Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4148.
DETECCIÓN DE DISCONTINUIDADES EN FUNCIONES DE UNA
VARIABLE UTILIZANDO ESPACIOS DE TIPO ELEMENTOS FINITOS
Víctor Lino
1
, Rodolfo Gallo
2
, Raúl Manzanilla
3
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador.
Email: vlino8210@utm.edu.ec
2
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales, Universidad Yachay Tech, 100119 Urcuquí,
Ecuador. Email: rgallo@yachaytech.edu.ec
3
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales, Universidad Yachay Tech, 100119 Urcuquí,
Ecuador. Email: rmanzanilla@yachaytech.edu.ec
*Autor para correspondencia: vlino8210@utm.edu.ec
Recibido: 11-11-2021/ Aceptado: 13-12-2022/ Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas
RESUMEN
Determinar los puntos de discontinuidad de tipo salto finito en un conjunto de datos {(x
i
, y
i
) ∈ , i = 1, . . . , K}, que
pertenecen a la gráfica de una función desconocida f , es un problema concreto que aparece en la aproximación de curvas
con discontinuidades y es encontrado en diferentes áreas de la ciencia, como la geología. La necesidad de ubicar los puntos
de discontinuidad de la función es fundamental para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan fenómenos
en los cuales ocurren cambios abruptos algunas propiedades físicas que lo definen. En este trabajo se aborda el problema de
determinar los puntos donde una data posee discontinuidades de tipo salto finito. Se asume que los puntos de datos están
asociados a la gráfica de una función explícita, la cual es aproximada haciendo uso de un espacio de aproximación de
funciones continuas de tipo elemento finito. El objetivo principal de este trabajo es presentar un procedimiento numérico
que permite aproximar la ubicación de los puntos de discontinuidad de los datos, el cual está basado en el análisis de la
función error puntual y la Z-Forma. Se presentan resultados numéricos utilizando datas sintéticas tomadas aleatoriamente
en un intervalo [a, b] con diferentes puntos de discontinuidad. Los resultados muestran las bondades del proceso al detectar
los puntos de discontinuidad, con un costo computacional bajo.
Palabras clave: Teoría de Aproximación, Detección de Discontinuidad, Elementos Finitos, Fenómeno de Gibbs.
DETECTION OF DISCONTINUITIES IN FUNCTIONS OF ONE VARIABLE USING
FINITE ELEMENT SPACES
ABSTRACT
Determine the finite jump type discontinuity points in a data set {(x
i
, y
i
) ∈ , i = 1, . . . , K}, belonging to the graph
of an unknown function f , is a concrete problem that appears in the approximation of curves with discontinuities and is
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152)
encountered in different areas of science, such as geology. The need to locate the points of discontinuity of the function
is fundamental for the development of mathematical models that represent phenomena in which abrupt changes occur
some physical properties that define it. This paper addresses the problem of determining the points where a data has finite
jump type discontinuities. It is assumed that the data points are associated to the graph of an explicit function, which is
approximated using an approximation space of continuous functions of finite element type. The main objective of this
work is to present a numerical procedure that allows to approximate the location of the data discontinuity points, which is
based on the analysis of the point error function and the z-form. Numerical results are presented using synthetic data taken
randomly in an interval [a, b] with different discontinuity points. The results show the benefits of the process in detecting
the discontinuity points, with a low computational cost.
Keywords: Approximation, Detection of discontinuities, Numerical Methods, Phenomenon of Gibbs.
DETECÇÃO DE DESCONTINUIDADES EM FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
UTILIZANDO ESPAÇOS DE ELEMENTOS FINITOS
RESUMO
Determinar os pontos de descontinuidade do tipo salto finito num conjunto de dados.{(x
i
, y
i
) ∈ , i = 1, . . . , K},
pertencente ao gráfico de uma função desconhecida f, é um problema concreto que aparece na aproximação de curvas
com descontinuidades e que se encontra em diferentes áreas da ciência, tais como a geologia. A necessidade de localizar
os pontos de descontinuidade da função é fundamental para o desenvolvimento de modelos matemáticos que representam
fenómenos em que ocorrem mudanças abruptas algumas propriedades físicas que a definem. Este documento aborda o
problema de determinar os pontos em que um dado tem descontinuidades do tipo salto finito. Assume-se que os pontos
de dados estão associados ao gráfico de uma função explícita, que é aproximada utilizando um espaço de aproximação de
funções contínuas de tipo elemento finito. O principal objectivo deste trabalho é apresentar um procedimento numérico
para aproximar a localização dos pontos de descontinuidade dos dados, que se baseia na análise da função de erro do
ponto e da Z-forma. Os resultados numéricos são apresentados utilizando dados sintéticos tomados aleatoriamente num
intervalo de [a, b] com diferentes pontos de descontinuidade. Os resultados mostram os benefícios do processo na detecção
dos pontos de descontinuidade, com um baixo custo computacional.
Palavras chave: Aproximação, Detecção de descontinuidades, Métodos Numéricos, Fenômeno de Gibbs.
Citación sugerida: Lino, V., Gallo, R., Manzanilla, R. (2022). Detección de discontinuidades en
funciones de una variable utilizando espacios de tipo elementos finitos. Revista Bases de la Ciencia,
7, (Especial), Diciembre, 135 -152. DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia
.v7iESPECIAL.4148
136 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
1. INTRODUCCIÓN
La presente investigación se relaciona con la detección de puntos de discontinuidad en un conjunto
de puntos dados en el plano. Uno de los procedimiento más utilizados para el ajuste de curvas es el
uso del método de mínimos cuadrados. Esta es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de
la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados (variable independiente,
variable dependiente) y un conjunto de funciones linealmente independientes, se intenta encontrar la
función continua, generada por esa base, que mejor aproxime los datos (un mejor ajuste).
En esta investigación se utiliza una base de funciones de tipo elemento finitos conformes (C
0
)
y basándose en la función error puntual y la Z-forma se ubican los puntos de discontinuidad de la
función. A continuación se describe el problema planteado.
Dado un conjunto de datos (dispersos o regularmente distribuidos)
D = {(x
i
, y
i
) ∈
2
: i = 1, . . . , k, } con x
i
∈ [a, b] (1)
de k-puntos en el plano, sin pérdida de generalidad se asume que x
1
= a y x
k
= b. Se supone que los
puntos están asociados a la gráfica de una función explícita f que presenta discontinuidades de tipo
salto finito, es decir:
f(x
i
) = y
i
para todo i = 1, . . . , k (2)
Utilizando el conjunto D se desea determinar los puntos en los cuales la función f presenta disconti-
nuidades de tipo salto finito.
Este es un problema concreto que aparece en el problema de aproximación de curvas con discon-
tinuidades y es encontrado en diferentes áreas científicas, como por ejemplo en geología, imágenes
satelitales, reconocimiento de patrones, estructuras de yacimientos de petróleo (Apprato y cols., 1987;
Apprato y Gout, 2000; Arcangéli., 1989; Arcangéli y cols., 1997; Gout y cols., 2008; Gout y Ramiè-
re., 2003; Gutzmer y Iske, 1997; Manzanilla, 1986). Para ello es necesario reconocer y describir la
discontinuidad que se presenta en dicha curva.
Esta necesidad de identificar los puntos de discontinuidad es fundamental para el desarrollo de
los modelos matemáticos que representan fenómenos en los cuales intervienen cambios abruptos de
propiedades físicas como lo sería el cambio de un material a otro con diferentes propiedades.
El objetivo principal de este trabajo es proponer un nuevo método numérico para determinar los
puntos en el intervalo [a, b] donde ocurren las discontinuidades en los datos, ( o lo que es lo mismo, los
puntos de discontinuidad de la función f ), utilizando las funciones de aproximación de tipo elementos
finitos conformes (funciones continuas).
El enfoque que se utiliza para localizar los puntos donde la función es discontinua esta basado
en la Z-forma que se origina en la función error puntal definida en (6). La Z-forma es producto del
fenómeno de GIBBs relativo a las oscilaciones encontradas en la función de ajuste en los puntos de
discontinuidad. (Gibbs, 1898; Jerri, 1998; Palma y cols., 2021; Rodríguez del Río y Zuazua Iriondo,
2003).
2. METODOLOGÍA DESARROLLADA PARA LA LOCALIZACIÓN DEL PUNTO DE
DISCONTINUIDAD
La metodología para la localización del punto de discontinuidad esta basada en
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 137
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
1. Construir un espacio de aproximación de funciones continuas.
En este artículo se consideran espacios de funciones de tipo elementos finitos conforme, los
cuales serán detallados mas adelante.
2. Realizar un proceso de ajuste de tipo mínimos cuadrados considerando la información dada en
(1).
Aquí se utiliza el método de ajuste clásico de mínimos cuadrados con el objetivo de aproximar
los datos dados.
3. Utilizando las oscilaciones que aparecen en los puntos de discontinuidad detectar el posible
punto donde la función desconocida f es discontinua.
4. Ubicación de dicho punto de discontinuidad.
Para ello se propone un análisis de la función error definida en (6) sobre los puntos de datos D
(1).
2.1 Espacio de aproximación
Para la construcción del espacio de aproximación se considera una partición P
n
del intervalo
[a, b] formada por (n + 1) -puntos, P
n
= {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}, donde x
0
= a y x
n
= b. Se define el
espacio de funciones V formado por las funciones cuya restricción a cada intervalo I
i
= [x
i
, x
i+1
] es
un polinomio de grado menor e igual a m y son continuas en todo el intervalo [a, b], es decir
V = {f ∈ C
0
: f|
I
i
∈
m
, i = 0, . . . , n − 1} (3)
Como es bien conocido este espacio vectorial V de funciones es de dimensión n · m + 1.
2.2 Proceso de ajuste de tipo mínimos cuadrados
Ahora se procede a formular el problema de mínimos cuadrados asociado a el ajuste de datos dados
en, ver (1).
Se define utilizando (1)
Y = (y
i
)
1≤i≤K
y para todo w ∈ V, su vector
K
asociado a
W = (w(x
i
))
1≤i≤K
Se sabe que el problema de mínimos cuadrados es
Encontrar u ∈ V, tal que:
||U − Y ||
m
= inf
w∈V
||W − Y ||
m
(4)
El cual posee una solución única.
138 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Sea una base B = {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n·m+1
⊂ V}, entonces todo elemento de w ∈ V se puede repre-
sentar como
n·m+1
∑
j=1
w
j
ϕ
j
Así, se define para todo elemento w ∈ V el vector en
n·m+1
y la matriz de orden n ·m +1 × n· m + 1
C
w
=
w
1
w
2
.
.
.
w
n·m+1
, A =
ϕ
1
(x
1
) ϕ
2
(x
1
) · · · ϕ
n·m+1
(x
1
)
ϕ
1
(x
2
) ϕ
2
(x
2
) · · · ϕ
n·m+1
(x
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ϕ
1
(x
K
) ϕ
2
(x
K
) · · · ϕ
nm+1
(x
K
)
el problema (4) es equivalente al problema
Encontrar u ∈ V, tal que:
||AC
u
− Y ||
m
= inf
w∈V
||AC
w
− Y ||
m
(5)
En consecuencia, u ∈ V es determinado mediante sus coeficientes C
u
en la base B de V al resolver
el sistema lineal
A
T
AC
u
= A
T
Y
el cual tiene una solución única.
2.3 Detección de los Puntos de discontinuidad
Para la detección de puntos candidatos a ser puntos de discontinuidad, nos basamos en un hecho
importante del fenómeno de GIBBs que indica que al aproximar con combinaciones de funciones
trigonométricas (en términos mas generales con funciones continuas) una función discontinua, en el
sentido de un salto finito (ver Figura 1.), en un punto α ∈ (a, b) se presentan oscilaciones en la
gráfica en el punto de discontinuidad (Jerri, 1998; Palma y cols., 2021; Rivera-Roman y Martinez-
Gonzalez, 2018). Entonces se procede a estudiar las variaciones del error puntal (6) obtenido a través
del problema de ajuste (5), es decir que solamente se considera el error de ajuste en los puntos de D,
ver (1).
Definición 1. El error puntal se define como
E(x
i
) = y
i
− u(x
i
), para i = 1, . . . , K (6)
Con esta definición se busca resaltar las variaciones del error puntual, ya que por el fenómeno
de Gibbs el error cambia de signo en el entorno inmediato donde se ubica la discontinuidad (Jerri,
1998; Rivera-Roman y Martinez-Gonzalez, 2018). Este hecho puede ser observado directamente al
realizar la resolución de problema de mínimos cuadrados, por ejemplo (ver Figura 2.), donde se apre-
cian el subimpulso y sobreimpulso relacionados con el punto de discontinuidad cuando se realiza la
aproximación con series de Fourier.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 139
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f(t)
Oscilaciones de Interés
Figura 1. Aproximación en serie de Fourier con 23 términos.
En la mayoría de los estudios el error es tomado en valor absoluto, con lo cual lo que se desea
es acotar el error cometido con la aproximación (Palma y cols., 2021). En nuestro caso no se coloca
valor absoluto porque nuestro objetivo es destacar mediante el uso del error definido en (6) los puntos
donde la variación del mismo es amplia con respecto a la media de los errores.
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f(t)
Aproximación de Fourier: 15 términos
Datos
Ajuste
Figura 2. Sobreimpulso y subimpulso.
140 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
2.4 Criterio para la ubicación de los puntos de discontinuidad
Para la determinación de puntos de discontinuidad se utiliza el hecho, como se lo menciona en
(Jerri, 1998) que cerca de estos puntos se manifiesta un sobreimpulso y un subimpulso en la función
de ajuste. El criterio para la detección de los puntos de discontinuidad está basado en este hecho y
el comportamiento de la función error puntual definida en (6), haciendo parecer una característica
particular que llamaremos el fenómeno de la Z-forma, que trataremos a continuación.
Desde un punto de vista discreto, esto se traduce en una forma de “Z” o “Z invertida” de la función
error puntual entre los puntos donde los impulsos en la función de ajuste son contrarios y consecutivos,
ver la Figura
3. La Z-forma está magnificada por una variación fuerte del error (6).
Datos
Ajuste
Error
y=0
Figura 3. Izquierda: Gráfica de datos con una discontinuidad, gráfica de la función ajuste con el sobre-
impulso y subimpulso alrededor del punto de discontinuidad, y gráfica de la función error. Derecha:
Z-forma de la función error en un entorno del punto de discontinuidad.
A continuación se propone un procedimiento para la estimación de los puntos donde ocurre el
fenómeno de la Z-forma, el cuál consiste en un análisis de cuatro puntos:
I. Barrido de cuatro puntos sobre los datos analizados. Clasificando los puntos que presentan la
característica siguiente:
Para i = 1, . . . , k − 3, se estudia el cambio de signo de las expresiones
E(x
i
) − E(x
i+1
) y E(x
i+2
) − E(x
i+3
), para i = 1, . . . , K − 3
y se conserva la variación en el error, es decir
Si (E(x
i
) − E(x
i+1
))(E(x
i+2
) − E(x
i+3
)) > 0 y E(x
i+1
) ∗ E(x
i+2
) < 0
entonces V ar
i
= |E(x
i+2
) − E(x
i+1
)| y X
di
=
x
i
0
+1
+ x
i
0
+2
2
(7)
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 141
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
V ar
i
define el módulo de la variación del error, y X
di
es la estimación del punto de la Z-forma
asociado con esa variación. Los puntos en el vector X
di
son candidatos a ser puntos de disconti-
nuidad, pero no necesariamente todos lo son.
II. Para depurar el vector X
di
se analizan las variaciones en el vector V ar
i
. Se calcula la variación
máxima y se descartan aquellas que sean menores que un porcentaje (determinado por el usuario)
de la variación máxima. Los nuevos puntos en X
d
serán aquellos asociados con las variaciones
admitidas.
Para la estimación del o los puntos de discontinuidad se debe implementar el siguiente algoritmo.
2.4.1 Algoritmo para la determinación de los puntos de discontinuidad
El método propuesto en este trabajo para la detección de los puntos de discontinuidad de tipo salto
finito, se puede implementar con el siguiente algoritmo:
Algoritmo 1 Detección de puntos de discontinuidad
1. Ordenar los datos dados en (1), elegir un valor de n que determina el número de subintervalos de la
partición y por consiguiente la dimensión del espacio V.
2. Resolver el problema de ajuste (5) y calcular la función error puntual (6).
3. Calcular los puntos donde ocurre la Z-forma aplicando el procedimiento descrito en I-II.
4. Incrementar el valor de n y repetir los pasos 1-4. Nota se debe tener en cuenta que a lo sumo n puede
tomar el valor n = (k − 1)/m, de lo contrario, si n = (k − 1)/m, el problema de ajuste se convierte
en un problema de interpolación y por consiguiente la función error puntual es nula. Por lo tanto, este
algoritmo se ejecuta a lo sumo (k − 1)/m veces.
5. Analizar los conjuntos de puntos generados para diferentes valores de n obtenidos en el paso 3 para
estimar los puntos de discontinuidad, por ejemplo, utilizar la intersección de los conjuntos.
Observaciones:
a. Evidentemente, esta propuesta detecta al menos un punto de discontinuidad, aquel asociado a la
variación máxima del error. Para detectar otros puntos de discontinuidad (en caso de existir), se
proponen dos posibles estrategias:
(i) Ejecutar los pasos 1-4 del algoritmo 1, para algunos valores de 1 < n < (k − 1)/m (no
necesariamente todos), esto origina una sucesiones de vectores X
di
, lo cual a su vez puede
generar varias sucesiones de puntos (por ejemplo, ver la Tabla 1 ). Analizando estas suce-
siones se estiman los puntos de discontinuidad, por ejemplo la intersección de las sucesiones
encontradas en cada iteración.
(ii) Después de realizar los paso 1-3 del algoritmo anterior, y obtener el punto X
d
correspondiente
a la variación máxima, hay que hacer una división del problema dividiendo el intervalo de
análisis en dos con terminales en x
d
y repetir el proceso de detección en cada subintervalo.
Este proceso de división en intervalos culmina cuando el ajuste realizado no presenta fuertes
variaciones en el error por ejemplo variaciones menores a 20% del error en valor absoluto
obtenido del análisis del error realizado previamente. Esta estrategia no se aplica en este
trabajo y su implementación se deja para trabajos futuros.
142 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
b. El problema descrito anteriormente es de interés cuando el salto en la discontinuidad es apreciable
en la data utilizada, es decir, si la discontinuidad representa un salto muy pequeño de orden 10
−4
con
respecto a la variabilidad de los datos, está puede ser no detectada por el procedimiento, motivado
a los errores de redondeo en los cálculos. Si la discontinuidad es evitable esta podría ser detectada
siempre y cuando la partición P
n
contenga el punto de salto. Por otra parte, estos casos no son de
interés en muchas aplicaciones prácticas, tales como las de geología estructural.
3. RESULTADOS NUMÉRICOS
Con la finalidad de mostrar la efectividad del método propuesto en la sección anterior para detectar
puntos de discontinuidad, se han elegido tres conjuntos de datos sintéticos, cada uno con más de un
punto de discontinuidad. Los ejemplos se realizaron utilizando el espacio de funciones definido en (3),
para m = 1 (funciones polinómicas por partes de grado 1). Es necesario aclarar que al no contar con
un conjunto de datos provenientes de un problema real, los resultados se presentan utilizando datos
sintéticos, sin que esto reste efectividad al método propuesto. Por otro lado, en los ejemplos se puede
observar que no se utilizan datos triviales, sino que mas bien, los datos utilizados, presentan compor-
tamientos irregulares, como espacios en blanco en la distribución de los puntos, los cuales pudieran
contribuir a detectar discontinuidades falsas, o cambios abruptos en las pendientes.
Cabe resaltar, que los ejemplos son ilustrativos de la aplicación del método propuesto para la apro-
ximación de los puntos donde ocurren discontinuidades de salto finito. En ningún momento nuestro
objetivo es mostrar un análisis exhaustivo con los ejemplos aquí mostrados, pero si mostrar las bon-
dades del método de aproximación.
3.1 Ejemplo 1
Los datos para este ejemplo es un conjunto D
1
= {(x
i
, y
i
), i = 1, . . . , 300}, de k = 300 puntos,
tomados aleatoriamente con abscisas en el intervalo [−5, 10], ver Figura 4. En esta figura se puede ob-
-5 0 1 4 9
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
Figura 4. Gráfica de los datos D
1
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 143
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
servar que estos datos tienen discontinuidades de tipo salto finito en x = 1, x = 4 y x = 9. Además,
D
1
no contiene puntos con abscisas en x = 1 y x = 9, es decir solo el punto de discontinuidad x = 4
es parte de los datos. También, se puede observar los cambios abruptos en la pendiente de la curva en
un entorno de los puntos de discontinuidad.
Al implementar el Algoritmo 1. para estos datos, con diferentes valores de n, es decir, aumentando
progresivamente la dimensión del espacio vectorial V, se obtuvo funciones de ajuste de los datos y
sus respectivas funciones de error puntual cuyos resultados se resumen en la Tabla 1.
Tabla 1. Resultados al aplicar el Algoritmo 1 en los datos D
1
Valores de n Puntos de discontinuidad estimados en cada iteración
26 1.035 1.495 3.955 8.965
27 1.035 3.955 8.965
28 1.035 3.955 8.965
29 1.035 1.3525 3.955 8.965
30 1.035 3.955 8.665 8.965
31 1.035 3.955 8.965
32 1.035 3.955 8.965
33 1.035 1.495 3.955 8.965
34 1.035 3.955 8.965
35 0.805 1.035 3.955 8.965
36 1.035 1.3525 3.955 8.965
37 1.035 3.955 8.965
38 1.035 3.955 8.965
39 1.035 3.955 8.965
40 0.8825 1.035 3.955 8.875 8.965
41 1.035 3.955 8.965
42 1.035 1.17 3.955 8.965
43 1.035 3.955 8.965
44 1.035 3.955 8.965
45 0.8825 1.035 3.955 8.965
La primera columna de la Tabla 1, se refiere a los valores de n para los cuales se aplicó el Algoritmo 1.
Se observa que el algoritmo se aplicó iterativamente para valores de n que van desde 26 hasta 45. Las
siguientes columnas de la Tabla 1, muestran los puntos que capta el criterio (7), seleccionado aquellos
donde la variación del error era mayor al 10% de la variación máxima encontrada. En estos puntos
ocurre la Z-forma y son candidatos a ser puntos de discontinuidad. Se puede observar por ejemplo, que
en la iteración correspondiente a n = 29, el método estimó los puntos 1.035, 1.3525, 3.955 y 8.965
como posibles puntos de discontinuidad. De igual modo, se puede observar el mismo comportamiento
en la fila correspondiente a n = 36. La Tabla 1 muestra que la intersección de los conjuntos de puntos
generados en cada iteración (valores en cada fila), son los puntos 1.035, 3.955 y 8.965, los cuales son
buenas aproximaciones a los puntos de discontinuidad esperados. En conclusión, el método obtuvo
una buena aproximación de los puntos de discontinuidad de los datos.
144 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
-5 0 1 4 9
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
Puntos Datos
Función de Ajuste
(a) Gráfica de los datos D
1
y la función de ajuste para n =
26
-5 0 5 10
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
Puntos Datos
Función de Ajuste
(b) Gráfica de los datos D
1
y la función de ajuste para n =
35
-5 0 5 10
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
Puntos Datos
Función de Ajuste
(c) Gráfica de los datos D
1
y la función de ajuste para n =
40
-5 0 5 10
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
Puntos Datos
Función de Ajuste
(d) Gráfica de los datos D
1
y la función de ajuste para n =
42
Figura 5. Gráficas del conjunto de datos D
1
y la función ajuste para distintos valores de n.
En la Figura 5, se muestran cuatro gráficas de los datos junto con la función de ajuste para valores
de n = 26, 35, 40 y 42. Se observa que la función de ajuste se aproxima mejor a los datos en la medida
que n aumenta, lo cual es un indicador de que el problema (5) está bien implementado computacional-
mente. En las gráficas de la función de ajuste, a simple vista no es observable el fenómeno de Gibss,
por lo cual, los puntos de discontinuidad no son predecibles a partir de estas gráficas. Por consiguiente,
es necesario aplicar el criterio (7), para la estimación de los puntos de discontinuidad.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 145
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
-5 0 1 4 9 10
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
(a) Gráfica del error puntual para n = 26
-5 0 1 4 9 10
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
(b) Gráfica del error puntual para n = 35
-5 0 1 4 9 10
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
(c) Gráfica del error puntual para n = 40
-5 0 1 4 9 10
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
(d) Gráfica del error puntual para n = 42
Figura 6. Gráficas del error puntual asociados a los datos D
1
para distintos valores de n.
En la Figura 6, se muestran gráficas de la función error puntual asociadas a las funciones de ajuste
obtenidas para los valores de n en la Figura 5. En ellas, se puede apreciar todas las Z-formas de la
función error puntual. No obstante, en la Tabla 1 solo se muestran los puntos de aquellas Z-formas
que cumplen con el criterio (7) con un módulo de variación mayor al 10% de la variación máxima.
En estas gráficas, se pueden observar que las máximas variaciones del error ocurren en los puntos de
discontinuidad de los datos y en la medida que n aumenta, las otras variaciones se van atenuando a
cero.
146 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
3.2 Ejemplo 2
En este ejemplo, el conjunto de datos D
2
= {(x
i
, y
i
), i = 1.... 100} consta de K = 100 puntos
tomados de manera aleatoria con abscisas en el intervalo [0.5, 4]. En la Figura 7 se muestra la gráfica
de estos datos. Aunque a simple vista no es tan evidente, estos datos presentan dos discontinuidades
en x = 1.8 y x = 3.
0.5 1 1.8 2.5 3 3.5 4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Figura 7. Gráfica del conjunto de datos D
2
Es importante señalar tres características de estos datos: 1) no se cuenta con un conjunto generoso
de datos (solo 100 datos), 2) la aleatoriedad de los datos hace que su dispersión sea más notoria en unos
lugares que en otros, y 3) en algunos puntos, los datos muestran cambios abruptos en las pendientes
de la gráfica de función f a la cual pertenecen. Estos hechos, sin duda alguna, dificultan la detección
de los puntos de discontinuidad y hacen interesante a este ejemplo.
Los resultados al aplicar al Algoritmo 1. a estos datos, se muestran en la tabla 2 y se obtuvieron
Tabla 2. Resultados al aplicar el Algoritmo 1 en los datos D
2
n Puntos de discontinuidad estimados
30 1.5518 1.8326 2.9413 3.0025
31 3.0025
32 1.8326 3.0025
33 1.7898 1.8326 2.9413 3.0025
34 1.3461 1.4179 1.8676 1.9403 2.8765 3.0025
35 1.8326 3.0025
36 1.4179 1.7898 1.9403 2.9413 3.0025
37 1.8326 3.0025
38 1.7898 1.8326 3.0025
eligiendo aquellos puntos asociados con variaciones del error mayores al 20% de la variación máxima.
A pesar de los datos, los resultados en esta tabla arrojan resultados alentadores. Claramente, la Tabla
2 muestra que en x = 3.0025 se estima una discontinuidad, mientras que los datos de las columnas 5
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 147
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
y 6 indican que en un entorno de x = 1.8 se estima otra discontinuidad (aunque con menos precisión).
La falta de precisión en la detección de esta última discontinuidad en un entorno de x = 1.8 es debido
a las características que no son favorables en los datos.
(a) Gráfica de los datos D
2
y la función de ajuste para n =
30
(b) Gráfica de los datos D
2
y la función de ajuste para n =
38
(c) Gráfica del error puntual para n = 30
(d) Gráfica del error puntual para n = 38
Figura 8. Gráficas de los datos D
2
, la función de ajuste y el error puntual para n = 30 y n = 38.
En las figuras 8 (a) y 8 (b) se muestran la gráfica de los datos y la función de ajuste para valores de
n = 30 y n = 38, respectivamente. Igual que en el ejemplo 1, se observa que el ajuste mejora cuando
n aumenta. Por otra parte, en las figuras 8 (c) y 8 (d) se muestran las gráficas de la función error
puntual asociadas a los ajustes obtenidos para n = 30 y n = 38, respectivamente. En estas gráficas
se confirman los resultados de la Tabla 2, las máximas variaciones del error ocurren en un entorno de
x = 1.8 y en x = 3.
148 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
3.3 Ejemplo 3
En este ejemplo, el conjunto de dato D
3
utilizado se obtiene de la misma fuente que generó el
conjunto de datos D
2
, del Ejemplo 2, pero ahora con una cantidad mayor de datos. En este caso, el
conjunto D
3
posee k = 300 datos. Al ser más amplio el conjunto de datos, se puede realizar iteraciones
del algoritmo 1, incrementado la dimensión del espacio de funciones. En la Figura 9 se muestra la
gráfica de los datos del conjunto D
3
, en la cual se puede observar la mayor densidad de datos, con
respecto al conjunto D
2
mostrados en la Figura 7. En esta gráfica se puede observar con más claridad la
0.5 1 1.8 2.5 3 4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Figura 9. Gráfica del conjunto de datos D
3
discontinuidad de tipo salto finito en los puntos x = 1 . 8 y x = 3, además el salto en la discontinuidad
es de orden pequeño. En este caso, se aplica el Algoritmo 1 para valores de n que van desde 95
hasta 105. Los resultados se pueden ver en la Tabla 3, donde claramente se observa que los puntos
Tabla 3. Resultados al aplicar el Algoritmo 1 en los datos D
3
n Puntos de discontinuidad estimados
95 1.7985 3.00425
96 2.98873 3.00425 3.02641
97 1.7985 3.00425
98 1.7985 3.00425
99 3.00425
100 1.7985 3.00425
101 1.7985 3.00425
102 1.7985 3.00425
103 1.7985 3.00425
104 1.77108 3.00425
105 1.7985 3.00425
de discontinuidad estimados son x = 1.7985 y 3.0042, los cuales son buenas aproximaciones a los
resultados esperados. La Figura 10, muestra las gráficas de los datos junto con el ajuste y la función
error, en la cual se confirman los resultados de la tabla.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 149
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
(a) Gráfica de los datos D
3
y la función de ajuste para n =
105.
(b) Gráfica del error puntual para n = 105.
Figura 10. Gráficas de los datos D
3
, la función de ajuste y el error puntual para n = 105.
4. CONCLUSIONES
• Se desarrolló un método numérico novedoso que permite aproximar los puntos de discontinui-
dad de tipo salto finito en un conjunto de datos en
2
, incluyendo los casos en que los puntos
de discontinuidad pertenecen o no a las datos.
• La efectividad del método queda demostrada al detectar discontinuidades en datos aleatorios,
no triviales, con cambios abruptos de la pendiente, con vacíos que pudieran conducir a una
detección falsa de discontinuidades.
• El método puede estimar puntos donde la discontinuidad tiene saltos hasta el orden de 10
−4
.
• El método desarrollado presenta ventajas cuando la dimensión del espacio de ajuste es mucho
más pequeña que la cantidad de datos.
• Se recomienda para trabajos futuros extender el método a datos en
3
.
5. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERESES DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
150 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
6. REFERENCIAS
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-spline mathematical methods in computer
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Jerri, A. J. (1998, 01). The gibbs phenomenon in fourier analysis, splines and wavelet approximations.
Mathematics and Its Applications. Springer∙Science+Business Media, B.V..
Manzanilla, R. (1986). Sur l’approximation de surfaces définies par une équation explicite. Thèse,
Université de Pau.
Palma, P., Gallo, R., y Manzanilla, R. (2021, September). Detection of Discontinuity Points in one
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9(2).
Rivera-Roman, E., y Martinez-Gonzalez, R. (2018). Características del fenómeno de gibbs. Impulso
tecnológico, 15(37°), 14–16.
Rodríguez del Río, R., y Zuazua Iriondo, E. (2003). Series de fourier y fenómeno de gibbs. Cubo.
Matemática Educacional, 5(2), 185–224.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 135 -152) 151
Víctor Lino, Rodolfo Gallo, Raúl Manzanilla
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Víctor Lino Metodología, búsqueda de bibliografía, diseño del articulo y resultados numéricos.
Rodolfo Gallo Redacción, algoritmos y diseño experimental.
Raúl Manzanilla Concepción y criterio para la ubicación de los puntos de discontinuidad.
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DE LA CIENCIA