Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337). Edición Contínua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4629
ESTIMADOS INTERIORES L
P
PARA FUNCIONES BI-CUATERNIÓNICAS
META-REGULARES
María Guadalupe Mendoza Zambrano
1∗
, José Ramón Játem Lásser
2
, Carmen Judith
Vanegas Espinoza
3
.
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador. Email: mmendoza8070@utm.edu.ec
2
Profesor colaborador del Postgrado en Matemática, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela.
Email: jrjatem@gmail.com
3
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador.
Email: carmen.vanegas@utm.edu.ec
*Autor para correspondencia: mmendoza8070@utm.edu.ec
Recibido: 01-06-2022 / Aceptado: 13-12-2022 / Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Oswaldo José Larreal Barreto .
RESUMEN
Los bi-cuaterniones son conocidos como el álgebra de los cuaterniones sobre el cuerpo de los números complejos. Ellos
son de gran interés de estudio por sus aplicaciones a diferentes áreas de la física como electromagnetismo y mécánica
cuántica o en ciencias de la computación en el procesamiento de imágenes por computadora,entre otras. Un estimado
interior es una estimación de las derivadas de primer orden de una función que está definida en un subdominio Ω
′
de
Ω, con distancia no nula a la frontera ∂Ω de Ω. El objetivo de esta investigación es determinar estimados interiores en
norma L
p
de funciones meta-regulares con valores en los bi-cuaterniones, mediante el uso de representaciones integrales
envolviendo soluciones fundamentales de la ecuación D
λ
u = (D − λ)u = 0, donde D =
P
3
j=1
i
j
∂
j
es el operador de
Moisil-Theodoresco o de Dirac y λ ∈ C, para aplicaciones en los problemas de ecuaciones diferenciales parciales. Este
estudio puede servir de modelo para investigar estimados interiores en estas estructuras algebraicas para otros operadores
diferenciales parciales inclusive de orden mayor.
Palabras clave: Bi-cuaterniones, Estimados Interiores, Funciones meta-regulares, Norma L
p
.
L
P
INTERIOR ESTIMATES FOR BI-QUATERNIONIC FUNCTIONS
META-REGULAR
ABSTRACT
Bi-quaternions, also known as Algebras over the field of Complex Numbers, are objects of great interests due to its many
applications in Physics, in particular in electromagnetism and Quantum Mechanic, also in computer’s science, in images
processing among other tasks. An interior estimate is an estimation of the first order derivatives of a function defined on
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 327
a subdomain Ω
′
of Ω, with non-zero distance to the border ∂Ω of Ω. The purpose of this research is to establish interior
estimates in the L
p
norm of meta-regular functions with values on the bi-quaternions, using integral representations invol-
ving fundamental solutions of the equation D
λ
u = (D − λ)u = 0, where D =
P
3
j=1
i
j
∂
j
is the Moisil-Theodoresco or
Dirac operator and λ ∈ C, for applications in several problems of differential partial equations. This work may be a model
to study interior estimates in this algebraic structures for other partial differential operators, even of greater order.
Keywords: Bi-quaternions, Interior estimates, Meta-regular functions, L
p
-Norm.
ESTIMATIVAS DE INTERIOR L
P
PARA FUNÇÕES
BI-QUATERNIÓNICAS META-REGULARES
RESUMO
Os bi-quatérnios são conhecidos como a álgebra dos quatérnios sobre o corpo dos números complexos. Eles são de grande
interesse de estudo por suas aplicações em diferentes áreas da física como eletromagnetismo e mecânica quântica ou
na ciência da computação no processamento de imagens computacionais,entre outras. Uma estimativa interior é uma
estimativa das derivadas de primeira ordem de uma função que é definida em um subdomínio Ω
′
de Ω, com distância
diferente de zero até o limite ∂Ω de Ω. O objetivo desta pesquisa é determinar estimativas interiores na norma L
p
de
funções metarregulares com valores nos bi-quatérnios, usando representações integrais envolvendo soluções fundamentais
da equação D
λ
u = (D − λ)u = 0, onde D =
P
3
j=1
i
j
∂
j
é o operador Moisil-Theodoresque ou Dirac e λ ∈ C,
para aplicações em diferentes problemas de equações diferenciais parciais. Este estudo pode servir como modelo para
investigar estimativas de interiores nestas estruturas algébricas. para outros operadores diferenciais parciais mesmo de
ordem superior.
Palavras chave: Bi-quatérnios, Estimativas de Interiores, Funções metarregulares, Norma L
p
.
Citación sugerida: Mendoza, G., Jatem, J., Vanegas, J. (2022). ESTIMADOS INTERIORES L
P
PARA
FUNCIONES BI-CUATERNIÓNICAS META-REGULARES. Revista Bases de la Ciencia, 7(No
Especial), Diciembre, 327-337. DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4629
328 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Guadalupe Mendoza, Jose Jatem, Judith Vanegas
1. INTRODUCCIÓN
Los estimados interiores juegan un papel muy importante en la teoría de existencia de soluciones
de ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales y no-lineales, ver (Agmon, Douglis y Niren-
berg, 1964) y (Tutschke, 1997) y en particular en la resolución de problemas de valores de frontera,
ver (Mazya y Rossmann, 2004). Ellos nos proveen las cotas para las derivadas hasta de segundo orden
de la solución en ciertos subconjuntos del dominio. En algunos casos en los estimados interiores la
norma depende del comportamiento del término fuente y de la continuidad de la solución mientras
que en otros la norma depende adicionalmente de la regularidad de los términos de frontera. Pode-
mos decir en general que un estimado interior es una estimación de las derivadas de una función que
está definida en un subdominio Ω
′
del dominio Ω de la función, que posee una distancia positiva a
la frontera ∂Ω, es decir, dist(Ω
′
; ∂Ω) > 0. Se pueden encontrar estimados interiores para funciones
que tienen representaciones integrales de frontera o de dominio y son posibles para diferentes normas,
(Tutschke e Yüksel, 1999), (Bolı
́
var et al., 2015), (Tutschke y Thanh Van, 2007). Los problemas de va-
lor inicial en el marco de los espacios asociados pueden resolverse utilizando estimaciones interiores
para las funciones iniciales que satisfacen ciertas ecuaciones diferenciales parciales como se estudian
en (Tutschke, 1989), (Heersink y Tutschke, 1995), (Tutschke, 2008), (Alayón y J. Vanegas, 2012),
(Yüksel y Celebi, 2010), (Bolívar y C. Vanegas, 2013), (Ariza, DiTeodoro y Vanegas, 2017).
En este trabajo se proporcionan estimados interiores para funciones bi-cuaternionicas meta-regulares
en la L
p
− norma. Los estimados interiores son obtenidos mediante representaciones integrales en-
volviendo soluciones fundamentales.
El desarrollo de este articulo presenta la siguiente estructura: en la sección 2 se establecen las definicio-
nes y teoremas necesarios para hallar la solución del problema planteado; en la sección 3 se presentan
algunas desigualdades en los bi-cuaterniones que sirven como base para calcular nuestro estimado
interior para funciones bi-cuaterniones meta-regulares, en la sección 4 se encuentran los estimados
interiores buscados y finalmente en la sección 5 se encuentran las conclusiones de este trabajo.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
2.1. Bi-cuaterniones
En esta sección se propone la construcción del álgebra de los cuaterniones, pero sobre el cuerpo de
los complejos C y no sobre el cuerpo de los números reales R.
Se considera el C-espacio vectorial C
4
, consistente de todas la 4-tuplas complejas o vectores de 4
coordenadas complejas, una de cuyas bases es:
B =
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 329
Se renombran los vectores de B como:
1
′
=
1
0
0
0
, I
′
=
0
1
0
0
, J =
0
0
1
0
y K =
0
0
0
1
.
Se define un producto entre los elementos de la base B,
∀X ∈ B, 1
′
X = X1
′
= X,
I
′
J = K = −(JI
′
) ,
JK = I
′
= −(KJ) ,
KI
′
= J = −(I
′
K) y
∀X ∈ B\{1
′
}, X
2
= −1
′
.
Extendiendo este producto a todo C
4
, cuidando la linealidad y la distributividad, C
4
resulta que no
sólo es un K-espacio vectorial, sino también una C -álgebra que denotamos con H
C
, los elementos de
esta álgebra son los llamados bi-cuaterniones ver (Tian, 2013).
Esta álgebra, al igual que en el caso real, no es conmutativa, porque I
′
J = K ̸= −K = JI
′
, pero
a diferencia del caso real no es un anillo de división en el que todo elemento no nulo tiene inverso,
pues:
(1
′
+ iI
′
) (1
′
− iI
′
) = 1
′
− iI
′
+ iI
′
−i
2
I
′
2
= 1
′
− iI
′
+ iI
′
− 1
′
= 0 .
Ya con esto debería bastar para saber que ninguno de los bi-cuaterniones (1
′
+iI
′
)∨(1
′
−iI
′
), es invertible,
pero en todo caso, la prueba por reducción al absurdo de que el cuaternión no nulo (1
′
− iI
′
) no es
invertible es como sigue, suponer que 1
′
− iI
′
es invertible en H
C
, implica la existencia de Λ ∈ H
C
,
es decir:
(1
′
− iI
′
) Λ = Λ(1
′
− iI
′
) = 1
′
,
pero multiplicando por la izquierda a ambos lados de la igualdad por (1
′
+ iI
′
), se tiene
(1
′
+ iI
′
)(1
′
− iI
′
)
| {z }
0
Λ= (1
′
+ iI
′
) 1
0 = 1 + iI
′
lo cual es una contradicción.
Dado el bi-cuaternion
u
=
P
3
j
=0
u
j
i
j
se define su norma por:
|u|
B
=
p
|u
0
|
2
+ |u
1
|
2
+ |u
2
|
2
+ |u
3
|
2
, (2.1)
donde |u
i
|
2
= u
i
u
∗
i
y u
∗
i
es la conjugación usual compleja.
Para un bi-cuaternión Λ = (a
0
+ a
1
I
′
+ a
2
J + a
3
K) se definen a continuación los siguientes conju-
gados:
* El cuaternión dual de Λ: Λ = a
0
− a
1
I
′
− a
2
J − a
3
K
* El conjugado complejo de Λ : Λ
∗
: a
0
+ a
1
I
′
+ a
2
J + a
3
K.
330 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Guadalupe Mendoza, Jose Jatem, Judith Vanegas
* El conjugado hermítico de Λ : Λ
#
=
Λ
∗
: a
0
− a
1
I
′
− a
2
J − a
3
K.
Definición 2.1. Sea u(x) =
P
3
j=0
u
j
(x)i
j
se define la norma L
p
de u(x) como el máximo de las
normas L
p
de sus 4 componentes, es decir:
∥u∥
L
p
(Ω)
:= max
j
∥u
j
∥
L
p
(Ω)
, p > 1. (2.2)
Definición 2.2. Consideramos el operador D
λ
= D − λ, donde D =
P
3
j=1
i
j
∂
j
es el operador de
Moisil-Theodoresco o de Dirac. Una función u continuamente diferenciable en Ω con valores en H
C
se
dice que es meta-regular a la izquierda, si satisface la ecuación (D −λ)u = 0, con λ ∈ C, Imλ ≥ 0.
Similarmente, u se dice que es meta-regular a la derecha si u(D − λ) = 0, con λ ∈ C, Imλ ≥ 0.
2.2. Estimados interiores
Considere un problema de valor inicial del tipo
∂
t
u = Fu, u(0, x) = u
0
(x)
el cual se puede reescribir en la forma integral
u(t, x) = u
0
(x) +
Z
t
0
Fu(τ, x)dτ, (2.3)
donde F es un operador de primer orden actuando con respecto a la variable x = (x
1
, . . . , x
n
).
Sea u = u(x) una función definida en el dominio acotado Ω ⊂ R
n
. Supondremos que, Ω
′
es un
subdominio de omega que tiene una distancia positiva desde Ω
′
hasta ∂Ω. Para resolver la ecuación
integro-diferencial (2.3) por el principio de contracción, se necesita una estimación interior del tipo
∂
x
j
u
Ω
′
≤
C
dist(Ω
′
; ∂Ω)
∥u∥
Ω
, (2.4)
donde ∥·∥
Ω
y ∥·∥
Ω
′
denotan normas adecuadas con respecto a Ω y Ω
′
respectivamente y C es una
constante independiente de la elección de u = u(x).
3. DESIGUALDADES EN LOS BI-CUATERNIONES
La definición de norma de un bi-cuaternión implica la desigualdad,
Z
u(x)dx
B
≤
√
2
Z
|u(x)|
B
dx. (3.1)
Este estimado es cierto para integrales de frontera e integrales sobre una región.
Note que para cualquier v ∈ H(C) puede representarse como:
v = Re v + i Im v,
donde Rev =
P
3
k=0
(Im v
k
)i
k
y Imv =
P
3
k=0
(Re v
k
)i
k
pertenece a los cuaterniones con entrada
reales, denotado como H
R
.
Lema 3.1. Sea u, v ∈ H
C
, entonces |u · v| ≤
√
2|u|
B
· |v|
B
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 331
Prueba. Denote a = Re u, b = Im u, c = Re v, d = Im v donde:
|u · v|
2
B
= |(a + ib)(c + id)|
2
B
= |ac − bd + i(bc + ad)|
2
B
= |ac − bd|
2
+ |bc + ad|
2
≤ 2(|ac|
2
+ |bd|
2
+ |bc|
2
+ |ad|
2
)
= 2(|a|
2
+ |b|
2
)(|c|
2
+ |d|
2
)
= 2|u|
2
B
· |v|
2
B
.
Para probar la desigualdad de H¨older dada en el próximo Lemma 3.3, se proporciona el siguiente lema,
ver (Dudley, 2002):
Lema 3.2. Si a ≥ 0, b ≥ 0 y λ ∈ [0, 1], entonces
a
λ
b
1−λ
≤ aλ + b(1 − λ ).
Lema 3.3 (Desigualdad de H¨older). Sean 1 < p, q < ∞ exponentes conjugados. Sean f y g funciones
medibles con valores en H
C
. Entonces
∥f ·g∥
L
1
(Ω)
=
√
2 ∥f ∥
L
p
(Ω)
∥g∥
L
q
(Ω)
. (3.2)
Prueba. Si ∥f∥
L
p
(Ω)
= 0 o ∥g∥
L
q
(Ω)
= 0 entonces f = 0 en casi todas partes o g = 0 en casi todas
partes, por lo tanto ∥f ·g∥
L
1
(Ω)
= 0. En el caso ∥f∥
L
p
(Ω)
= ∞ o ∥g∥
L
q
(Ω)
= ∞ el resultado se sigue
facilmente. Por otro lado, usando el Lema 3.1 y colocando a =
f(x)
∥f∥
L
p
(Ω)
p
, b =
g(x)
∥g∥
L
q
(Ω)
q
, λ =
1
p
y 1 − λ =
1
q
en el Lema 3.2, se tiene
f(x)
∥f∥
L
p
(Ω)
g(x)
∥g∥
L
q
(Ω)
≤
√
2
f(x)
∥f∥
L
p
(Ω)
g(x)
∥g∥
L
q
(Ω)
=
√
2
"
f(x)
∥f∥
L
p
(Ω)
p
#
1
p
"
g(x)
∥g∥
L
q
(Ω)
q
#
1
q
≤
√
2
"
1
p
f(x)
∥f∥
L
p
(Ω)
p
+
1
q
g(x)
∥g∥
L
q
(Ω)
q
#
.
Integrando ambos lados de esta desigualdad en el dominio Ω, se obtiene
∥f(x) · g(x)∥
L
1
(Ω)
∥f∥
L
p
(Ω)
∥g∥
L
q
(Ω)
≤
√
2
1
p
+
1
q
=
√
2,
lo que a su vez implica que: ||f ·g||
L
1
(Ω)
≤
√
2||f||
L
p
(Ω)
||g||
L
q
(Ω)
.
332 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Guadalupe Mendoza, Jose Jatem, Judith Vanegas
4. DESARROLLO
4.1. ESTIMADOS INTERIORES PARA FUNCIONES META-REGULARES EN H
C
4.1.1 Fórmula integral de Cauchy
Un estimado interior es una estimación para las derivadas de las soluciones en subdominios Ω
′
de Ω,
con distancia δ no nula a la frontera ∂Ω de Ω. En lo siguiente vamos a calcular estimados interio-
res para funciones bi-cuaternionicas meta-regulares usando representaciones integrales envolviendo
soluciones fundamentales.
Una solución fundamental para el operador D
λ
viene dada por, ver (Kravchenko, 2003):
k
λ
(x) = − (D + λ)
−e
iλ|x|
2ω
4
|x|
2
=
λ −
2x
|x|
2
+ iλ
x
|x|
e
iλ|x|
2ω
4
|x|
2
.
Para obtener el estimado interior usaremos la siguente fórmula integral de Cauchy.
Teorema 4.1. Sea u ∈ C
1
(Ω, H(C)) ∩C(
¯
Ω, H(C)) una función meta-regular a la derecha,
entonces
u(ξ) = −
Z
Γ
u(x) · dσ · k
λ
(x, ξ), ∀ξ ∈ Ω, (4.1)
donde dσ =
P
3
j=0
n
j
i
j
dµ
x
, n es la normal exterior unitaria sobre Γ y dµ
x
es el elemento de la medida
escalar de Γ, Dem.: ver (Kravchenko, 2003).
4.2. Derivada de la solución fundamental
Para obtener un estimado interior usando la representación (4.1), se necesita estimar la derivada de la
solución fundamental.
Se deriva con respecto a ξ
j
:
∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ) =∂
ξ
j
λ
|x − ξ|
2
− 2
x − ξ
|x − ξ|
4
+ i
λ(x − ξ)
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
=∂
ξ
j
λ
|x − ξ|
2
− 2
x − ξ
|x − ξ|
4
+ i
λ(x − ξ)
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
+
λ
|x − ξ|
2
− 2
x − ξ
|x − ξ|
4
+ i
λ(x − ξ)
|x − ξ|
3
∂
ξ
j
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 333
Desarrollando las derivadas en cada término se obtiene:
∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ) =
"
λ(−2)|x − ξ|
−3
·
(x
j
− ξ
j
)(−1)
|x − ξ|
−
2|x − ξ|
4
(−1) − 2(x − ξ)4|x −ξ|
3
·
(x
j
− ξ
j
)(−1)
|x − ξ|
|x − ξ|
8
+iλ
|x − ξ|
3
(−1) − (x − ξ)3|x −ξ|
2
·
(x
j
− ξ
j
)(−1)
|x − ξ|
|x − ξ|
6
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
+
λ
|x − ξ|
2
− 2
x − 3
|x − ξ|
4
+ i
λ(x − ξ)
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
·
iλ(x
j
− ξ
j
)(−1)
|x − ξ|
=
"
2λ(x
j
− ξ
j
)
|x − ξ|
4
+
2
|x − ξ|
4
−
8(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
|x − ξ|
6
−
iλ
|x − ξ|
3
+
3iλ(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
|x − ξ|
5
#
e
iλ|x−ξ|
2ω
4
− iλ
λ
|x − ξ|
3
−
2(x − ξ)
|x − ξ|
4
+
iλ(x − ξ)
|x − ξ|
3
(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
e
iλ|x−ξ|
.
Lo que a su vez implica
∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ) =
2λ(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
+
2
2ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
−
8(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
6
e
iλ|x−ξ|
−
iλ
2ω
4
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
+
3iλ(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
5
e
iλ|x−ξ|
−
iλ
2
(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
+
2iλ(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
5
e
iλ|x−ξ|
+
λ
2
(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
λ(x
j
− ξ
j
)
ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
= +
1
ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
−
4(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
6
e
iλ|x−ξ|
−
iλ
2ω
4
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
+
5iλ(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
5
e
iλ|x−ξ|
−
iλ
2
(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
3
e
iλ|x−ξ|
+
λ
2
(x − ξ)(x
j
− ξ
j
)
2ω
4
|x − ξ|
4
e
iλ|x−ξ|
.
Considerando Imλ ≥ 0, se tiene
|∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ)| ≤
|λ|
ω
4
k
e
1
|x − ξ|
3
+
k
e
ω
4
1
|x − ξ|
4
+
4k
e
ω
4
1
|x − ξ|
4
+
|λ|k
e
2ω
4
1
|x − ξ|
3
+
5|λ|k
e
2ω
4
1
|x − ξ|
3
+
|λ
2
|k
e
2ω
4
|x − ξ|
2
+
|λ|
2
k
e
2ω
4
|x − ξ|
2
=
4|λ|k
e
ω
4
1
|x − ξ|
3
+
5k
e
ω
4
1
|x − ξ|
4
+
|λ
2
|k
e
ω
4
|x − ξ|
2
≤
k
m
ω
4
1
|x − ξ|
2
,
donde k
m
= max{4|λ| + 5 + |λ
2
|}k
e
y k
e
= |e
iλ|x|
|
334 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Guadalupe Mendoza, Jose Jatem, Judith Vanegas
entoces,
|∂
ξ
j
k
λ
(x − ξ)| ≤
k
m
ω
4
1
|x − ξ|
2
(4.2)
4.3. El estimado interior buscado
Ahora vamos a considerar a Ω
′
un subdominio de Ω que tiene distancia positiva δ a la frontera Γ de
Ω, es decir, δ = dist(Ω
′
, Γ) > 0.
Teorema 4.2. Si u ∈ C
1
(Ω, H(C)) ∩C(
¯
Ω, H(C) es una función meta-regular a derecha, entonces el
siguiente estimado interior se obtiene
∂
ξ
j
u
Lp(Ω
′
)
≤
k
δ
∥u∥
Lp(Ω)
,
donde K es una constante que no depende de la función u y está dada por K = 4k
m
(diamΩ)
2
, donde
diamΩ denota el diámetro de Ω.
Prueba. De la fórmula integral de Cauchy dada por (4.1) obtenemos:
∂
ξ
j
u(ξ) =
Z
Γ
u(x) · dσ · ∂ξ
j
k
λ
(x, ξ), j = 0, ..., 3. (4.3)
Sea x un elemento arbitrario en Ω
′
. Eligiendo r < δ, la bola centrada en x y radio r esta contenida en
Ω. Reemplazando u(x) · dσ · ∂ξ
j
k
λ
(x, ξ) por u(x) · N · ∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ) en (4.3) y usando la norma (2.2)
se llega a:
|∂
ξ
j
u(ξ)| ≤
√
2
Z
|x−ξ|=r
|u(x) · N · ∂
ξ
j
k
λ
(x, ξ)|dµ
x
Introduciendo el cambio de coordenadas ξ
′
= ξ − x y tomando f (x) = f(ξ − ξ
′
) = u(ξ − ξ
′
) y
g(x) = N ∂
ξ
j
k
λ
(ξ − ξ
′
, ξ) en Lema 3.3, obtenemos
|∂
ξ
j
u(ξ)| ≤ 2 ·
√
2
Z
|ξ
′
|=r
|u(ξ − ξ
′
)|
p
dµ
ξ
′
1
p
Z
|ξ
′
|=r
|∂
ξ
j
k
j
(ξ − ξ
′
, ξ)|
q
dµ
ξ
′
1
q
(4.4)
Usando la estimación (4.2) y la desigualdad anterior se llega a:
|∂
ξ
j
u(ξ)|
p
≤(2
√
2)
p
Z
|ξ
′
|=r
|u(ξ − ξ
′
)|
p
dµ
ξ
′
k
m
p
ω
p
4
1
r
2q
ω
4
r
3
p
q
=(2
√
2)
p
Z
|ξ
′
|=r
|u(ξ − ξ
′
)|
p
dµ
ξ
′
k
m
p
ω
4
(r
3−2q
)
p
q
Integrando sobre Ω
′
y cambiando el orden de integración en el lado derecho, se tiene:
∂
ξ
j
u
p
Lp(Ω
′
)
≤ (2
√
2)
p
k
m
p
ω
4
(r
3−2q
)
p
q
· ω
4
r
3
∥u∥
p
Lp(Ω)
Como 1 +
p
q
= p y 3 + (3 − 2q)
p
q
= 3(1 +
p
q
) − 2p = 3p − 2p = p se tiene que:
∂
ξ
j
u
Lp(Ω
′
)
≤ 2
√
2k
m
r ∥u∥
Lp(Ω)
≤
2
√
2k
m
(diamΩ)
2
r
∥u∥
Lp(Ω)
,
porque r
2
≤ (diamΩ)
2
Haciendo tender r a δ se obtiene
∂
ξ
j
u
Lp(Ω
′
)
≤
2
√
2k
m
(diamΩ)
2
δ
∥u∥
Lp(Ω)
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 335
4.4. ESTIMADOS INTERIORES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Los estimados interiores en diferentes normas pueden utilizarse para resolver problemas de valores
iniciales en espacios asociados, ver (Tutschke, 2008), (Alayón y J. Vanegas, 2012), (Yüksel y Ce-
lebi, 2010), (Bolívar y C. Vanegas, 2013), (Ariza, DiTeodoro y Vanegas, 2017). (C. Vanegas y Var-
gas, 2018), (Rossodivita y Vanegas, 2017).
Un par (L, G) de operadores diferenciales se dice que son asociados si L transforma las soluciones de
Gu = 0 en soluciones de esa ecuación. La existencia de un operador diferencial asociado que satisface
un estimado interior implica la posibilidad de elegir soluciones arbitrarias de la ecuación diferencial
asociada, como funciones iniciales. En consecuencia, los problemas de valor inicial del tipo
∂u
∂t
= L(t, x, u, ∂
x
j
u)
u(0, x) = φ(x)
(4.5)
donde φ(x) satisface la ecuación diferencial parcial G(u) = 0, pueden resolverse mediante este en-
foque siempre que la función inicial φ(x) pertenezca al espacio asociado de L que contiene todas las
soluciones de G(u) = 0 y los elementos del espacio asociado satisfagan un estimado interior. Para ver
esto claramente, observamos que las soluciones del problema de valor inicial (4.5) son puntos fijos
del operador
U(t, x) = φ(x) +
Z
t
0
F(τ, x, u, ∂
x
j
u)dτ, (4.6)
y recíprocamente, para aplicar un teorema de punto fijo como el principio de contracción de Banach, el
operador (4.6) tiene que ser estimado en un espacio de funciones adecuado cuyos elementos dependen
de t y x. Como el integrando en (4.6) también depende de las derivadas ∂
x
j
u, esta estimación puede
hacerse con la ayuda de los estimados interiores para los elementos del espacio asociado.
5. CONCLUSIÓN
En este trabajo hemos dado estimaciones interiores para funciones valoradas en el álgebra de los bi-
cuaterniones en la norma L
p
. Los estimados se han encontrado utilizando representaciones integrales
envolviendo soluciones fundamentales. También hemos dado la expresión explícita para la constante
que aparece en los estimados interiores. Las funciones con las que hemos trabajado son meta-regulares,
pero también es posible encontrar estimados interiores para soluciones de cualquier ecuación diferen-
cial parcial elíptica para la que exista una solución fundamental. Finalmente, nuestros resultados sobre
estimados interiores en la norma L
p
para funciones meta-regulares con valores en H
C
, abarcan el caso
de estimados interiores en la norma L
p
para funciones regulares con valores en H
C
.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERESES DE LOS AUTORES
Los autores expresan no tener conflicto de intereses
7. REFERENCIAS
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336 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
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Tutschke, W. (1989). Solution of initial value problems in classes of generalized analytic functions.
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Tutschke, W. (1997). Interior estimates in the theory of partial differential equations and their appli-
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Tutschke, W., y Thanh Van, N. (2007). Interior estimates in the sup-norm for generalized monogenic
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Vanegas, C., y Vargas, F. (2018). Associated Operators to the Space of Meta-q- Monogenic Functions.
En Clifford Analysis and Related Topics. CART 2014. Springer Proceedings in Mathematics
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space of generalized monogenic Functions. Adv. appl. Clifford alg, 20(2), 427-444.
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Guadalupe Mendoza Búsqueda bibliográfica, diseño del artículo y redacción.
José Játem Concepción, revisión, análisis y criterio.
Judith Vanegas Metodología, Revisión y búsqueda bibliográfica.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 327 -337) 337
