(a · a).
2.3. Norma Bi−cuaterniónica
Dado el bi−cuaternión q =
3
k=0
q
k
i
k
, se define a la norma bi−quaterniónica como
|q|
c
=
|q
1
|
2
+ |q
2
|
2
+ |q
3
|
2
+ |q
4
|
2
,
donde |q
k
|
2
= q
k
q
∗
k
and q
∗
k
es la conjugación compleja usual.
Observación 2.2. Tome en cuenta que esta es la norma usual en R
8
y se puede reescribir de la forma
|q|
2
c
= |Re(q)|
2
+ |Im(q)|
2
= Sc (q · q
∗
) = Sc (q
∗
· q) ,
siendo Sc (a) la parte escalar a y Sc (a · b) = Sc (b ·a). En particular, si q ∈ H(R), Im(q) = 0,
entonces se tiene que |p|
c
= |p| es la norma usual en R
4
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 157
Un calculo sencillo prueba la siguiente proposición.
Proposición 2.4. Sea p, q ∈ H(C), entonces
|p · q|
c
≤
√
2 |p|
c
· |q|
c
. (2.2)
Este resultado es una estimación muy importante. Además, (2.2) implica que |p · q|
c
̸= |p|
c
|q|
c
. Es
más, |p|
c
|q|
c
puede ser estricatamente mayor que |p · q|
c
. Considere, por ejemplo, p y q como en el
ejemplo 2.2. En este caso, |p · q|
c
= 0, mientras que |p|
c
|q|
c
= 2.
Prueba. Sean p, q elementos en H(C).
Denotamos
a := Re(p) , b := Im(p),
c := Re(q) y d := Im(q).
Entonces,
|p · q|
2
= |(a + ib) (c + id)|
2
= |a · c − b ·d + i (a · d + b · c)|
2
= |a · c − b ·d|
2
+ |a ·d + b · c|
2
Por la obs. 2.2
≤ (|a · c|+ |b ·d|)
2
+ (|a ·d| + |b · c|)
2
Esta última desigualdad es válida debido a la desigualdad triangular en H(C).
Como, además, se cumple la desigualdad
(x + y)
2
≤ 2 (x
2
+ y
2
) , para todo x, y ∈ R,
entonces
|p · q|
2
≤ 2
|a · c|
2
+ |b ·d|
2
+ |a ·d|
2
+ |b ·c|
2
= 2
|a|
2
+ |b|
2
·
|c|
2
+ |d|
2
= 2 |p|
2
· |q|
2
2.4. Operador de Cauchy−Riemann y Funciones Regulares
Estaremos interesados en funciones
f : R
4
→ H(C),
es decir, funciones con valores en los cuaterniones complejos definidas en R
4
.
Sea Ω un dominio en R
4
. El operador de Cauchy−Riemann en H(C) está definido por
D =
3
j=0
i
j
∂
j
, (2.3)
donde ∂
j
= ∂/∂x
j
, j = 0, 1, 2, 3. Su conjugado viene dado por D = ∂
0
−
3
j=1
i
j
∂
j
.
Definición 2.5. Una función f ∈ C
1
(Ω; H(C)) que satisface la ecuación D [f] = 0 en Ω es llamada
una función regular (a izquierda) en Ω. Si f satisface D [f] = 0 en Ω, se dice entonces que f es una
función anti−regular (a izquierda) en Ω.
158 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Luis Párraga, Eusebio Ariza
Tomando al Operador de Laplace ∆ = ∂
2
0
+ ∂
2
1
+ ∂
2
2
+ ∂
2
3
, es fácil ver que
D · D = D · D = ∆. (2.4)
Entonces, cualquier función regular o anti−regular en Ω es armónica en Ω. Un resultado importante
es la siguiente regla de Leibniz:
Proposición 2.6. Sean g ∈ C
1
(R
4
; H(C)) y f ∈ C
1
(R
4
; C). Entonces,
D [f · g] = f · D [g] + D [f] ·g = D [g] ·f + D [f ] · g. (2.5)
Observación 2.3. Definiendo D
r
[f] = [f] D =
3
j=0
∂
j
f · i
j
, es fácil ver que
D
r
[f · g] = g · D
r
[f] + D
r
[g] · f = g · D
r
[f] + f · D
r
[g] . (2.6)
Ejemplo 2.3. Sea x = (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) ∈ Ω ⊂ R
4
que será representado de la forma x = x
0
+ x
1
i
1
+
x
2
i
2
+ x
3
i
3
. La función
θ(x) = −
1
4π
2
1
|x|
2
c
= −
1
4π
2
1
|x|
2
, (2.7)
es tal que
∂
2
j
1
|x|
2
=
1
2π
2
1
|x|
4
− 4
x
2
j
|x|
6
, para j = 0, 1, 2, 3.
Por lo tanto, ∆θ(x) = 0. Esto y (2.4) implica que las funciones
k(x) = D [θ(x)] =
1
2π
2
x
|x|
4
y k(x) = D [θ(x)] (2.8)
satisfacen las ecuaciones Dk(x) = 0 y D k(x) = 0, respectivamente.
Ahora se mostrará la Regla del Producto para cualquier par de funciones u, v ∈ C
1
(Ω, H(C)) siendo
D el operador de Cauchy−Riemann, el cual se usará más adelante.
Lema 2.7. Sea u, v ∈ C
1
(Ω, H(C)) y sea D =
3
j=0
∂
j
e
j
el operador de Cauchy−Riemann, entonces
D (u ·v) = Du · v + u ·Dv + 2
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v −
3
k=1
u
k
∂
k
v
(2.9)
Prueba. Por un lado, debido a la definición, se tiene
D(u · v) =
3
i=0
e
i
∂
i
(u · v)
=
3
i=0
e
i
(∂
i
u · v + u ·∂
i
v)
=
3
i=0
e
i
· ∂
i
u · v +
3
i=0
e
i
· u ·∂
i
v
= Du · v +
3
i=0
e
i
· u ·∂
i
v.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 159
Por otro lado,
3
i=0
e
i
· u ·∂
i
v =
3
i=0
e
i
·
u
0
+
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
i
v
=
3
i=0
u
0
e
i
· ∂
i
v +
3
i=0
3
k=1
u
k
e
i
· e
k
· ∂
i
v
=u
0
· Dv + e
0
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v +
3
i=1
3
k=1
u
k
e
i
· e
k
· ∂
i
v
=u
0
· Dv +
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v +
3
k=1
u
k
e
2
k
· ∂
k
v
+
3
i̸=k
3
k=1
u
k
e
i
· e
k
· ∂
i
v.
Como, además,
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v = 2
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v −
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v
y
3
k=1
u
k
e
2
k
· ∂
k
v =
3
k=1
u
k
e
2
k
· ∂
k
v − 2
3
k=1
u
k
· ∂
k
v,
entonces
3
i=0
e
i
· u ·∂
i
v =u
0
· Dv + 2
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v −
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v
3
k=1
u
k
e
2
k
· ∂
k
v − 2
3
k=1
u
k
· ∂
k
v
−
3
i̸=k
3
k=1
u
k
e
k
· e
i
· ∂
i
v.
Finalmente, debido a que
u
0
· Dv −
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v +
3
k=1
u
k
e
2
k
· ∂
k
v −
3
i̸=k
3
k=1
u
k
e
k
· e
i
· ∂
i
v
= u
0
· Dv −
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v −
3
i=1
3
k=1
u
k
e
k
· e
i
· ∂
i
v
= u
0
· Dv −
3
k=1
u
k
e
k
· Dv
= u · Dv,
se ve que
3
i=0
e
i
· u ·∂
i
v = u ·Dv + 2
3
k=1
u
k
e
k
· ∂
0
v −
3
k=1
u
k
∂
k
v
,
lo que concluye la demostración.
160 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Luis Párraga, Eusebio Ariza
2.5. Estimados Interiores de primer orden
Dada una función definida en un dominio acotado Ω ⊂ R
n
, un estimado interior (ver Ariza, E. (2014);
Ariza, E., Bolı
́
var, Y., Mármol, L. y Vanegas, J. (2015)) es un estimado para las derivadas de la función
dada, que es válido en un sub−dominio de Ω cuya distancia hasta la frontera de Ω es positiva. Un
estimado interior, entonces, describe el comportamiento de las derivadas de la función cerca de la
frontera de Ω. Formalmente, se tiene la siguiente definición:
Definición 2.8. Sea Ω un dominio acotado de R
n
, para algún n ∈ N, y B(Ω) un espacio de Banach
de funciones definidas en Ω. Supóngase que Ω
′
es un sub−dominio de Ω tal que la dist(Ω
′
, ∂Ω) > 0.
Si u es una función dada en Ω, un estimado de la forma
∥∂
x
j
u∥
Ω
′
≤
C
dist(Ω
′
, ∂Ω)
∥u∥
Ω
, (2.10)
es llamado un estimado interior de primer orden, siendo C una constante que no depende de u ni
de Ω
′
, y ∥·∥
Ω
es la norma en B(Ω). Ver Tutschke (1997).
Ejemplo 2.4. Como ejemplo, considere una función holomorfa Φ en un dominio acotado Ω, y continua
en Ω. Por la Fórmula Integral de Cauchy, se tiene
Φ
′
(z) =
1
2πi
|ζ−z|=δ
Φ(ζ)
(ζ − z)
2
dζ,
donde z es un punto interior de Ω y δ < dist(z, ∂Ω). De esta fórmula se tiene
∥Φ
′
∥
Ω
′
≤
1
dist (Ω
′
, ∂Ω)
∥Φ∥
Ω
,
donde la norma que aparece es la norma del supremo.
3. CONDICIONES SUFICIENTES PARA OPERADORES D Y F
Sea F el operador diferencial dado por
Fu(x, t) :=
3
i=0
A
(i)
(x, t)∂
i
u + B(x, t)u + C(x, t), (3.1)
donde
A
(i)
(x, t) =
3
k=0
a
(i)
k
(x, t)e
k
, para i = 0, 1, 2, 3,
B(x, t) =
3
k=0
b
k
(x, t)e
k
, C(x, t) =
3
k=0
c
k
(x, t)e
k
,
a
(i)
k
(x, t), b
k
(x, t) y c
k
(x, t), para i, k = 0, 1, 2, 3, son funciones a valores complejos. Queremos en
contrar condiciones suficientes sobre los coeficientes de F, de manera que F sea asociado a D. Es
decir, que dada una función regular u (i.e., Du = 0), queremos hallar condiciones suficientes sobre
los coeficientes de F, tal que D (Fu) = 0.
Para ello, primero se debe tener en cuenta que, dado que Du = 0,
∂
0
u = −
3
j=1
e
j
∂
j
u,
∂
k
∂
0
u = −
3
j=1
e
j
∂
k
∂
j
u, for k = 1, 2, 3,
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 161
y
∂
2
0
u = −
3
j=1
∂
2
j
u.
Tenga en cuenta además
A
(i)
(x, t) −A
(i)
(x, t) = 2
3
k=1
a
(i)
k
(x, t)e
k
, para i = 0, 1, 2, 3, (3.2)
y
B(x, t) − B(x, t) = 2
3
k=1
b
k
(x, t)e
k
. (3.3)
De
D (Fu) =
3
i=0
D
A
(i)
· ∂
i
u
+ D (B · u) + DC,
vemos entonces que
D (Fu) = D
A
(0)
· ∂
0
u
+
3
i=1
D
A
(i)
· ∂
i
u
+ D (B · u) + DC. (3.4)
Por la regla del producto (2.9), se obtiene
D (B · u) = DB · u + B·Du + 2
3
k=1
b
k
e
k
∂
0
u − 2
3
k=1
b
k
∂
k
u
= DB · u +
B − B
3
j=1
e
j
∂
j
u − 2
3
k=1
b
k
∂
k
u,
D
A
(0)
· ∂
0
u
= DA
(0)
· ∂
0
u + A
(0)
· D(∂
0
u)
+ 2
3
k=1
a
(0)
k
e
k
∂
2
0
u −
3
k=1
a
(0)
k
∂
k
∂
0
u
= DA
(0)
·
−
3
j=1
e
j
∂
j
u
+ A
(0)
· ∂
0
(Du)
+ 2
3
k=1
a
(0)
k
e
k
−
3
j=1
∂
2
j
u
− 2
3
k=1
a
(0)
k
−
3
j=1
e
j
∂
k
∂
j
u
= −DA
(0)
·
3
j=1
e
j
∂
j
u + 2
3
j,k=1
a
(0)
k
e
j
∂
k
∂
j
u
+
A
(0)
− A
(0)
·
3
j=1
∂
2
j
u
162 ISNN 25880764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Luis Párraga, Eusebio Ariza
y
3
i=1
D
A
(i)
· ∂
i
u
=
3
i=1
DA
(i)
· ∂
i
u + A
(i)
· D (∂
i
u) + 2
3
k=1
a
(i)
k
e
k
∂
0
∂
i
u
−
3
k=1
a
(i)
k
∂
k
∂
i
u

=
3
i=1
DA
(i)
· ∂
i
u +
3
i=1
A
(i)
· ∂
i
(Du)
+
3
i=1

2
3
k=1
a
(i)
k
e
k
∂
i
(∂
0
u)
− 2
3
i=1
3
k=1
a
(i)
k
∂
k
∂
i
u
=
3
i=1
DA
(i)
· ∂
i
u − 2
3
i,k=1
a
(i)
k
∂
k
∂
i
u
+
3
i=1
−
A
(i)
− A
(i)
∂
i
−
3
k=1
∂
k
e
k
u

=
3
i=1
DA
(i)
· ∂
i
u − 2
3
i,k=1
a
(i)
k
∂
k
∂
i
u
+
3
i,k=1
A
(i)
− A
(i)
· e
k
∂
i
∂
k
u.
Lo que conduce finalmente a que
D (Fu) =
3
m=1
W
m
· ∂
2
m
u +
3
m, l = 1
m ̸= l
X
ml
· ∂
m
∂
l
u +
3
m=1
Y
m
· ∂
m
u + Z · u + DC,
donde
W
m
=
A
(0)
− A
(0)
+
A
(m)
− A
(m)
e
m
+ 2a
(0)
m
e
m
− 2a
(m)
m
,
X
ml
=
A
(m)
− A
(m)
e
l
+
A
(l)
− A
(l)
e
m
+ 2
a
(0)
m
e
l
+ a
(0)
l
e
m
− 2
a
(m)
l
+ a
(l)
m
,
Y
m
= D
A
(m)
− A
(0)
e
m
+
B − B
e
m
− 2b
m
y
Z = DB
Por lo que hemos probado el siguiente resultado:
Teorema 3.1. El operador F es asociado a D si
DC = W
m
= X
ml
= Y
m
= Z = 0.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 163
4. CONCLUSIONES
• En este trabajo se hallaron condiciones suficientes para que el operador F, definido por (3.1), sea
asociado al operador de Cauchy−Riemann generalizado dado por (2.3), en el contexto del álge
bra de los cuaterniones complejos. Esto, junto con un estimado interior de la forma (2.10), per
mite garantizar, usando el método de espacios asociados y estimados interiores, que el problema
de valor inicial (1.1)−(1.2) tiene solución única en dominios cónicos. Ver Tutschke (1997).
• Como trabajos futuros, que complementen el presente, se espera realizar el hallazgo de las con
diciones necesarias para que este par de operadores sean asociados. Además, es de interés hacer
un estudio similar para operadores más generales al descrito en este trabajo, como lo son el
operador de CauchyRiemann generalizado D
λ
= D − λ, con λ ∈ H(C), así como operadores
con coeficientes distintos de uno y, posiblemente, variables.
5. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERESES DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
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CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autores Contribución
Luis Alfredo Párraga Pincay Metodología aplicada, desarrollo de cuentas, diseño y escritura del
artículo, resultados en general.
Eusebio Alberto Ariza García Revisión del desarrollo de las cuentas, guía para el implemento
de las aportaciones bibliográficas, extrategias en la resolución del
diseño investigativo.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 153 165) 165