Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238). Edición Contínua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4791.
SOBRE LOS POLINOMIOS DE HERMITE Y SU CONVERGENCIA EN
SERIE
Wagner Alfredo Moreira Mera
1∗
, Adrián Ramón Infante Línares
2
.
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador. Email: wagnera.moreira@educacion.gob.ec
2
Department of Mathematics, Universidad Simón Bolívar, A.P. 89000 Caracas, Venezuela Email: ainfante@usb.ve
*Autor para correspondencia: wagnera.moreira@educacion.gob.ec
Recibido: 28-06-2022 / Aceptado:13-12-2022 / Publicación:27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas .
RESUMEN
En este trabajo hacemos un estudio de los resultados sobre las propiedades de los polinomios de Hermite. Estos polinomios
forman una familia de polinomios ortogonales respecto a la medida gaussiana y es un sistema cerrado. Presentamos las
propiedades básicas hasta introducir la convergencia de series Fourier-Hermite. También presentamos una definición para
polinomios de Hermite con cierto parámetro, como una extención de estos polinomios en la forma clásica, motivando a
estudiar a los polinomios de Hermite complejo y sus propiedades.
Palabras clave: Polinomios de Hermite, Hermite complejo, convergencia en serie.
ON THE HERMITE POLYNOMIALS AND THEIR SERIES
CONVERGENCE
ABSTRACT
In this paper we make a study of the results on the properties of the Hermite polynomials. These polynomials form a family
of orthogonal polynomials with respect to the Gaussian measure and it is a closed system. We present the basic properties
until we introduce the convergence of Fourier-Hermite series. We also present a definition for Hermite polynomials with a
certain parameter, as an extension of these polynomials in the classical form, motivating to study complex Hermite poly-
nomials and their properties.
Keywords: Hermite Polynomials, Complex Hermite Polynomial, convergence in series.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 227
SOBRE OS POLINÔMICOS DE HERMITE E SUA CONVERGÊNCIA DE SÉRIE
RESUMO
Este trabalho fazemos um estudo dos resultados sobre as propriedades dos polinômios de Hermite. Esses polinômios
formam uma família de polinômios ortogonais em relação à medida gaussiana e é um sistema fechado. Apresentamos as
propriedades básicas até introduzirmos a convergência da série de Fourier-Hermite. Apresentamos também uma definição
para polinômios de Hermite com um determinado parâmetro, como uma extensão desses polinômios na forma clássica,
motivando o estudo de polinômios complexos de Hermite e suas propriedades.
Palavras chave: Polinômios de Hermite, Complexo de Hermite polinômial, convergência em série.
Citación sugerida: Moreira, W. Infante, A. (2022). SOBRE LOS POLINOMIOS DE HERMITE Y
SU CONVERGENCIA EN SERIE. Revista Bases de la Ciencia, 7(Especial), 227-238. DOI: https:
//doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4791.
228 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Wagner Moreira, Adrián Infante
1. INTRODUCCIÓN
Este artículo está dedicado a los polinomios ortogonales de Hermite. La ortogonalidad se entiende en
el marco de espacios de Hilbert de funciones reales integrables al cuadrado respecto a la medida gaus-
siana dµ(x) = e
−x
2
dx sobre R. Un primer enfoque, muy sencillo, lo obtenemos partiendo del hecho
que la medida gaussiana sobre R es tal que las funciones x
n
son integrables, entonces el proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt nos proporcionará una familia de polinomios ortogonales, que nos
permite definir los polinomios ortogonales de Hermite.
Comenzaremos este trabajo con el material preliminar para tratar la ortogonalidad de los polinomios
de Hermite. Estudiamos los resultados básicos sobre los polinomios de Hermite. Observemos que mu-
chas propiedades de los polinomios de Hermite son solo una consecuencia desde un punto de vista
funcional abstracto. Por ejemplo, el hecho de que satisfagan una fórmula de recurrencia lineal de tres
términos (como la sucesión de Fibonacci) se puede obtener simplemente de la relación de ortogonali-
dad. Además, lo contrario obtenido por Favard es cierto: en condiciones muy generales, una sucesión
de polinomios que satisfacen tal tipo de fórmula de recurrencia son ortogonales con respecto a alguna
medida de Borel.
Se pueden obtener propiedades más generales en un marco muy general. Para los polinomios de Her-
mite, la medida que los hace ortogonales viene dada por una función de peso positiva continua e
−x
2
en el intervalo (−∞, ∞). Este hecho tiene consecuencias sobre la distribución de los ceros de los
polinomios de Hermite (Kuijlaars y Milson, 2015) y puede ser usado para propósitos especiales en
interpolación.
Otra consecuencia es que los polinomios de Hermite satisfacen una ecuación diferencial tipo Sturm-
Liouville. En general, a las soluciones de un problema homogéneo de Sturm-Liouville se les puede
dar la estructura de espacios de Hilbert con una base ortogonal natural formada por funciones pro-
pias (no necesariamente polinomios). Eso es algo que se hace con herramientas de Análisis Funcio-
nal, sólo vamos a presentar la ecuación diferencial en casos particulares. Otra técnica que se puede
aplicar a la familia de polinomios ortogonales de Hermite es obtener su función generadora, es de-
cir, una función de dos variables G(x; t) =
P
∞
n=0
a
n
H
n
(x)t
n
de una forma muy sencilla. Se pue-
de establecer la equivalencia entre la ortogonalidad, la recurrencia y las relaciones diferenciales pa-
ra una familia de polinomios. La función generadora puede ayudarnos a vincular las varias formas
alternativas de introducir una familia de polinomios ortogonales. También existe una expresión, la
llamada fórmula de Rodrigues, que nos permite obtener los polinomios de Hermite por derivación.
H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d
n
dx
n
(e
−x
2
), n = 0, 1, 2, . . ..
Los polinomios de Hermite forman un sistema ortogonal cerrado de L
2
(R, e
−x
2
dx) , ver (Szego, 1939)
y por lo tanto, el siguiente paso es definir los desarrollos en series de Fourier Hermite y estudiar su
convergencia en norma.
Finalmente, presentamos la familia de polinomios de Hermite complejo y algunas propiedades. Estas
extenciones aparecen de manera natural si cambiamos el diferencial clásico por los operadores dife-
renciales de Cauchy y tiene sentido, en este caso, obtener las fórmulas que cumplen todas las familias
de polinomios ortogonales, tales como la fórmula de Rodrigues o la función generatriz.
1.1. Definición de los polinomios de Hermite
Se considera la base de los polinomios 1, x, x
2
, . . . donde se tuvo la ortogonalización gracias al método
de Gramm Schmidt respecto a la medida gaussiana dµx = e
−x
2
dx sobre el intervalo (−∞, +∞), para
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 229
funciones en el espacio
L
2
(R, e
−x
2
dx) = f : R → R :
Z
∞
−∞
f
2
(x)e
−x
2
dx < ∞
con el producto interno definido para f, g ∈ L
2
(R, e
−x
2
dx) por
⟨f, g⟩ =
Z
∞
−∞
f(x) g(x) e
−x
2
dx.
se obtuvo la siguiente familia de polinomios ortogonales
h
0
(x) = 1
h
1
(x) = x −
1
h
1
Z
+∞
−∞
1t e
−t
2
dt = x
h
2
(x) = x
2
−
1
h
1
2
Z
∞
−∞
1x
2
e
−2
dx −
x
h
2
Z
∞
−∞
x
2
xe
−x
2
dx = x
2
−
1
2
h
n
(x) = x
n
−
n−1
X
k=0
h
k
(x)
⟨h
k
, h
k
⟩
⟨t
n
, h
k
(t)⟩
Donde se define los polinomios de Hermite como la familia de polinomios ortogonales
H
n
(x) = 2
n
h
n
(x).
Sus seis primeros polinomios de Hermite son:
H
0
(x) = 1
H
1
(x) = 2x
H
2
(x) = 4x
2
− 2
H
3
(x) = 8x
3
− 12x
H
4
(x) = 16x
4
− 48x
2
+ 12
H
5
(x) = 32x
5
− 160x
3
+ 120x
H
6
(x) = 64x
6
− 480x
4
+ 720x
2
− 120
La fórmula de Rodrigues, permite definir a los polinomios ortogonales con una fórmula explícita y
sencilla
Se define a los polinomios de Hermite, con la fórmula de Rodrigues, por
H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d
n
dx
n
(e
−x
2
), n = 0, 1, 2, . . . (1.1)
1.2. Ortogonalidad de los polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite son un sistema ortogonal en L
2
(R, e
−x
2
dx), con un cálculo directo, se
probó que
Z
∞
−∞
e
−x
2
H
n
(x)H
m
(x)d(x) =
√
π2
n
!δ
nm
n, m = 0, 1, . . .
230 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Wagner Moreira, Adrián Infante
1.3. Función Generatriz de los polinomios de Hermite
Los polinomios ortogonales son caracterizados por la función generatriz, esta propiedad puede ser
usada para definir a una familia de polinomios ortogonales. En el caso de los polinomios de Hermite,
utilizando la fórmula de Rodrigues, se pudo obtener la función generatriz a partir de la función
G(x, t) = e
t
2
e
−(t−x)
2
= e
2tx−x
2
(1.2)
Para obtener la expresión de la función generatriz para polinomios de Hermite, se encontró el desarro-
llo en serie de Taylor de cada lado de la igualdad (1.2), igualando término a término se pudo definir
la fórmula deseada gracias a la fómula de Rodrigues, es decir
G(x, t) =
∞
X
n=0
A
n
n!
x
n
y e
t
2
e
−(t−x)
2
=
∞
X
n=0
(−1)
n
∂
n
G
∂(t−x)
n
x=0
n!
x
n
donde
A
n
=
∂
n
G
∂x
n
x=0
= (−1)
n
∂
n
G
∂(t − x)
n
x=0
= e
t
2
(−1)
n
∂
n
e
−(t−x)
2
∂(t − x)
n
x=0
= (−1)
n
e
t
2
d
n
dt
n
e
−t
2
= H
n
(t)
Así que la función generatriz de los polinomios de Hermite es
G(t, x) = e
2tx−x
2
=
∞
X
n=0
H
n
(t)
n!
x
n
(1.3)
1.4. Fórmula de recurrencia de los polinomios de Hermite
Las fórmulas de recurrencias son una herramienta útil al momento de trabajar con polinomios ortogo-
nales. A partir de la función generatriz (1.3), se derivó con respecto a t, se obtuvo una fórmula para la
derivada de los polinomios de Hermite:
2xe
2tx−x
2
=
∞
X
n=0
H
′
n
(t)
n!
x
n
Al término de la derecha se remplazó por la serie de potencias y al de la izquierda se lo reordenó de
modo que sea potencias de n + 1 y poder igualar término a término, se tuvo que
2
∞
X
n=0
H
n
(t)
n!
x
n+1
= H
′
0
(t) +
∞
X
n=0
H
′
n+1
(t)
(n + 1)!
x
n+1
y por lo tanto
H
′
0
(t) = 0 y 2H
n
(t) =
H
′
n+1
(t)
(n + 1)
(1.4)
Luego a la función generatriz (1.3), se la derivó con respecto de x, obteniendo la fórmula de recurrencia
a tres términos.
(2t − 2x)e
2tx−x
2
=
∞
X
n=0
H
n
(t)
n!
nx
n−1
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 231
Se escribió el lado izquierdo reemplazando por (1.3), donde se pudo definir a las series para que sean
potencias de x
n
y poder igualar término a término, obteniendo
2t
∞
X
n=0
H
n
(t)
n!
x
n
− 2n
∞
X
n=0
H
n−1
(t)
n!
x
n
=
∞
X
n=0
H
n+1
(t)
n!
nx
n
Comparando los coeficientes, se obtuvo que
H
n+1
(t) − 2tH
n
(t) + 2nH
n−1
(t) = 0, para n = 0, 1, 2, . . . (1.5)
Se combinó (1.4) y (1.5), donde se obtuvo
H
n+1
(t) = 2tH
n
(t) − H
′
n
(t)
1.5. Ecuación de Hermite
Las fórmulas de recurrencias proporcionan las ecuaciones de Hermite de orden n, es decir, los poli-
nomios de Hermite son soluciones de las ecuaciones de Hermite:
y
′′
− 2xy
′
+ 2ny = 0, y = H
n
(x)
z
′′
= (2n + 1 − x
2
)z = 0, z = e
−x
2
/2
H
n
(x)
(1.6)
Equivalentemente, se puede decir que H
n
es una auto función del operador oscilador armónico
1
2
d
2
dx
2
− x
d
dx
,
asociada al auto valor −n
2. SERIES DE POTENCIAS FOURIER-HERMITE
Los polinomios de Hermite normalizados respecto a la medida dµ( x) dx = e
−x
2
dx, los denotamos por
h
n
(x) =
1
(2
n
n!)
1/2
H
n
(x).
Es claro que los polinomios de Hermite normalizados satisfacen propiedades similares a los polino-
mios de Hermite.
Dada una función f ∈ L
1
(R, e
−x
2
), se define su coeficiente de Hermite-Fourier por
b
f
H
(k) =
Z
∞
−∞
f(y)h
k
(y)e
−y
2
dy = ⟨f, h
k
⟩
Su desarrollo en polinomios de Hermite es
Sf(x) =
∞
X
k=0
b
f
H
(k)h
k
(x)
y la suma parcial n−ésima se define por
S
n
f(x) =
n
X
k=0
b
f
H
(k)h
k
(x)
232 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Wagner Moreira, Adrián Infante
Con un proceso estándar, usando la fórmula de Christofell-Darboux, se obtuvo una representación
integral para las sumas parciales
S
n
f(x) =
Z
∞
−∞
D
n
(x, y)f (y) e
−y
2
dy
donde D
n
es el núcleo de Dirichlet-Szegö, dado por la fórmula
D
n
(x, y) = sum
n
k=0
h
k
(x)h
k
(y) =
n + 1
2
1/2
h
n+1
(x)h
n
(y) −h
n
(x)h
n
(y)
x − y
Los polinomios de Hermite son densos en L
p
(e
−x
2
dx) para 1 ≤ p < ∞. Pollard (1948) demostró que
Teorema 2.1. Si f ∈ L
1
(e
−x
2
dx), entonces S
n
f converge en L
p
(e
−x
2
dx), es decir,
Z
∞
−∞
S
n
f(x) − f(x)
p
e
−x
2
dx → 0,
si y sólo si p = 2.
Cuando p = 2 es el caso conocido por la Teoría de Espacios de Hilbert.
Por el principio de acotación uniforme se pudo ver que la condición de convergencia en L
p
(µ),
dµ(x) = e
−x
2
dx de las sumas parciales es equivalente a la acotación en L
p
(e
−x
2
dx):
S
n
f
p,µ
≤ C
p
f
p,µ
.
Luego Askey y Wainger (1965) pudo sacar su conclusión que si
(S
n
f)e
−x
2
/2
p
≤ C
p
f e
−x
2
/2
p
,
se cumple sólo si 4/3 < p < 4.
Este resultado propuso el estudio de desarrollos en funciones de Hermite, definido como
H
n
(x) = h
n
(x)e
−x
2
/2
Muckenhoupt (1970).
3. POLINOMIOS DE HERMITE COMPLEJO
Una extensión de los polinomio de Hermite real H
m
(x) son los polinomios de Hermite complejo
H
p,q
(z, z).(Ali, Bagarello y Honnouvo, 2010) para z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R, definidos por
H
p,q
(z, z) = (−1)
p+q
e
z
2
∂
p
z
∂
q
z
e
−z
2
,
donde ∂
z
y ∂
z
se definió por
∂
z
=
∂
∂z
=
1
2
∂
∂x
− i
∂
∂y
,
∂
z
=
∂
∂z
=
1
2
∂
∂x
+ i
∂
∂y
, i
2
= −1.
Para p < 0 o q < 0 definimos H
p,q
(z, z) = 0.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 233
Los polinomios de Hermite complejo se pueden expresar en términos de los polinomios de Hermite
real H
n
(x) como
H
p,q
(z,
z) = p!q!
i
2
p+q
p
X
j=0
q
X
k=0
(
−
1)
p+j
i
j+k
H
j+k
(x)
j!k!
H
p+q−j−k
(y)
(p − j)!(q − k)!
Ellos constituyen una base ortogonal del espacio de Hilbert L
2
C, e
−z
2
dxdy
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
H
p,q
(z, z)H
m,n
(z, z)e
−z
2
dxdy = πδ
pm
δ
qn
p!q!
4. FUNCIÓN GENERATRIZ PARA HERMITE COMPLEJO
Sean las siguientes funciones generatrices:
a)
∞
X
m=0
u
m
m!
H
m,n
(z, z) = (z − u)
n
e
uz
a’)
∞
X
n=0
v
n
n!
H
m,n
(z, z) = (z − v)
p
e
vz
b)
∞
X
m,n=0
u
m
m!
v
n
n!
H
m,n
(z, z) = e
uz+vz−uv
(4.1)
Se tienen que estas identidades son válidas para todo u, v, z complejos. Ghanmi (2013)
Se definió las funciones de Hermite complejas por
H
p,q
(z, z) = e
z
2
/2
H
p,q
(z, z)
4.1. Fórmula de recurrencia complejo
Para esta propiedad se tuvo en cuenta que ∂
z
y con su conmutación (−∂
z
+ ∂ ¯z)
p
, podemos tener
∂
z
H
p,q
(z, ¯z) = ∂
z
(−∂
z
+ ¯z)
q
(z)
p
aplicando conmutatividad quedó
(−∂
z
+ ¯z)
q
∂
z
(z)
p
= pH
p−1,q
(z, ¯z)
analogamente se tuvo
∂
z
H
p,q
(z, ¯z) = ∂
z
(−∂
z
+ ¯z)
p
(z)
−q
y
(−∂
z
+ ¯z)
p
∂
z
(z)
−q
= pH
p,q−1
(z, ¯z)
234 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
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Wagner Moreira, Adrián Infante
Se reescribió como:
(−∂
z
+ ¯z) ∂
¯z
Hq, p = qH
q,p
,
Estos H
p,q
son autofunciones de ecuaciones diferencial de segundo orden, del operador de tipo Lapla-
ciano, donde las relaciones estan definidas en Ghanmi (2013).
Donde se realizó algunas cuentas y la ecuación quedó.
H
p+1,q
(z, ¯z) =
z
−q
(−∂
¯z
+ z)
1+p
= (−∂
¯z
+ z) H
p,q
(z − ¯z) = −∂
¯z
H
p,q
+ zH
p,q
.
4.2. Polinomios de Hermite generalizados
Liu (2020) estudia los polinomios de Hermite definidos a partir de la fórmula de Rodrigues en la forma
clásica.
En la siguiente demostración, se empezó partiendo de los polinomios de Hermite en la forma real,
donde se definió la generalización de los polinomios de Hermite, y así llegar al desarrollo en serie
Fourier-Hermite en los complejos.
H
n
(x) = (−1)
n
e
−
x
2
2
d
n
dx
n
e
−
x
2
2
(4.2)
cuyas propiedades fueron ampliamente estudiadas y sus propiedades analizadas en Szego (1939). En
este trabajo se estudió las propiedades de una familia de polinomios de Hermite ortonormales con
respecto a la distribución normal con densidad
(2πα)
−1
e
−
x
2
2α
, α ̸= 0
Se pudo definir al polinomio de Hermite generalizado por
H
α
n
(x) = α
n/2
H
n
x
√
α
(4.3)
Como la función generatriz para los polinomios de Hermite clásicos es
∞
X
n=0
H
n
(x)
n
!
t
n
= exp
2xt − t
2
Esto permitió obtener la función generatriz de los polinomios H
α
n
,
∞
X
n=0
H
α
n
(x)
n!
t
n
=
∞
X
n=0
H
n
x
√
α
n!
√
αt
n
= exp
2xt − αt
2
(4.4)
De la función generatriz (4.4), se obtiene
∞
X
n=0
∞
X
m=0
u
n
n!
v
m
m!
H
α
n
y +
p
2
H
α
m
y −
p
2
= e
2
((
y+
p
2
)
u+
(
y−
p
2
))
−α
(
u
2
+v
2
)
= e
2y(u+v)+p(u−v)−α
(
u
2
+v
2
)
(4.5)
Para simplificar las cuentas se pudo definir la función de Hermite generalizada por
h
α
n
(x) = e
−x
2
/2α
H
α
n
(x) (4.6)
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 235
Donde h
α
n
está definido como los polinomios de Hermite generalizados.
Se consideró la función
ν(f, g)(p, q) =
1
2π
1
2
Z
+∞
−∞
e
iyq
f
y +
p
2
g
y −
p
2
dy
En particular
ν (h
α
m
, h
α
n
) (p, q) =
1
2π
1
2
Z
∞
−∞
e
iyq
e
−
(
y+
p
2
)
2
2α
−
(
y−
p
2
)
2
2α
H
α
m
y +
p
2
H
α
n
y −
p
2
dy
=
1
2π
1
2
e
p
4α
Z
∞
−∞
e
iyq−
y
2
2α
H
α
m
y +
p
2
H
α
n
y −
p
2
dy
(4.7)
Luego la combinación de (4.5) y (4.7), dio como resultado
∞
X
n=0
∞
X
m=0
u
n
n!
v
m
m!
ν (h
α
n
, h
α
m
) (p.q)
=
1
2π
1
2
e
−
p
2
4α
Z
+∞
−∞
e
−
y
2
α
+iyq
e
−α
(
u
2
+v
2
)
+2y(u+v)+p(u−v)
dy
=
1
2π
1
2
e
−
p
2
4α
e
−α
(
u
2
+v
2
)
+p(u−v)
Z
+∞
−∞
e
−
y
2
α
+iyq+2y(u+v)
dy
=
1
2π
1
2
e
−
p
2
4α
e
−α
(
u
2
+v
2
)
+p(u−v)
Z
+∞
−∞
e
−
y
2
α
+(2(u+v)+iq)y
dy
=
1
2π
1
2
e
−
p
2
4α
e
−α
(
u
2
+v
2
)
+p(u−v)
(απ)
1/2
e
α
(2(u+v)+iq)
2
4
=
α
2
1
2
e
−
p
2
+α
2
q
2
4α
e
p(u−v)+αq(u+v)i+2αuv
En resumen, se tuvo
∞
X
n=0
∞
X
m=0
u
n
n!
v
m
m!
ν (h
α
n
, h
α
m
) (p.q) =
α
2
1
2
e
−
p
2
+α
2
q
2
4α
e
p(u−v)+αq(u+v)i+2αuv
(4.8)
Se definió (4.8) en forma compleja
∞
X
n=0
∞
X
m=0
u
n
n!
v
m
m!
ν (h
α
n
, h
α
m
) (z. z) =
α
2
1
2
e
−
z
2
4α
+ u(p + iαq) − v(p −iαq)i + 2αuv (4.9)
Se usó la notación z = p + iαq, y se obtuvó
∞
X
n=0
∞
X
m=0
u
n
n!
v
m
m!
ν (h
α
n
, h
α
m
) (z. z) =
α
2
1
2
e
−
z
2
4α
e
2αuv+uz−vz
Aquí se pudieron deducir los resultados clásicos, como en los siguientes corolarios:
Si para todo t ∈ R, se tiene
Z
+∞
−∞
H
m
(y)H
n
(y)e
−y
2
−ity
dy = (−1)
n
√
π 2
m+n
2
H
m,n
−
it
√
2
,
it
√
2
236 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Wagner Moreira, Adrián Infante
El Corolario 4.2 se obtuvo cuando p = 0 y α = 1.
Si para todo t ∈ R, se tiene
Z
+∞
−∞
H
m
y +
t
2
H
n
y +
t
2
e
−y
2
−ity
dy = (−1)
n
√
π 2
m+n
2
H
m,n
t
√
2
,
t
√
2
El corolario 4.2 se tiene cuando q = 0 y α = 1.
Los polinomios de Hermite complejo H
m,n
forman una base ortogonal del espacio de Hilbert L
2
(C, dz)
El desarrollo en serie de Fourier-Hermite para una función f (z, z) fue definida sobre C, donde tuvo
la forma
f(z, z) ∼
∞
X
n,m=0
c
n,m
H
n,m
(z, z)
donde
c
n,m
=
1
πδ
mn
m!n!
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f(z, z)H
m,n
(z, z)e
−z
2
dxdy
para funciones medibles f(z, z) con
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f(z, z)e
−z
2
dxdy < ∞,
cuando se cumple que
lim
N→∞
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f(z, z) −
N
X
n,m=0
c
n,m
H
n,m
(z, z)e
−z
2
dxdy = 0.
5. CONCLUSIONES
En relación a los objetivos planteados en la presente investigación se tuvo que:
• En esta familia de los polinomios ortogonales clásicos de Hermite, con las características prin-
cipales en la fórmula de recurrencia a tres términos que permitió deducir a los polinomios de
Hermite como solucion de la ecuación diferencial de Hermite.
• Los polinomios de Hermite normalizados tienen propiedades similares a los polinomios de Her-
mite clásicos, que dada una función en un espacio define su coeficiente de Hermite-Fourier con
su desarrollo en suma parciales y gracias a la fórmula de Christofell-Darboux se puede obtener
una representación integral por principios de acotación.
• Las extensiones al plano complejo al cambiar el diferencial en la fórmula de Rodrigues por los
operadores de Cauchy, se obtuvo así propiedades como la fórmula de Rodrigues o la función
generatriz en dicho espacio.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERES DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 227 -238) 237
7. REFERENCIAS
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applications to Landau levels. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 43(10),
105202. https://doi.org/10.1088/1742-6596/237/1/012001
Askey, R., y Wainger, S. (1965). Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series.
American Journal of Mathematics, 87(3), 695-708. https://doi.org/10.2307/2373069
Ghanmi, A. (2013). Operational formulae for the complex Hermite polynomials
Hp, q
(
z, z
). Integral transforms and special functions, 24(11), 884-895. https : / / doi . org / 0 . 1080 /
10652469.2013.772172
Kuijlaars, A. B., y Milson, R. (2015). Zeros of exceptional Hermite polynomials. Journal of Approxi-
mation Theory, 200, 28-39. https://doi.org/10.1016/j.jat.2015.07.002
Liu, Z.-G. (2020). On the complex Hermite polynomials. Filomat, 34(2), 409-420.
Muckenhoupt, B. (1970). Mean convergence of Hermite and Laguerre series. I. Transactions of the
American Mathematical Society, 147(2), 419-431. https://doi.org/10.2307/1995204
Pollard, H. (1948). The Mean Convergence of Orthogonal Series. II. Transactions of the American
Mathematical Society, 63(2), 355-367. https://doi.org/10.2307/1990435
Szego, G. (1939). Orthogonal polynomials (Vol. 23). American Mathematical Soc.
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Wagner Moreira Metodologia, búsqueda de bibliografía, diseño del articulo y resultados numéricos.
Adrián Infante Redacción, revisión y analisis de los polinomios de Hermite en los complejos .
238 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
