Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4247.
APROXIMACIÓN DE FALLAS, UTILIZANDO EL MÉTODO DE
ELEMENTOS FINITOS NO CONFORMES
Hugo Córdova Morán
1
, Raúl Manzanilla
2
, Rodolfo Gallo
3
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador.
Email: hcordova2444@utm.edu.ec
2
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales, Universidad Yachay Tech, 100119 Urcuquí,
Ecuador. Email: rmanzanilla@yachaytech.edu.ec
3
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales, Universidad Yachay Tech, 100119 Urcuquí,
Ecuador. Email: rgallo@yachaytech.edu.ec
*Autor para correspondencia: hcordova2444@utm.edu.ec
Recibido: 24-12-2021/ Aceptado: 13-12-2022/ Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas
RESUMEN
En este estudio se trató el problema de determinar la ubicación de fallas en 1D, utilizando el método de elementos finitos
no conformes para dar solución al problemas de aproximación de discontinuidades. Este es un problema que se presenta
en las áreas de geología, imágenes de satélites, reconocimiento de patrones, modelos estructurales de yacimiento de pe-
tróleo, entre otros. Para la realización del presente trabajo de investigación, se definieron los espacios de aproximación
de funciones basadas en elementos finitos no conformes utilizando polinomios de grado uno y dos, en una dimensión.
Luego, conocido un conjunto finitos de puntos asociados a una función que puede presentar la discontinuidad, se realizó
un proceso de ajuste de tipo mínimos cuadrados, con la finalidad de detectar los puntos posibles de discontinuidades. Fi-
nalmente, haciendo un análisis del error sobre los datos considerados como información sobre la función y haciendo uso
del fenómeno de Gibbs, se localizaron los puntos candidatos para ser aproximaciones de los puntos de discontinuidad de la
función en estudio. Aquí, se presenta el proceso numérico para la obtención de los puntos de discontinuidad y se muestra
la eficiencia del mismo mediante ejemplos numéricos.
Palabras clave: Aproximaciones de funciones, elementos finitos no conformes, funciones discontinuas.
FAILURE APPROXIMATION USING THE NON-CONFORMING FINITE ELEMENT
METHOD
ABSTRACT
This study addressed the problem of determining the location of faults in 1D, using the non-conformal finite element
method to solve the problem of approximation of discontinuities. This is a problem that is presented in the areas of
geology, satellite images, pattern recognition, structural models of oil reservoir, among others. For the realization of the
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183)
present research work, the approximation spaces of functions based on nonconforming finite elements were defined using
polynomials of degree one and two, in one dimension. Then, knowing a finite set of points associated to a function that can
present discontinuity, a least squares type adjustment process was performed, with the purpose of detecting the possible
points of discontinuities. Finally, by performing an error analysis on the data considered as information about the function
and making use of the Gibbs phenomenon, the candidate points were located to be approximations of the discontinuity
points of the function under study. Here, the numerical process for obtaining the discontinuity points is presented and its
efficiency is shown by means of numerical examples.
Keywords: Approximations of functions, nonconforming finite elements, discontinuous functions.
APROXIMAÇÃO DE FALHAS, USANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
NÃO-CONFORMES
RESUMO
Este estudo abordou o problema da determinação da localização das falhas em 1D, utilizando o método dos elementos
finitos não-conformes para resolver o problema da aproximação das descontinuidades. Este é um problema que surge
nas áreas de geologia, imagens de satélite, reconhecimento de padrões, modelos estruturais de reservatórios de petróleo,
entre outros. Para este trabalho de investigação, os espaços de aproximação de funções não conformes baseadas em
elementos finitos foram definidos utilizando polinómios de grau um e dois, numa única dimensão. Depois, conhecendo um
conjunto finito de pontos associados a uma função que pode apresentar a descontinuidade, foi levado a cabo um processo
de encaixe do tipo menos quadrados a fim de detectar os possíveis pontos de descontinuidade. Finalmente, ao realizar
uma análise de erro sobre os dados considerados como informação sobre a função e fazendo uso do fenómeno Gibbs, os
pontos candidatos foram localizados para serem aproximações dos pontos de descontinuidade da função em estudo. Aqui,
é apresentado o processo numérico para obter os pontos de descontinuidade e a sua eficiência é demonstrada através de
exemplos numéricos..
Palavras chave: Aproximações de funções, elementos finitos não-conformes, funções descontínuas.
Citación sugerida: Córdova, H., Manzanilla, R., Gallo, R. (2022). Aproximación de fallas, utilizando
el método de elementos finitos no conformes. Revista Bases de la Ciencia, 7, (Especial), Diciembre,
166 -183. DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4247
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 167
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
1. INTRODUCCIÓN
Este trabajo de investigación esta inmerso dentro del problema de la aproximación de curvas con
discontinuidades el cual se puede presentar en diferentes áreas de conocimiento tales como; geología
estructural, modelo de yacimientos de petróleo, procesamiento de imágenes, diseño de estructuras
mecánicas con componentes no homogéneos, entre otros (Apprato y cols., 1987; Apprato y Gout,
2000; Arcangéli., 1989; Arcangéli y cols., 1997; Gout y cols., 2008; Gout y Ramière, 2003; Gutzmer
y Iske, 1997; Manzanilla, 1986).
El registro y la interpretación precisa de los cambios verticales dentro de un perfil de suelo son
importantes para los pedólogos, geomorfólogos, estratígrafos, hidrólogos y arqueólogos (Richardson
y cols., 2016).
El problema es simple cuando se conoce el punto de discontinuidad pero sigue siendo un problema
abierto cuando este punto de salto es conocido.
El método de mínimos cuadrados es una técnica muy utilizada para el ajuste de curvas en 1D y
dimensiones mayores. Esta técnica de análisis numérico consiste en:
• Dados un conjunto de pares ordenados (variable independiente, variable dependiente: (x
i
, y
i
)
para i = 1, . . . N ) y un espacio vectorial de dimensión finita conformado por funciones.
• Encontrar la función en dicho espacio, que mejor se ajuste a los datos.
En el presente trabajo se utiliza una familia de funciones de tipo elemento finitos no conformes, es
decir: funciones continuas salvo en un número finito de puntos del dominio de trabajo (Gout y cols.,
2008).
Por lo tanto, se considera lo siguiente:
• Un conjunto de N-puntos de datos (dispersos o regularmente distribuidos)
= {(x
i
, y
i
) ∈
2
: i = 1, . . . , N, } con x
i
∈ [a, b] (1)
• Una función desconocida f discontinua que satisface
f(x
i
) = y
i
para todo i = 1, . . . , N (2)
• Un espacio de funciones definidas sobre [a, b], V , que es un espacio de tipo elementos finitos
no conforme, es decir que son funciones que presentan un número finito de puntos de disconti-
nuidad.
• A cada elemento v ∈ V se le asocia el vector V
N
= (v(x
i
))
1≤i≤N
que será denotado en lo
sucesivo por V por simplicidad de notación.
• La norma euclidiana de
N
será designada por ∥ · ∥.
• El vector Y = (y
i
)
1≤i≤N
asociado a la segunda componente de los puntos señalados en (1)
168 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
A partir de la información señalada anteriormente, se puede formular el problema de mínimos
cuadrados (Allasia y cols., 2009).
(PMC)
Encontrar u ∈ V , tal que:
∥U − Y ∥ = min
v∈V
∥V − Y ∥
(3)
La idea del proceso de aproximación de los puntos x
d
donde se localiza las discontinuidades es
utilizar el fenómeno de Gibbs (Gibbs, 1898; Jerri, 1998), el cual indica que cuando se aproxima fun-
ciones discontinuas por funciones continuas se producen subimpulsos y sobreimpulsos en los puntos
de discontinuidad.
Para hacer uso de la característica del fenómeno de Gibbs, el espacio de elementos finitos no con-
forme V que esta formado por funciones que presentan discontinuidades en un número finitos de
puntos, será utilizado como si fuese un espacio de funciones continuas. Esto motivado a que el fenó-
meno de Gibbs se presentará entre puntos de discontinuidad de las funciones del espacio V utilizado.
En consecuencia, utilizando el conjunto y el espacio V se desea determinar los puntos en los
cuales la función f presenta discontinuidades. Este es un problema concreto que ha sido tratado en
dos dimensiones ver (Gutzmer y Iske, 1997), pero en la mayoría de problemas de ajuste de superficies
siempre se da por sentado que se conoce las curvas donde la función es discontinua.(Arcangéli., 1989;
Arcangéli y cols., 1997; Gout y cols., 2008; Manzanilla, 1986). Por ello es necesario reconocer y
describir la discontinuidad que se presenta en dicha curva.
Caracterizar los puntos de discontinuidad es primordial para representar los fenómenos físicos me-
diante modelos matemáticos consistentes con el hecho que dicho fenómeno presenta cambios abruptos
en las propiedades del medio, como se presenta comúnmente en los modelos no homogéneos de ma-
teriales (Kouibia y Pasadas, 2004).
El trabajo tiene como fin presentar una nueva estrategia para la localización de los puntos de
discontinuidad de una función definida de un intervalo real y a valores reales utilizando funciones
de tipo elementos finitos no conformes y las oscilación presentes en los puntos de discontinuidad
en el fenómeno de Gibbs al representar, localmente, funciones discontinuas por funciones continuas
(Palma y cols., 2021) y presentar resultados numéricos asociados al uso de la estrategia desarrollada
para determinar los puntos de discontinuidad.
2. LOCALIZACIÓN DEL PUNTO DE DISCONTINUIDAD
El proceso para la localización del punto de discontinuidad se puede describir mediante de las
siguiente etapas:
Etapa 1: Construir un espacio de aproximación de funciones con un número finito de discontinuida-
des.
En el presente trabajo se consideran espacios de funciones de tipo elementos finitos no
conforme, utilizando polinomios de grado menor o igual a m que se definirán mas adelante.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 169
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
Etapa 2: Utilizar la información suministrada en (1) para obtener una función de aproximación me-
diante un ajuste de tipo mínimos cuadrados(2).
En esta etapa, se implementa el método de ajuste de mínimos cuadrados estándar con el
objetivo de aproximar la representación de los datos dados en (1).
Etapa 3: Detectar los puntos de discontinuidad en la data suministrada en (1) haciendo uso de los
sobreimpulsos y subimpulsos presentes en el sitio de la discontinuidad de la función desco-
nocida f.
Después de realizar el ajuste con mínimos cuadrados se continua con el análisis de los pun-
tos donde aparecen las oscilaciones que son indicativos de presencia de discontinuidades.
Etapa 4: Localización de dicho punto de discontinuidad.
En esta etapa, se procede a realizar un análisis del error sobre los puntos de datos el cual
será presentado posteriormente (1).
2.1 Espacio de funciones no conformes
El espacio de aproximación se construye a partir de una partición P
n
del intervalo de trabajo [a, b]
formada por (n + 1) -puntos,
E
n
= {ξ
0
, ξ
1
, . . . , ξ
n
}, donde ξ
0
= a y ξ
n
= b. (4)
Utilizando E
n
, se define el espacio de funciones V
m
n
V
m
n
V
m
n
formado por las funciones cuya restricción a cada
intervalo I
i
= [ξ
i−1
, ξ
i
] para i = 1, . . . , n es un polinomio de grado menor e igual a m, es decir
V
m
n
=
v : v|
I
i
∈
m
(I
i
) , 1 ⩽ i ⩽ n
(5)
Donde
m
(I
i
) es el conjunto de polinomios de grado menor o igual a m sobre I
i
.
Es un hecho bien conocido que la dimensión del espacio espacio vectorial V
m
n
es de dimensión
(m + 1) · n
Por ejemplo, para un polinomio de grado m=2 se tiene como base:
Figura 1. Base del polinomio de grado 2.
170 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
2.2 El método de mínimos cuadrados
A continuación se presenta la formulación del problema de mínimos cuadrados correspondiente
al ajuste de la data dada en (1).
Primeramente, se definen utilizando (1)
Y = (y
i
)
1≤i≤N
(6)
y para todo w ∈ V
m
n
, su vector de
N
asociado
W = (w(x
i
))
1≤i≤N
(7)
Se sabe que el problema de mínimos cuadrados es
Encontrar u ∈ V
m
n
, tal que:
∥U − Y ∥
N
= inf
w∈V
m
n
∥W − Y ∥
N
(8)
El problema anterior posee una solución única.
Sea base B = {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n(m+1)
} ⊂ V
m
n
, entonces todo elemento de w ∈ V
m
n
se puede representar
como
w =
n(m+1)
j=1
w
j
ϕ
j
(9)
Entonces, se define para todo elemento w ∈ V
m
n
el vector en
n(m+1)
y la matriz de orden
n(m + 1) × n(m + 1) siguientes
C
w
=
w
1
w
2
.
.
.
w
n(m+1)
, A =
ϕ
1
(x
1
) ϕ
2
(x
1
) · · · ϕ
n(m+1)
(x
1
)
ϕ
1
(x
2
) ϕ
2
(x
2
) · · · ϕ
n(m+1)
(x
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ϕ
1
(x
N
) ϕ
2
(x
N
) · · · ϕ
n(m+1)
(x
N
)
(10)
Por lo tanto, el problema (8) es equivalente al problema
Encontrar u ∈ V
m
n
, tal que:
∥AC
u
− Y ∥
N
= inf
w∈V
m
n
∥AC
w
− Y ∥
N
(11)
Finalmente, u ∈ V
m
n
es determinado por sus coeficientes C
u
en la base B de V
m
n
al resolver el sistema
lineal
A
T
AC
u
= A
T
Y (12)
el cual posee una solución única.
Por otra parte, se puede plantear problemas de mínimos cuadrados locales, es decir
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 171
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
• Para cada intervalo I
k
= [ξ
k−1
, ξ
k
] para k = 1, . . . , n, se considera el conjunto
k
= {(x, y) ∈ : x ∈ I
k
} =
(x
k
i
, y
k
i
) ∈
2
, i = 1, . . . , N
k
Coord
x
( ) = {x
k
i
: i = 1, . . . , N
k
}
(13)
con CARDINAL de
k
y Coord
x
( ) iguales a N
k
.
• Y se puede formular el problema de mínimos cuadrados en cada intervalo I
k
sobre el espacio
de polinomios
m
(I
k
) asociado a los datos
k
haciendo lo realizado anteriormente para la
formulación del problema (8), es decir: para 1 ≤ k ≤ n
✓ utilizando (13),Se definen Y
k
= (y
k
i
)
1≤i≤N
k
y para todo w
k
∈
m
(I
k
) su vector de
N
k
asociado W
k
= (w(x
i
))
1≤i≤N
k
.
✓ El problema de mínimos cuadrados local en I
k
es
Encontrar p
k
∈
m
(I
k
), tal que:
∥P
k
− Y
k
∥
N
k
= inf
w∈
m
(I
k
)
∥W
k
− Y
k
∥
N
k
(14)
✓ Tomando una base del
m
(I
k
) B = {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
m+1
} ⊂
m
(I
k
), todo elemento w ∈
m
(I
k
) se representa como w =
m+1
j=1
w
j
ϕ
j
.
✓ Definiendo para todo elemento w ∈
m
(I
k
) el vector en
m+1
y la matriz de orden
(m + 1) × (m + 1) siguientes
C
w
=
w
1
w
2
.
.
.
w
m+1
, A
k
=
ϕ
1
(x
1
) ϕ
2
(x
1
) · · · ϕ
m+1
(x
1
)
ϕ
1
(x
2
) ϕ
2
(x
2
) · · · ϕ
m+1
(x
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ϕ
1
(x
N
k
) ϕ
2
(x
N
k
) · · · ϕ
m+1
(x
N
k
)
(15)
Por lo tanto, el problema (14) es equivalente al problema
Encontrar p ∈
m
(I
k
), tal que:
||AC
p
− Y
k
||
m+1
= inf
w∈
m
(I
k
)
||A
k
C
w
− Y
k
||
m+1
(16)
✓ Así, p ∈
m
(I
k
) es determinado por su vector de coeficientes C
p
en la base B de
m
(I
k
)
quien es solución del sistema lineal
A
T
k
A
k
C
p
= A
T
k
Y
k
(17)
el cual posee una solución única.
Uno de los resultados principales que se obtienen es el hecho que ambos problemas el global y la colec-
ción de locales conllevan a la misma solución en casos bastante generales y bajo ciertas restricciones.
Esto esta plasmado en el teorema siguiente.
172 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Teorema 1. Si para todo k = 1, . . . , n, Coord
x
(
k
) ∩ E
n
= ∅, entonces la solución u del problema
de mínimos cuadrados global (8) y la función ˆu definida por ˆu|
I
k
= p
k
,para k = 1, . . . , n, son iguales,
donde las funciones p
k
son las soluciones del los problemas de mínimos cuadrados local (14).
Demostración. Sea p
k
∈
m
(I
k
) la solución del problema local (14) para 1 ≤ k ≤ n y sea u la
solución del problema global (8). Se define la función ˆu ∈ V
m
n
como
ˆu|
I
k
=
p
k
(18)
entonces es inmediato que se satisface
∥U − Y ∥
N
≤ ∥
ˆ
U − Y ∥
N
(19)
Por otra parte, definiendo como ˆp
k
= u|
I
k
∈
k
entonces
∥P
k
− Y
k
∥
N
k
≤ ∥
ˆ
P
k
− Y
k
∥
N
k
⇐⇒ ∥P
k
− Y
k
∥
2
N
k
≤ ∥
ˆ
P
k
− Y
k
∥
2
N
k
=⇒
n
k=1
∥P
k
− Y
k
∥
2
N
k
≤
n
k=1
∥
ˆ
P
k
− Y
k
∥
2
N
k
Ya que
Coord
x
(
k
)∩P
n
=∅
⇐⇒ ∥
ˆ
U − Y ∥
2
N
≤ ∥U − Y ∥
2
N
y por la unicidad de la solución del problema (8), se tiene ˆu = u y por lo tanto de la solución de los
problemas locales (14) se puede construir la solución del problema global (8)
Observación. En el caso donde Coord
x
(
k
) ∩ E
n
̸= ∅ se pueden obtener dos problemas globa-
les y locales similares a (8) y (14), respectivamente, solamente cambiando la métrica utilizada en el
problema global, es decir:
[1] Se define N
r
como el número de veces que
k
∩
k−1
es no vació, para k = 1, . . . , n.
[2] Se define el conjunto de índices I
N
que contiene los índices i
ℓ
de los puntos en D tales que
x
i
ℓ
∈ Coor d
x
(
k
) ∩ (E
n
\ {ξ
0
, ξ
n
})
[3] Tomar ∥ ◦ ∥
B,
ˆ
N
=
(◦, B◦)
ˆ
N
(raíz cuadrada del producto escalar) donde
ˆ
N = N + N
r
con
B = ( b
i,j
)
1≤i,j≤
ˆ
N
b
i,j
=
0 si i ̸= j
1 si i = j ∧ x
i
∈ (Coor d
x
( ) \ E
n
) ∪ {ξ
0
, ξ
n
}
2 si i = j ∧ x
i
∈ E
n
\ {ξ
0
, ξ
n
}
donde (x
i
, y
i
) ∈ , ver (1).
2.3 Localización de las discontinuidades
Según, lo expuesto en (González, 2003), cuando una función dada se aproxima mediante una Serie
de Fourier finita, habrá un error considerable en la vecindad de la discontinuidad, no importa cuantos
términos se quieran emplear. Este efecto se conoce como el fenómeno de Gibbs. Para ilustrar este
fenómeno (ver Figura 2.), el resultado de aproximar una onda cuadrada por una serie finita de Fourier.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 173
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
Figura 2. Aproximación en serie de Fourier con 50 términos.
A medida que aumenta el número de elementos de la serie finita de Fourier que aproxima a la fun-
ción, la sobreoscilación se va comprimiendo más hacia la discontinuidad aunque su valor permanezca
prácticamente constante. Para ello se procede a estudiar las variaciones del error puntal obtenido a
través del problema de ajuste (11)-(12), es decir que solamente se considera el error de ajuste en los
puntos de D, ver (1).
E(x
i
) = y
i
− u(x
i
), para i = 1, . . . , K (20)
Se puede observar que este error no incluye el clásico valor absoluto de la diferencia. Esto se
define así con la finalidad de resaltar las variaciones del error sobre el conjunto de datos, ya que en el
fenómeno de Gibbs el error (20) cambia de signo en el entorno inmediato donde se localiza el punto
de discontinuidad de la función asociada a la data analizada (Jerri, 1998; Rivera-Roman y Martinez-
Gonzalez, 2018). Esto puede ser observado al realizar la resolución de problema de mínimos cuadrados
(11)-(12), por ejemplo en la Figura 3, se aprecian el subimpulso y sobreimpulso relacionados con el
punto de discontinuidad cuando se realiza la aproximación con series de Fourier.
Figura 3. Subreimpulso y subimpulso.
2.4 Localización del punto de discontinuidad
Para determinar la ubicación del punto de discontinuidad se utiliza el hecho, (ver (Jerri, 1998)) que
cerca del punto donde la discontinuidad ocurre se manifiesta un sobreimpulso y subimpulso, el cual es
174 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
dennominado el fénomeno de Gibbs Lo cual se refleja en una Z-forma que es una forma de “Z” o “Z
invertida”, sobre los puntos de interés en el estudio. Esta Z-forma permite resaltar la ubicación de
los impulsos que son contrarios y consecutivos. Y utilizando el error (20) la Z-forma es magnificada
(ver Figura 4.)
Figura 4. Subreimpulso, subimpulso, error y Z-forma.
Los hechos señalados anteriormente, son utilizados como pundo de arranque para el desarrollo
de un procedimiento para la detección de las variaciones importantes del error, el cual se procede a
describir:
1. Se realiza un Barrido de cuatro puntos sobre los datos en estudio, reteniendo los puntos que
satisfacen cambio de signo en las expresiones
E(x
i
) − E(x
i+1
) y E(x
i+2
) − E(x
i+3
), para i = 1, . . . , K − 3 (21)
y respalda la variación en el error, es decir
Si (E(x
i
) − E(x
i+1
)) ∗ (E(x
i+2
) − E(x
i+3
)) < 0,
entonces V ar
i
= |E(x
i+2
) − E(x
i+1
)|
(22)
2. A continuación se procede a toma el indice i
0
donde la variación V ar
i
0
es máxima como el índice
indicador de la ubicación del punto donde ocurre la discontinuidad. Si el vector de índices V ar
i
es vacío entonces se concluye que no hay punto de discontinuidad.
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3. Para finalizar, la aproximación del punto X
d
donde ocurre la discontinuidad puede ser definido
por
X
d
=
x
i
0
+1
+ x
i
0
+2
2
(23)
Otra forma de definir al punto X
d
sería haciendo una ponderación en función de los errores
obtenidos en los puntos x
i
0
+1
y x
i
0
+2
.
Observaciones:
• Esta propuesta detecta un punto de discontinuidad y seguido a esto, se debe hacer una división
del intervalo de análisis en dos intervalos que contengan como punto extremo el punto X
d
para
proceder con el proceso de detección en cada uno de los nuevos intervalos generados y se con-
tinua de manera recursiva con la división de intervalos. Este proceso puede detenerse cuando
el ajuste realizado en un nuevo intervalo generado por división no presenta fuertes variaciones
en el error, por ejemplo variaciones menores a 20% del error en valor absoluto obtenido del
análisis del error realizado previamente.
• Una de las principales características de este procedimiento para la localización del punto de
discontinuidad es que es 100% paralelizable. Lo cual facilita el proceso de localización de los
puntos de discontinuidad. Todo esto está justificado por el Teorema 1, presentado en la sección
1.
3. RESULTADOS NUMÉRICOS
En esta sección se presentarán algunos resultados numéricos que presentan las bondades del mé-
todo propuesto para la localización de los puntos de discontinuidad de una función utilizando datos
de tipo Lagrange (ver (1)).
3.1 Ejemplos numéricos
Se demuestra ahora mediante dos casos representativos la efectividad del procedimiento señalado
en la sección 2, para la localización del punto donde ocurre la discontinuidad.
f
1
(x) =
1
2
x + 1 si −5 ≤ x ≤ −1
2x
3
+ x
2
− 3x si −1 < x ≤ 1
, f
2
(x) =
e
x+1
si −4 ≤ x ≤ 1
2sin(x) + 1 si 1 < x ≤ 7
Se construyó un archivo de datos aleatorios y uniformes, para la función f
1
, en el intervalo de trabajo
[−5, 1] con una cantidad de puntos N = 300 (ver Figura 5.), para luego realizar el ajuste de los datos
con diferentes valores de n, recuerde que para ese valor de n, el espacio vectorial V de funciones es
de dimensión m · n + 1.
176 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Figura 5. Datos generados usando la función f
1
.
Con la función f
2
, se genera también un archivo de datos aleatorios y uniformes, usando el inter-
valo [−4, 7] con una cantidad de puntos N = 300 (ver Figura 6.), para luego realizar el ajuste de los
datos con diferentes valores de n.
Figura 6. Datos generados usando la función f
2
.
3.2 Localización del punto de discontinuidad
3.2.1 Caso de análisis de los datos provenientes de f
1
Ajuste de los Datos
A continuación se presentan los gráficos obtenidos al aplicar el proceso de ajuste asociados a los
datos sintéticos obtenidos mediante el uso de la función f
1
correspondientes a los casos de valores de
m = 1, 2 y n = 10, 20, 25, 34.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 177
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
Figura 7. Resultado del ajuste con datos generados usando la función f
1
, m = 1, y n = 10, 20, 25, 34.
Figura 8. Resultado del ajuste con datos generados usando la función f
1
, m = 2, y n = 10, 20, 25, 34.
En las figuras anteriores, Figura 7. y 8, se observa la variación del error en la proximidad del punto
de discontinuidad. Además, se observa que dicha variación va disminuyendo a medida que la dimen-
sión del espacio V
m
n
va creciendo, lo cual es esperado, ya que al incrementar la dimensión del espacio
V
m
n
, es decir: se hace tender a N la solución del ajuste por mínimos cuadrados tiende a la solución de
la interpolación
178 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
La tabla 1. a continuación muestra los valores de las dimensiones de V
m
n
según los valores n y m
Tabla 1. Dimensión del espacio de tipo elementos finitos según los valores de n y m
23.8cmDimensión de
V
m
n
n : número de particiones
10 20 25 34
m : grado del 1 20 40 50 68
polinomio 2 30 60 75 102
La tabla 1. muestra como aumenta la dimensión del espacio V
m
n
al incrementar n y m. Como
fue resaltado anteriormente, el procedimiento para la localización del punto de discontinuidad debe
ser utilizado con una dimensión de V
m
n
menor al número de datos en D, es decir N , ya que en caso
contrario la evaluación del error E(x
i
) será nula para todo i = 1, . . . , N , ya que el problema de ajuste
se convierte en un problema de interpolación.
3.2.2 Caso de análisis de los datos provenientes de f
2
Ajuste de los Datos
A continuación se presentan los gráficos obtenidos al aplicar el proceso de ajuste asociados a los datos
sintéticos obtenidos mediante el uso de la función f
2
, los cuales corresponden a los casos de valores de
m = 1, 2 y n = 10, 20, 25, 34. Como en el caso de f
1
, los espacios de tipo elemento finito no conforme
utilizados en los ejemplos numéricos corresponden a los señalados anteriormente para f
1
en el caso
m = 1, 2 (ver tabla 1.)
Figura 9. Resultado del ajuste con datos generados usando la función f
2
, m = 1, y n = 10, 20, 25, 34.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 179
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Figura 10. Resultado del ajuste con datos generados usando la función f
2
, m = 2, y n =
10, 20, 25, 34.
Como en el caso de los datos provenientes de la función f
1
, en la Figura 9. y la Figura 10, se puede
apreciar el mismo comportamiento del método de localización de la discontinuidad de la función, es
decir: la aparición de la Z-forma y la disminución del error a medida que n y m aumentan el cual
es un efecto motivado a la tendencia que el problema de ajuste tiende al problema de interpolación
cuando la dimensión del espacio V
m
n
se incrementa.
4. UBICACIÓN DEL PUNTO DE DISCONTINUIDAD.
Utilizando la estrategia mencionada en la sección 2.4., se desarrollo un programa para obtener la
ubicación de los puntos de discontinuidad asociados a los datos asociados a la función para ambos
casos de m = 1 y m = 2.
Figura 11. Ubicación del punto de discontinuidad usando los datos de la función f
1
, m = 1
De la misma forma se obtuvieron los puntos de discontinuidad x
d
al utilizar los datos asociados a
la función f
2
, m = 1 y m = 2.
180 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Figura 12. Ubicación del punto de discontinuidad usando los datos de la función f
1
, m = 2
Figura 13. Ubicación del punto de discontinuidad usando los datos de la función f
2
, m = 1
Figura 14. Ubicación del punto de discontinuidad usando los datos de la función f
2
, m = 2
En los ejemplos presentados, se puede observar que el método para la localización del punto de
discontinuidad es eficiente y es muy favorable cuando la dimensión del espacio es mucho mas pequeña
relativamente a la cantidad de puntos de datos que se esta procesando lo cual es una característica muy
útil ya que disminuye el tiempo de computo para la localización del punto de discontinuidad.
5. CONCLUSIONES
• Se desarrolló una metodología numérica que permite aproximar la ubicación de los puntos de
discontinuidad de una función real a valores reales.
• El método desarrollado para aproximar la ubicación de los puntos de discontinuidad presenta
ventajas cuando la dimensión del espacio utilizado para el ajuste es mucho mas pequeña que la
cantidad de data tratada por lo cual minimiza el tiempo de ejecución del método.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 181
Hugo Córdova Morán, Raúl Manzanilla, Rodolfo Gallo
• La metodología es fácilmente extensible para localizar todos los puntos de discontinuidad en un
intervalo de trabajo haciendo uso del paralelismo intrínseco del modelo desarrollado. (Teorema
1).
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERESES DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
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CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Hugo Córdova Metodología, búsqueda de bibliografía, diseño del artículo y resultados numéricos.
Raúl Manzanilla Redacción, algoritmos y diseño experimental.
Rodolfo Gallo Concepción y criterio para la ubicación de los puntos de discontinuidad.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 166 -183) 183
