Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 31-40) 31
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 31-40). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7i3.4195
OPERADORES CASILLENOS
Edixo Rosales
Departamento de Matemáticas, Facultad Experimental de Ciencias, Maracaibo, Venezuela. E-mail:
edixorosales@gmail.com
*Autor para la correspondencia: edixorosales@gmail.com
Recibido: 30-11-2021 / Aceptado: 12-12-2022 / Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Luis Bladismir Ruiz Leal
RESUMEN
Este trabajo presenta resultados sobre operadores casillenos con la finalidad de caracterizar operadores llenos, cuando
existe un operador casilleno en su álgebra de invariantes; como también estudiarlos en su relación con el rango numérico
esencial de un operador sobre un espacio de Banach reflexivo. En la metodología se siguen las técnicas de J. A. Erdos,
las cuales permiten deducir cuando un operador invertible es lleno, a partir de la condición de ser lleno y compacto un
operador del álgebra débil por él generada; las de J. Bravo dada a través de las filtraciones de las imágenes iteradas de un
subespacio invariante de un operador y las de S. Karanasios, quien a través de las propiedades del rango numérico espacial
de operadores definidos en espacios de Banach uniformemente convexos, caracteriza los operadores llenos. Algunos
resultados permitirán determinar del rango numérico esencial de un operador, su propiedad de ser casilleno.
Palabras clave: Operadores casillenos, rango numérico esencial, operadores llenos, operadores compactos.
ALMOST FULL OPERATORS
ABSTRACT
This work presents results on almost full operators in order to characterize full operators, when there is an almost full
operator in its algebra of invariants; as well as studying them in their relationship with the essential numerical range of
an operator on a reflexive Banach space. In the methodology, we have used the J. A. Erdos, which let us deduce when an
invertible operator is full, if there is compact and full operator belonging to the weak algebra generated by invertible
operator. We also make use of J. A. Bravo and S. Karanasios techniques. The firs author studies filtrations of iterated
images in an invariant subspace of some operator with special properties. On the other hand, the second author
characterizes full operators in uniformly convex Banach spaces by means of its spatial numerical range property.
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
Edixo Rosales
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Keys word: Almost full operators, essential number range, full operator, compact operator.
OPERADORES QUASE COMPLETOS
RESUMO
Este artigo apresenta resultados sobre operadores quase cheios para caracterizar operadores cheios, quando há um
operador quase cheios em sua álgebra de invariantes; como também estudá-los em sua relação com o posto numérico
essencial de um operador em um espaço de Banach reflexivo. Na metodologia, são seguidas as técnicas de J. A. Erdos,
que permitem deduzir quando um operador invertível é cheio, a partir da condição de que um operador da álgebra fraca
gerada por ele seja cheio e compacto; as de J. Bravo dadas através das filtrações das imagens iteradas de um subespaço
invariante de um operador e as de S. Karanasios, que através das propriedades da gama numérica espacial de operadores
definidos em espaços de Banach uniformemente convexos, caracteriza os operadores completos. Alguns resultados
permitirão determinar o posto numérica essencial de um operador, sua propriedade de estar quase preenchido.
Palavras chave: Operadores quase cheios, posto numérico esencial, operadores cheios, operadores compactos.
Citación sugerida: Rosales, E. (2022). Operadores casillenos. Revista Bases de la Ciencia, 7(3), 31-40.
https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7i3.4195
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1. INTRODUCCIÓN
El matemático ha sido uno de los pioneros del estudio de los Operadores y su
definición aparece por primera vez en su artículo: ”Singly generated algebras containing compact
operators” (Erdos, 1979b).
El profesor caracteriza la regularidad de operadores, en función de la ser lleno un operador
que conmuta con él y pertenece al álgebra de los operadores que tienen los mismos invariantes. En
el citado , el autor deja plasmadas interesantes interrogaciones sobre los operadores
y parte del desarrollo de esta investigación la dedicamos a resolver algunas de dichas preguntas.
Presentamos también casos particulares que caracterizan operadores , en función del rango
numérico esencial de un operador en espacios reflexivos.
Es importante señalar que los objetivos del artículo son, ver cómo opera el concepto de operador
casilleno en las hipótesis de los resultados de Erdos dadas en su artículo “Singly generated algebras
containing compact operators”, y también ver cómo lo hace el concepto de rango numérico esencial
de un operador para caracterizar operadores casillenos. Karanasios lo había hecho para operadores
llenos en función del rango numérico espacial de un operador.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
En este trabajo denota un espacio de separable y un espacio de en general. La
familia de los operadores acotados se denotará mediante . Se dice que un
de es invariante para , si . Por se entiende la familia de todos
los par .
Un se dirá , si para todo se obtiene que la
. Si
para todo el operador se dirá que es lleno. Es claro que los operadores llenos
constituyen una subfamilia de los operadores . En el caso de operadores , un
operador es si
.
Edixo Rosales
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Una de la constituye la familia de los operadores , donde
si . Otra que consideraremos es la denotada por
y
formada por los operadores que conmutan con .
Un operador se dirá compacto, si dada una sucesión acotada
en , existe una
en y un tales que
. Es importante señalar que si
es un operador compacto y
es una sucesión l, entonces
.
Un operador se dirá si
. Un operador tiene
asociado un operador
tal que
. El operador
se dirá positivo si
. En caso de que el operador asociado es
donde
. En ambos casos al operador asociado se le llama adjunto.
Dado un operador , por rango numérico esencial del operador , se entiende el conjunto
numérico
.
Finalmente, dado un espacio de , se dirá que una sucesión
es una base ,
si cada se escribe de manera única como
. Si el espacio de es
reflexivo, es decir la aplicación
dada por
, donde
es un
isomorfismo; entonces toda base de converge débilmente a cero, es decir
. Si una sucesión
es una base de para
, el cerrado generado
por los
, diremos que
es una sucesión básica. Si y , escribiremos
.
El lector puede seguir la teoría básica de los operadores en las referencias Kreyszig (1979) y Schechter
(1971). La teoría de las bases de Schauder en Carothers (2007). Para los operadores llenos las
referencias Bravo (1980), Erdos (1979a) y Rosales (2020) son de utilidad. Para caracterizaciones de
operadores en llenos en función de rangos numéricos Karanasios (1994). Para algunos resultados
sobre operadores casillenos Rosales (2012).
3. OPERADORES CASILLENOS
Este resultado fue propuesto por J. A. en una de sus investigaciones sobre operadores llenos
y damos una demostración:
Teorema 1. Si es invertible y
es un operador compacto y ,
entonces es lleno.
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Demostración. Supongamos que no es un operador lleno, entonces existe tal que
. Por lo tanto, existe un vector unitario
. Es claro que
es una familia Vamos a demostrar que, existe un ,
tal que
pero
. En efecto, de lo contrario, definimos
. Es claro que y como
, luego
. Esto dice que
, lo que contradice que el operador
es Realmente es fácil deducir que
pero
.
Se tiene que
. Es decir:
Por otro lado:
Es claro que los
por la forma en que fueron elegidos los
.
Veamos que los
.
Se tiene que:
Si
, entonces
y por lo tanto
. En general se seguiría que
y por lo
tanto que
, lo que contradice la elección de .
Como es compacto y
,
se deduce que
.
Si , entonces por (3) se sigue que
y por lo anterior que
, lo que es
contradictorio. Esto afirma que .
Usando (3) se obtienes las relaciones:
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Finalmente, como
, deducimos que
, luego
. De
lo anterior resulta la desigualdad
. Aplicando esta desigualdad en , se obtiene
que:
Esto dice que
, lo que es nuevamente contradictorio. Se deduce el resultado.
El siguiente resultado nos pertenece y se prueba usando los argumentos dados en Erdos (1979) con
algunas variantes:
Teorema 2. Si es un operador tal que , donde es un operador de
parte imaginaria positiva y es un operador de rango finito; entonces es .
Demostración. Veamos primero que si es , entonces es de finita.
En efecto si existe una familia
, tal que
, entonces
. Si
, entonces
. Esto dice
que
y por lo tanto
, lo que contradice que es un operador de
rango finito.
Escribamos
, donde
y
.
Sea y demostremos que
. Consideremos
. Por
ser de rango finito es de finita. Es decir con
. Se
deduce que
. Veamos que
, lo que probaría el resultado. Sea
, luego
y por lo tanto
. Veamos que
, de lo contrario, como
y
es un número real, entonces
. Esto dice que
, lo que es contradictorio. Termina la prueba.
El siguiente resultado nos pertenece y sigue la misma filosofía del teorema 1:
Teorema 3. Si es invertible y
es un operador y
, entonces es lleno.
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Demostración. Siguiendo los mismos argumentos de la prueba del teorema 1 para compacto,
llegamos a que existe y una familia
, tal que
y existe
, tal que
, pero
. Además, valen las relaciones:
Por un argumento similar al del teorema 1, se prueba que
.
Usando la relación (1) se deduce:
Por lo tanto
Pasando al límite:
Observemos de la relación (4) que .
Usando (3) se llega a las relaciones:
De lo anterior se deduce que
Y como
, deducimos la desigualdad:
Edixo Rosales
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Pasando al límite obtenemos una contradicción. Esto termina la prueba.
De los resultados obtenidos de los teoremas 1 y 3, es natural preguntarse:
¿Si es invertible y
donde es un operador de ,
entonces es lleno? Ésta es una conjetura abierta todavía.
Ahora trabajaremos sobre un espacio de . Vale el siguiente lema:
Lema 1. Sea . Si
con
, tales que
y
; entonces
.
Demostración. Se puede consultar en Bonsal y Duncan (1973).
El siguiente resultado es fundamental y nos pertenece:
Teorema 4. Si con espacio de Banach reflexivo y no es ; entonces existe
tal que
.
Demostración. Por hipótesis no es y por lo tanto existe tal que
es un de dimensión infinita.
Sea
una sucesión básica normalizada en
. Sabemos por el teorema de
que, existe
tal que
.
Por ser reflexivo, entonces es reflexivo y por lo tanto existe
, tal que
. Por otro
lado
. Por ser
reflexivo se deduce que
, por el lema 1 deducimos que
, lo que prueba e
resultado.
Deducimos a partir del teorema anterior una caracterización de los operadores :
Corolario 1. Si con espacio de Banach reflexivo y con un
operador compacto; entonces es .
Demostración. Si no es , existe un tal que
por el teorema
4.
Notemos que
con
compacto.
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Sea
tal que
y
para cada
compacto con
.
Como
, llegamos a una contradicción. Esto termina
la prueba.
Finalizamos esta investigación con la siguiente interrogante:
¿Si con espacio de reflexivo y
; entonces
4. CONCLUSIONES
La teoría de los operadores casillenos ha sido hasta la fecha poco explorada. Realmente la teoría de
los operadores llenos resultó de interés para los investigadores que pretendían resolver la conjetura
de los subespacios invariantes, y aún siguen apareciendo artículos en esta dirección. Sería
particularmente interesante estudiar la casillenitud de los operadores de la forma
,
donde es un espacio de Banach reflexivo y
. El operador
se define por
.
Erdos preguntaba, para el caso , ¿Es casilleno, si y sólo si,
es casilleno?
En un espacio de Hilbert separable, se prueba que si
, entonces es un operador casilleno.
En general, no sabemos si el resultado anterior es cierto para operadores definidos sobre espacios de
Banach reflexivos. Una respuesta afirmativa nos puede llevar a interesantes consecuencias. Veamos
que
. En efecto
Aquí
es la cápsula convexa del rango numérico espacial; por lo tanto si
, entonces
y serían
casillenos para cada .
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5. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses
6. REFERENCIAS
Bonsal, F. F., & Duncan, J. (1973). Numerical Ranges II. Cambridge University Press.
Bravo, J. R. (1980). Relations between
and operators whit compact imaginary parts
[PhD Dissertation. University of California].
Carothers, N. L. (2004). A Short Course on Space Theory. Cambridge University Press.
Erdos, J. A. (1979a). Dissipative operators and approximation of inverses. Bulletin of the London
Mathematical Society, 11(2), 142-144.
Erdos, J. A. (1979b). Singly generated algebras containing compact operators. Journal of Operator Theory,
2(2), 211-214.
Karanasios, S. (1994). Full operators on reflexive Banach spaces. Bulletin of the Greek Math. Soc, 36, 81-86.
Kreyszig, E. (1979). Introductory functional analysis with applications. John Wiley & Sons.
Rosales, E. (2012). Operadores casi llenos y de radio numérico alcanzable. Boletín de la Asociación
Matemática Venezolana, 19(2), 147-154.
Rosales, E. (2020). Resultados sobre operador llenos en espacios de Hilbert. Revista Bases de la Ciencia.
5(1), 51-62. https://doi.org/10.33936/rev_bas_de_la_ciencia.v5i1.1686
Schechter, M. (1971). Principles of functional Analysis. Academic Press.
Contribución de autores
Autor
Contribución
Edixo Rosales
Concepción, diseño del artículo y redacción
