Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 300 -310). Edición Contínua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4408.
DINÁMICA DE LA TRANSFORMACIÓN GENERALIZADA DE BOOLE
Nelly Elisenia Mendoza Mendoza
1∗
, Luis Bladismir Ruiz Leal
2
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador. Email: nmendoza1573@utm.edu.ec
2
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador.
Email: luis.ruiz@utm.edu.ec
*Autor para correspondencia: nmendoza1573@utm.edu.ec
Recibido: 25-06-2022 / Aceptado: 13-12-2022 / Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas Espinoza
RESUMEN
Los estudios realizados a la transformación de Boole B(x) = x −
1
x
y sus parametrizaciones, en su gran mayoría, se ha
hecho desde la perspectiva de la teoría ergódica infinita y recientemente se estudió la ergodicidad para la medida invariante
de probabilidad absolutamente continua a la de Lebesgue para B
α
(x) = α(x −
1
x
) con α ∈ (0, 1). Esos estudios sólo
consideran los casos donde la familia de funciones no tienen puntos fijos e inclusive en ese caso no se describe comple-
tamente el comportamiento dinámico. Partiendo de esto, se considera una generalización de la transformación de Boole
de la forma f
abc
(x) = ax −
b
x
+ c con a > 0, b > 0 y c ∈ R y se realiza un estudio de su dinámica para un conjunto
amplio del espacio de los parámetros. Específicamente, se consigue una región del conjunto de parámetros donde f
abc
es
transitivo y presenta una relación, por medio de la conjugación topológica, con la dinámica simbólica ( asociada a el Shift)
para un subconjunto del espacio de dos símbolos, lo que justifica su comportamiento caótico en este caso. Se demuestra
que existe una región abierta del espacio de parámetros donde f
abc
es uniformemente robustamente transitivo. También,
se prueba que para a > 1, b > 0 y c ∈ R, f posee dos puntos fijos hiperbólicos y entre estos dos puntos existe un conjunto
de Cantor invariante uniformemente robustamente transitivo, cuya dinámica es equivalente a la del shift unilateral de dos
símbolos.
Palabras clave: Conjunto de Cantor robustamente transitivo, generalización de Boole, Transitividad, Transformación de
Boole.
REVIEW OF THE VAN DER POL EQUATION AND ITS MODIFICATIONS
ABSTRACT
The studies carried out on the Boole transformation B(x) = x −
1
x
and its parameterizations, for the most part, have been
done from the perspective of the infinite ergodic theory and recently the ergodicity for the absolutely continuous (respect to
Lebesgue measure) invariant probability measure for B
α
(x) = α(x −
1
x
) with α ∈ (0, 1). These studies only consider the
cases where the family of functions do not have fixed points and even in that case the dynamic behavior is not completely
described. Starting from this, consider a generalization of the Boole transformation of the form f
abc
(x) = ax −
b
x
+ c
with a > 0, b > 0 and c ∈ R and a study of their dynamics is carried out for a wide set of parameter spaces. Specifically, a
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 300 -310) 300
Nelly Mendoza, Luis Ruiz
region of the set of parameters is obtained where f
abc
is transitive and presents a relation, by means of topological conju-
gation, with the symbolic dynamics (associated with the Shift) for a subset of the space of two symbols, which justifies its
chaotic behavior in this case. It is shown that there is an open set of the parameter space where f
abc
is uniformly robustly
transitive. Also, it is proved that for a > 1, b > 0 and c ∈ R, f has two hyperbolic fixed points and between these two
points there exists a uniformly robustly transitive invariant Cantor set, whose dynamic is equivalent to unilateral shift of
two symbols.
Keywords: Boole Generalization, Boole Transformation, Robustly Transitive Cantor Set, Transitivity.
UNE REVUE DE L’EQUATION DE VAN DER POL ET DE SES
MODIFICATIONS
RESUMO
Os estudos realizados para a transformação de Boole B(x) = x −
1
x
e suas parametrizações, qua-
se sempre , foram feitos sobre a ótica da teoria ergódica infinita e a ergodicidade foi recentemen-
te estudada para a medida de probabilidade invariante absolutamente contínua pra Lebesgue para
B
α
(x) = α(x −
1
x
) com α ∈ (0, 1). Esses estudos consideram apenas os casos em que a família
de funções não possui pontos fixos e mesmo nesse caso o comportamento dinâmico não é completa-
mente descrito. A partir disso, é considerado uma generalização da transformação de Boole da forma
f
abc
(x) = ax −
b
x
+ c com a > 0, b > 0 e c ∈ R e um estudo de sua dinâmica é realizado para
um amplo conjunto do espaço de parâmetros. Especificamente, obtém-se uma região do conjunto dos
parâmetros onde f
abc
é transitivo e apresenta uma relação, por meio da conjugação topológica, com
a dinâmica simbólica (associada ao Shift) para um subconjunto do espaço de dois símbolos , o que
justifica pra este caso seu comportamento caótico. Mostra-se que existe uma região aberta do espaço
de parâmetros onde f
abc
é uniformemente robustamente transitiva. Além disso, é provado que para
a > 1, b > 0 e c ∈ R, f
abc
tem dois pontos fixos hiperbólicos e entre esses dois pontos existe um
conjunto de Cantor invariante uniformemente robustamente transitivo, cuja dinâmica é equivalente à
o shift unilateral de dois símbolos.
Palavras chave: Boole Generalizada, Conjunto de Cantor robustamente transitivo, Transformação de
Boole, Transitividade.
Citación sugerida: Mendoza, N., Ruiz, L. (2022). DINÁMICA DE LA TRANSFORMACIÓN GENE-
RALIZADA DE BOOLE. Revista Bases de la Ciencia, Vol. 7, (No. Especial), Diciembre, 300-310.
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4408.
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1. INTRODUCCIÓN
La transformación de Boole B (x) = x −
1
x
es un ejemplo importante de una función no uniforme
expansora sobre una variedad diferenciable no compacta. Adler y Weiss (1973) probaron que B es
ergódica con respecto a la medida de Lebesgue, esto motivó, a varios investigadores a estudiar los
fenómenos de la teoría ergódica infinita entre ellos, Aaronson quien estudió una generalización de la
forma B
α
(x) = αx−
1
x
demostrando que para todo α ∈ (0, 1), B
α
preserva una medida µ
α
de probabi-
lidad especial (satisface una la ley de Cauchy ver Letac (1977) ) que converge débilmente a la medida
de Lebesgue sobre R, Jon Aaronson (1978). A partir de este trabajo se han realizado diferentes estu-
dios a una generalización de la forma B
ab
(x) = ax −
b
x
donde han probado algunas propiedades para
la medida en valores puntuales de los parámetros, Neuwirth (1978); Prykarpatsky y Feldman (2006).
En los trabajos de Umeno (1998) y Umeno y Okubo (2016) estudiaron los exponente de Lyapunov
para una generalización de la transformación de Boole de la forma B
α
(x) = α
x −
1
x
, para valores
α ∈ (0, 1). Justamente, para diferentes valores del parámetro α ∈ (0, 1) se estudiaron otras propieda-
des relacionadas con la ergodicidad de B
α
, como por ejemplo la propiedad de que B
α
sea exacta o una
mezcla respecto a la medida invariante existente mostrada por Aaronson, ver Okubo y Umeno (2018)
y Okubo y Umeno (2021). Recientemente Blackmore, Balinsky, Kycia y Prykarpatski (2021) se estu-
dia la entropia para la generalización de B
ab
(x) = ax −
b
x
con 0 < a < 1. y realiza otra prueba de la
ergodicidad de B respecto a la medida de Lebesgue.
Muñoz en sus trabajos S. Muñoz (2006) y S. Muñoz (2015) estudia una clase amplia de funciones
g : R \ {0} −→ R mostrando unas condiciones para que sean transitivos y otras condiciones para que
exhiban la propiedad de robustamente transitivos. En particular, f
abc
con a < 1, b > 0 y c próximo de
cero forman parte de esa clase de funciones. En Leal, Mata y Ramírez (2018) presentan una familia de
funciones de R \{0} −→ R transitivos que la llamaron tipo Boole y que B
1b
es un elemento particular
de esta clase de funciones, ∀ b > 0. Todos los casos mencionados (incluyendo los relacionado con la
teoría ergódica) tienen una particularidad que fueron estudiados para valores del parámetro donde la
transformaciones no tienen puntos fijos. Claro está, que f
abc
posee puntos fijos para valores del pará-
metro (a, b, c) en un conjunto no acotado y con interior no vacío. La existencia de puntos fijos elimina
la transitividad y la posibilidad de una medida ergódica absolutamente continua a la de Lebesgue pero,
eso no significa que para esos valores del parámetro la función no tenga un comportamiento caótico
en un conjunto invariante. Una pregunta natural es: ¿ Cuál es el comportamientos dinámico para estos
valores del parámetro?
En este trabajo se realiza un estudio de una parametrización de Boole f
abc
(x) = ax −
b
x
+ c desde el
punto de vista de la dinámica topológica, mostrando el espacio de parámetros donde f
abc
posee puntos
fijos y su conjunto estable. Se prueba cuáles son los valores del parámetro donde f es transitivo y una
relación biunívoca con la dinámica simbólica (por medio del Shift) para un subconjunto del espacio de
dos símbolos, de hecho se prueba que para
1
2
< a < 1, b < 0 y c próximo de cero f
abc
es robustamente
transitivo mejorando el caso estudiado por S. Muñoz (2015) para B
a1
. Finalmente se estudia el caso
a > 1 demostrando que, entre los dos puntos fijos hiperbólicos que posee, existe un conjunto de Can-
tor invariante por f
abc
robustamente transitivo. Note además que, f
110
= B, F
ab0
= B
ab
y f
αα0
= B
α
.
Es importante mencionar que en la actualidad se ha logrado demostrar que este tipo de funciones
aparece de forma intrínseca en la dinámica de una clase de homeomorfismos transitivos del plano F :
R
2
\ δ −→ R
2
\ γ donde δ y γ son curvas de discontinuidad que dividen el plano en dos componentes
conexas no acotadas, ver Leal y Sergio Muñoz (2021) y Leal y Munoz (2022). De hecho, se usa f
1b0
con
b > 0 y f
a,b,0
con a < 1 (pero a próximo de 1) para mostrar una familia de difeomorfismos transitivos
302 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Nelly Mendoza, Luis Ruiz
del plano cuyo conjunto de puntos periódicos es denso en el plano (Leal y Sergio Muñoz (2021)).
2. MÉTODOS
El método usado es el lógico deductivo. Se usaron varios resultados de la Teoría de sistemas dinámicos
para espacios compactos y la reciente teoría generada para transformaciones de R \ {0} en R cono-
cida como sistemas alternantes crecientes para describir el comportamiento dinámico para diferentes
valores de los parámetros a > 0, b > 0 y c ∈ R. La aplicación de esta metodología queda implícita en
cada una de las demostraciones de los resultados obtenidos.
Para el estudio del caso a > 1 donde f
abc
posee dos puntos fijos hiperbólicos se sigue las ideas del
trabajo de Leal, Mata y Ramírez (2018) para identificar el conjunto de Cantor transitivo, usando el
hecho que los puntos fijos son repulsores se determina que la órbita de los puntos fuera del conjunto
de Cantor no son acotadas. para probar que f
1b0
es transitivo en los valores del parámetro a = 1, b > 1
y c = 0 se usa la teoría de sistemas alternantes crecientes generada en el trabajo de S. Muñoz (2015).
3. PUNTOS FIJOS Y CONJUNTO ESTABLE
De aquí en adelante se denotará f = f
abc
(x) = ax −
b
x
+ c, para x ̸= 0, a > 0, b > 0 y c ∈ R.
En esta sección se usará la siguiente notación f
−
= f|
(
−∞
,
0)
, f
+
= f|
(0
,
+
∞
)
, A
f
=
n≥0
f
−n
(0) y
R
f
= R \ A
f
. El conjunto estable de un punto fijo p es el conjunto:
W
s
(p, f) = {y ∈ R
f
: |(f
n
(y) − p)| → 0, n → +∞} .
Lema 3.1. Si a > 1, b > 0 y c ∈ R, entonces existen dos puntos fijos hiperbólicos repulsores p
1
< 0
y p
2
> 0 tales que f
n
(x) → −∞, n → +∞ si x < p
1
; y f
n
(x) → +∞, n → +∞ si x > p
2
.
Prueba. De la ecuación f(x) = x se tiene que (a − 1) x
2
+ cx − b = 0, la solución real de esta
ecuación existe si c
2
+ 4 (a − 1) b > 0, por lo tanto los puntos fijos de f tienen la forma:
p
1
=
−c −
c
2
+ 4(a − 1)b
2(a − 1)
y p
2
=
−c +
c
2
+ 4(a − 1)b
2(a − 1)
. (3.1)
Como a > 1 y f
′
(x) = a +
b
x
2
> a, ∀ x ̸= 0, entonces p
1
< 0, p
2
> 0, f
′
(p
1
) > 1 y f
′
(p
2
) > 1.
Esto hace que f(x) > x si x > p
2
; y que f(y) < y si y < p
1
. Sea x > p
2
entonces, la sucesión de
iterados {f
n
(x)} es una sucesión creciente y por tanto, f
n
(x) → +∞, n → + ∞ para todo x > p
2
.
Análogamente f
n
(y) → −∞, n → +∞, para todo y < p
1
.
Lema 3.2. Si a < 1, b > 0 y c
2
+ 4 (a − 1) b = 0 entonces, f posee un único punto fijo p tal que:
• p < 0 y (−∞, p) ⊂ W
s
(p, f) si c < 0
• p > 0 y (p, +∞) ⊂ W
s
(p, f) si c > 0.
Prueba. De la demostración del Lema 3.1 (en la ecuación (1)) y la hipótesis, el punto fijo tiene la
forma: p =
−c
2(a−1)
. Usando el hecho que c
2
+ 4 ( a − 1) b = 0, se tiene que f
′
(p) = 1. Por otro lado,
f
′′
(x) =
−b
x
3
, para todo x ̸= 0. Si c < 0, entonces p < 0 y f
′′
(x) > 0, ∀x < 0 esto significa que
f
′
(x) < 1, ∀x < p. Así, f(x) > x para todo x < p. Esto implica que f
n
(x) → p, n → +∞∀x < p.
Si c > 0 entonces, p > 0, f
′′
(x) < 0, ∀x > 0 luego f
′
(x) < 1, ∀x > p. Usando un razonamiento
análogo f
n
(x) → p, n → +∞ ∀ x > p. Sea ha probado que si c < 0, entonces W
s
(p, f) ⊃ (p, +∞)
o que si c > 0 , entonces (−∞ , p) ⊂ W
s
(p, f).
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 300 -310) 303
Lema 3.3. Si a < 1, b > 0 y c
2
+ 4 (a − 1) b > 0 entonces existen dos puntos fijos hiperbólicos
p
1
< p
2
con la siguiente propiedad:
• Si c > 0, entonces (p
1
, +∞) ⊂ W
s
(p
2
, f).
• Si c < 0, entonces (−∞, p
2
) ⊂ W
s
(p
1
, f).
Prueba. Parte a, si c > 0, como a < 1, entonces o < p
1
< p
2
. Ya que f
′
(x) > 0, ∀x ̸= 0 y
f
′′
(x) < 0, ∀x > 0 se sigue que f
′
(p
1
) > 1 y f
′
(p
2
) < 1.
Así todo x ∈ (p
1
, .p
2
]. satisface que f
n
(x) → p
2
, n → +∞. Como f
′
(p
2
) < 1 entonces, f(x) < x,
∀x > p
2
esto implica que f
n
(x) → p
2
, n → +∞ para todo x ≥ p
2
. Así, (p
1
, +∞) ⊂ W
s
(p
2
, f).
Parte b, es análoga, usando el hecho que f
′′
(x) > 0, ∀ x < 0 y f
′
(x) > 0 para todo x ̸= 0, en este
caso f
′
(p
1
) < 1 y f
′
(p
2
) > 1.
Lema 3.4. Si a = 1, b > 0 y c ̸= 0, entonces f posee un único punto fijo p tal que f
n
(x) → +∞, n →
+∞, ∀ x > p > 0 si c > 0 y f
n
(x) → −∞, n → +∞, ∀ x < p < 0 si c < 0.
Prueba. La demostración sigue las misma ideas realizadas en la demostración del lema 3.1, que en
este caso f
′
(x) > 1 para todo x ̸= 0.
4. CONJUNTOS INVARIANTES CAÓTICOS Y DINÁMICA SIMBÓLICA
2
= {0, 1}
N
es el espacio de todas las sucesiones con valores en el conjunto {0, 1}. Un elemento
a ∈ Σ
2
se denotará por a = (a
0
a
1
a
2
, . . .), el espacio Σ
2
con la métrica
d
2
(a, b) =
+∞
n=1
|a
n
− b
n
|
2
n
es un espacio métrico compactado. La función σ : Σ
2
→ Σ
2
definido por σ (a) = b = (a
1
a
2
, . . .),
b
i
= a
i+1
, ∀ i ≥ 0, es conocida como la función Shift y tiene las siguientes propiedades:
• σ es continua;
• σ es transitiva;
• Per(σ) (conjunto de puntos periódicos de σ) es denso en Σ
2
.
Σ
′
= Σ
2
\ {a ∈ Σ
2
: para algún j ≥ 0, a
i
= 0, ∀ i ≥ j o a
i
= 1, ∀ i ≥ j}. Note que
n≥0
σ
−n
(0) ∪ σ
−n
(1)
= {a ∈ Σ
2
: para algún j ≥ 0, a
i
= 0, ∀ i ≥ j o a
i
= 1, ∀ i ≥ j},
donde 0 = (000 ... ) y 1 = (111 ... ). Es bien conocido que Σ
′
es invariante por σ (esto es, σ (Σ
′
) ⊂ Σ
′
),
σ
′
= σ|
Σ
′
es transitiva y Per(σ
′
) es denso en Σ
′
.
Para describir la dinámica de f en el caso a = 1 es necesario verificar que f es una clase de transfor-
maciones estudiadas en S. Muñoz (2006) y S. Muñoz (2015), él considera la siguiente clase funciones
g : R \ {0} → R continua con las siguiente propiedades:
M1) g es creciente en cada cada componente conexa
M2) lim
x→0
+
g (x) = −∞ y lim
x→0
−
g (x) = +∞
M3) lim
x→+∞
g (x) = +∞ y lim
x→−∞
g (x) = −∞
M4) g(x) − (x) ̸= 0, ∀ x ̸= 0
Esta clase de funciones con estas condiciones es llamada un sistema alternante creciente (SAC)
Se puede verificar que si g es un SAC entonces, existen x
0
< 0 y x
1
> 0 talque f
−1
(0) = {x
0
, x
1
}.
También se puede notar lo siguiente:
304 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Nelly Mendoza, Luis Ruiz
Observación 4.1. De la definición de SAC se puede extraer las siguientes propiedades:
1. Si g es un SAC entonces, para cada x > x
1
existe una subsucesión n
k
→ +∞ tal que
g
n
k
(x) ∈ (0, x
1
) para todo k ≥ 1;
2. Si g es un SAC entonces, para cada x < x
0
existe una subsucesión m
k
→ +∞ tal que
g
m
k
(x) ∈ (x
0
, 0) para todo k ≥ 1;
Si a > 0 y b > 0, entonces del hecho que f
′
(x) > a para todo x ̸= 0, f satisface M
1
y M
3
. Por
la misma naturaleza de f, ella satisface M
2
. Si a > 1 y c
2
+ 4 (a − 1) b < 0 resulta que, f no tiene
puntos fijos por tanto, satisface M
4
. Hora, si a = 1 y c = 0 se puede ver también, en este caso, que f
no tiene puntos fijos. Esto significa que:
Observación 4.2.
Si a < 1, b > 0 y c
2
+ 4(a − 1)b < 0 entonces, f es un sistema alternante creciente.
Si a = 1, b > 0 y c = 0 entonces, f es un sistema alternante creciente.
Definición 4.1. (S. Muñoz (2015)) Sea g : R \ {0} → R un SAC. Se dice que g es expansivo si
A
g
=
n≥0
g
−n
(0) es denso en R.
Notación R
g
= R \ A
g
. Observe que g(R
g
) = R
g
, lo que significa que la órbita positiva de todo punto
x ∈ R
g
está bien definida.
Teorema 4.1. (S. Muñoz (2015)): Sea g : R \ {0} → R un SAC. Entonces
1.
n≥0
g
−n
(0) es denso en R si, y solo si, para cualesquiera x ̸= y en R
g
existe N ≥ 1 tal que
g
N
(x) · g
N
(y) < 0
2. g es expansivo si, y solo si, g|
R
g
: R
g
→ R
g
es topológicamente conjugado con el Shift σ
′
.
Teorema 4.2. Si a = 1, b > 0 y c = 0 entonces f es topológicamente conjugado con al Shift σ
′
.
Prueba. Por el Teorema 4.1 item 2, se debe probar que f es expansiva. Para ello, supongamos que
no es expansiva, entonces por el Teorema 1.1 existe x, y ∈ R
f
tal que f
n
(x) · f
n
(y) > 0 n ≥ 1. Esto
significa que
f
n
(x), f
n
(y) ∈ (0, +∞) o f
n
(x), f
n
(y) ∈ (−∞, 0) para todo n ≥ 1. (4.1)
Por la observación 4.2, f es un sistema alternante creciente. Existe x
0
> 0 tal que f (x
0
) = 0, por
la observación 4.1 y, el hecho que f (0, x
1
) = (−∞, 0) se tiene que, para todo z ∈ R
f
existe una
subsucesión m
k
→ +∞ tal que f
m
k
(z) ∈ (0, x
1
), de esto junto con (2) se sigue que, existe una
subsucesión n
k
tal que f
n
k
(x) , f
n
k
(y) ∈ (0, x
1
) para todo k ≥ 1. Por otro lado, existe x
2
> x
1
tal
que f (x
2
) = x
1
y f (x
1
, x
2
) = (0, x
1
). Sea λ = inf{f
′
(a) : a ∈ [x
1
, x
2
]} > 1. Aplicando el Teorema
del Valor Medio (TVM) se tiene que,
|f
n
1
(x) − f
n
1
(y)| ≥ λ|x
2
− x
1
|
Como f es derivable y el hecho (2) se puede aplicar sucesivamente el Teorema de Valor Medio. Ya
que f
′
(x) > 1 para todo x ̸= 0 se tiene que, |f
n
2
−1
(x) − f
n
2
−1
(y)| ≥ | f
n
1
(x) − f
n
1
(y)|. Aplicando
TVM nuevamente resulta que, |f
n
2
(x) − f
n
2
(y)| ≥ |f
n
2
−1
(x) − f
n
2
−1
(y)|. Por tanto,
|f
n
2
(x) − f
n
2
(y)| ≥ λ
2
|x
2
− x
1
|
Realizando este razonamiento sucesivamente a f
n
k
se concluye que |f
n
k
(x) − f
n
k
(y)| ≥ λ
k
|x
2
− x
1
|
para todo k ≥ 1. Esto implica que | f
n
k
(x) − f
n
k
(y)| → +∞ cuando k → +∞ lo cual es una
contradicción. Así f es expansiva.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 300 -310) 305
Se denota
F
i
:=
g : R \ {0} → R : g es de clase C
i
para i = 0, 1, 2.
• Una función g ∈ F
0
es δ − C
0
próximo de f si |g(x) − f (x)| < δ para todo x ̸= 0
• Una función g ∈ F
1
es δ − C
1
próximo de f si g es δ − C
0
próximo de f y |g
′
(x) − f
′
(x)| < δ
para todo x ̸= 0
Definición 4.2. Una función g ∈ F
1
es uniformemente robustamente transitivo si existe δ > 0 tal que
para todo h ∈ F
1
que está δ − C
1
próximo de g, es transitivo.
Sea g un SAC, entonces existen x
0
< y x
1
> 0 tal que g
−1
(0) = {x
0
, x
1
}. Se denota I = [x
0
, x
1
],
por la observación 4.1 para cada x ∈ I \ {0} existe n ≥ 1 tal que g
n
(x) ∈ I. Este hecho hace posible
definir la aplicación de primer retorno g
I
: I \ {0} −→ I de la forma:
g
I
(x) = g
n(x)
(x) donde n(x) = min{n ≥ 1 : g
n
(x) ∈ I}.
El siguiente resultado se encuentra en S. Muñoz (2015), muestra que el estudio del comportamiento
dinámico para una función SAC se puede hacer por medio de la aplicación de primer retorno. Además,
da una condición para obtener el fenómeno de robustamente transitivo.
Teorema 4.3. Sea g : R \ {0} → R un SAC de clase C
1
. Si
1. existe σ > 1 y k > 0 tal que g
′
I
(x) ≥ kσ
n(x)
y g
′
I
(x) > 1 para todo x ∈ I \ {0};
2. existe λ > 0 tal que g
′
(x) > λ para todo x ̸= 0;
3. existe L > 0 tal que M = sup{g
′
(x) : |x| > L} < 1;
4. σ
m
M
> 1 donde m = inf{g
′
(x) : x ̸= 0}.
entonces, g es uniformemente robustamente transitivo.
Teorema 4.4. Si
1
2
< a < 1, b > 0 y c = 0 entonces, f es uniformemente robustamente transitivo y
f|
R
f
es topológicamente conjugado a σ
′
: Σ
′
→ Σ
′
.
Prueba. La idea de la prueba es verificar las hipótesis del Teorema 4.3. Para ello comenzamos hallan-
do los puntos donde f(x) = 0 , esto son x
0
= −
b
a
y x
1
=
b
a
Afirmación: Sea I =
b
a
,
b
a
\ 0; f |
I
la aplicación de primer retorno satisface la condición 1 del
Teorema 4.3.
Prueba: Sea x ∈
−
b
a
, 0
, como
1
2
< a < 1 se tiene que para todo x ∈
−
b
a
, 0
f
′
(x) = a +
b
x
2
≥ 2a = 2a
2
1
a
> 1 (4.2)
Ahora, si x ∈
−
b
a
, f
−1
−
(x
1
)
⇒ f(x) ∈
0,
b
a
. Sea x ∈ [f
−1
−
(x
1
), 0) tal que existe n(x) ≥ 2 tal
que f
n(x)
∈
0,
b
a
. Note que, f(x) = ax −
b
x
< −
b
x
⇒ f
2
(x) < f
−
b
x
= −
ab
x
+ x < −
ab
x
, luego
f
3
(x) < f
−
ab
x
= −
a
2
b
x
+
x
a
< −
ab
2
x
, en general f
n(x)−1
(x) < −
a
n(x)−2
·
˙
b
x
. Por otro lado f
n(x)−1
(x) >
b
a
2
, esto junto a la desigualdad anterior,
b
a
< −
a
n(x)−2
·b
x
esto implica que,
b
a
<
a
2n(x)−4
·b
2
x
2
luego
1
a
2n(x)−3
<
b
x
2
. Ahora,
306 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Nelly Mendoza, Luis Ruiz
f
′
I
(x) = f
′
(x) · f
′
(f(x)) . . . f
′
f
n(x)−1
(x)
>
a +
b
x
2
· a
n(x)−1
>
a +
1
a
2n
(x) − 3
a
n(x)−1
= a
n(x)
+
a
n(x)−1
a
2n(x)
· a
−3
= a
n(x)
+
1
a
n(x)
· a
−2
= a
n(x)
+
a
2
a
n
(x)
> a
2
·
1
a
n(x)
(4.3)
Tomando k = a
2
, σ =
1
a
además, de (3) y (4) se sigue la demostración de la afirmación.
Como f
′
(x) = a +
b
x
2
> a para todo x ̸= 0, se verifica la hipótesis 2 del Teorema 4.3. Por otro lado,
como
b
x
2
→ 0 cuando x → +∞ o x → −∞, existe L > 0 tal que
b
x
2
< 1 − a para todo |x| ≥ L.
Luego,
M = {f
′
(x) : |x| > L} = {a +
b
x
2
: |x||x| > L} = a +
b
L
2
< 1
lo que verifica el item 3 del Teorema 4.3. El item 4 se sigue inmediatamente pues
m = inf{g
′
(x) : x ̸= 0} = {a +
b
x
2
: x ̸= 0} = a
y σ
m
M
=
1
M
> 1.
Corolario 4.1. Si
1
2
< a < 1 y b > 0 entonces, existe c
0
= c
0
(a, b) > 0 tal que f
abc
es transitiva
para todo c ∈ (−c
0
, c
0
).
Prueba. la prueba es inmediata ya que f
abc
converge unifomente a f
ab0
cuando c → 0.
La teoría para funciones que son un sistema alternante creciente en el caso a > 1 ya no funciona
ya que por el lema 1 f posee dos puntos fijos, justamente una condición para que f sea un sistema
alternante es que no tenga puntos fijos.
Definición 4.3. Sea g : R\{ 0} → R una función continua. Un conjunto Λ en R
g
es transitivo respecto
a g si g (Λ) está contenido en Λ y g|
Λ
es transitivo.
Definición 4.4. Sea Λ un conjunto de cantor invariante para una función g : R \ {0} → R de clase
C
1
, g es uniformemente robustamente transitivo si existe δ > 0 tal que para todo h que está δ − C
1
próximo de g, existe Λ
h
⊂ R
h
un conjunto de cantor transitivo respecto a h.
Teorema 4.5. Si a > 1, b > 0 y c ∈ R entonces existe Λ ⊂ [p
1
, p
2
] un conjunto de cantor invariante
tal que
• f |
Λ
es topológicamente conjugado a el shift σ : Σ
2
−→ Σ
2
.
• f |
Λ
es robustamente transitivo.
Prueba. Por el lema 3.1 existen 2 puntos fijos hiperbólicos p
1
y p
2
con p
0
< 0 < p
1
. Se denota q
1
=
f
−1
+
(p
0
),
q
0
= f
−1
−
(p
1
), I
0
= [p
0
, q
0
] y I
1
= [q
1
, p
1
]. Como f
′
(x) = a+
b
x
2
y tomando λ
1
= min{f
′
(p
0
), f
′
(p
1
)} >
1 resulta que, f
′
(x) ≥ λ para todo x ∈ I
0
∪ I
1
. Además, f(I
0
) = [p
0
, p
1
] y f(I
1
) = [p
0
, p
1
]. Lo que
significa que I
0
, I
1
y f satisfacen las hipótesis del teorema 4.1 de J. Aaronson y Society (1997) por
tanto,
Λ =
+∞
n≥0
f
−n
[I
0
∪ I
1
],
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 300 -310) 307
es un conjunto de Cantor invariante y además, f|
Λ
es topológicamente conjugado al shift
σ : Σ
2
−→ Σ
2
.
Faltaría probar que f |
λ
es robustamente transitivo.
Nuevamente del hecho que f
′
(x) = a +
b
x
2
existe k > 1 tal que f
′
(x) ≥ k para todo x ∈ [p
0
, p
1
] \ {0}
por tanto, existe δ > 0 con δ < k − 1 tal que para todo g ∈ F
1
que está δ-C
1
próximo a f se tiene que:
• existe dos puntos fijos hiperbólicos para g denotados por p
−
, p
+
con p
−
< 0 < p
+
;
• existe δ > 1 tal que g
′
(x) ≥ 1 para todo x ∈ [p
−
, 0) ∪ (0, p
+
].
Sea
g
una función
δ
-
C
1
próximo a
f
. Se denota
x
0
= g
−1
−
(p
+
) < 0, x
1
= g
−1
+
(p
−
) > 0, I
0
=
[p
−
, x
0
] y I
1
= [x
1
, p
+
], g restricto a I
0
∪ I
1
, satisface la hipótesis del Teorema 4.1 de J. Aaronson
y Society (1997). En consecuencia
Λ
∗
=
n≥0
g
−n
(I
0
∪ I
1
)
es un conjunto de Cantor y g|
Λ
∗
es topológicamente conjugado al shift σ : Σ
2
−→ Σ
2
esto implica
que g|
Λ
∗
es transitivo lo que prueba que f |
Λ
es robustamente transitivo.
5. CONCLUSIÓN
• Del hecho que f|
R
f
sea topológicamente conjugado al shift σ
′
: Σ
′
2
−→ Σ
′
2
para los valores del
parámetro en los casos (a) a = 1, b > 0 y c = 0 y (b)
1
2
< a < 1, b > 0 y c ∈ (−c
0
, c
0
) para
algún c
0
> 0, se concluye que f es transitivo y Per (f ) es denso en R. Además, para ambos
casos f posee puntos periódicos de todos los periodos mayores e iguales a dos. La existencia
de puntos fijos elimina la opción de conseguir transitividad.
• En el caso a = 1, b > 0 y c ̸= 0 se prueba que f |
R
f
es topológicamente conjugado al shift
σ
∗
: Σ
∗
2
−→ Σ
∗
2
en este caso σ
∗
es transitivo y Per (σ
∗
) es denso en Σ
∗
2
. Por la conjugación
topológica se concluye que f |
R
f
es transitivo y Per (f ) es denso en R. Además f posee puntos
periódicos de todos los periodos.
• Para los parámetros a < 1, b > 0 y c
2
+ 4 (a − 1) b = 0 del lema 3.2 existe un único
punto fijo p tal que si c < 0 entonces, p < 0 y (−∞, p] ⊂ w
s
(p, f). Ahora, considere
Λ =
n≥0
f
−n
(p, +∞] ⊂ W
s
(p, f). Se concluye que:
Λ
+
∪ W
s
(p, f) = R
f
Pregunta 1: (a) ¿Cómo es la estructura topológica de Λ
+
?, (b) Existe alguna codificación en
término de algún subconjunto transitivo Σ (a, b, c) ⊂ Σ
2
respecto al shift σ.
Si c > 0 entonces p > 0 y [p, +∞) ⊂ W
s
(p, f). Considere Λ
−
=
n≥0
f
−n
((−∞, p]). Se
concluye que Λ
−
∪ W
s
(p, f) = R
f
.
Λ
−
es un conjunto invariante no acotado pues f
−n
(p) ∈ Λ
−
, ∀ n ≥ 0 y f
−n
−
(p) −→ −∞
cuando n −→ +∞.
• Para a > 1 y b > 0 por el teorema 4.5 existe Λ ⊂ R
f
un conjunto de Cantor positivamente
invariante, que gracias a la conjugación topológica con el shift σ, f |
Λ
es transitivo y Per (f ) es
denso en Λ.
308 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Nelly Mendoza, Luis Ruiz
• Siguiendo la definición de Caos según Devaney. Se concluye que para los parámetros conside-
rados en los items (1), (2) y (4) anteriores f exhibe un comportamiento caótico.
• Es importante destacar que el caso a = 1 y c ̸= 0 no fue considerado en este trabajo. En este
caso f tiene un único punto fijo p hiperbólico repulsor, donde la sucesión de iteradas f
n
(x) de
un punto x en (−∞, p) si c < 0 o (p, + ∞) si c > 0, converge a infinito. Lo que deja abierta la
siguiente interesante pregunta: Existe un conjunto invariante no numerable cuya dinámica sea
caótica en el complemento de (−∞, p) o (p, +∞)?
Agradecimiento 1. Los autores agradecen al Dr. Sergio Muñoz de la Universidade Federal do Rio
de Janeiro de Brasil, por las fructíferas discusiones para generar este trabajo.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERESES DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflictodeintereses.
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1093/ptep/ptv195
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Nelly Mendoza Metodología, revisión, búsqueda bibliográfica y diseño del artículo.
Luis Ruiz Concepción, análisis, revisión y redacción.
310 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
