TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
338
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 338 -353). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4924
ESTIMACIONES DEL OPERADOR MAXIMAL ASOCIADO A MEDIDAS NO
DOBLANTES
Yoconda Magdalena Chávez Macías
1
, Adrián Ramón Infante Linares
2
1
Instituto de Posgrado. Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Ecuador. Correo electrónico:
yoquitochavez@gmail.com
2
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Ecuador. Correo electrónico:
ainfante@usb.ve
*Autor para la correspondencia: yoquitochavez@gmail.com
Recibido: 29-07-2022 / Aceptado: 13-12-2022 / Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas Espinoza
RESUMEN
Este artículo estudia la propiedad de acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood no centrado
, asociado a
diferentes tipos de medidas . Una medidas es doblante si existen constantes tales que
, con es la bola de de centro y radio , el operador maximal asociado a una
medida doblante es acotado de tipo (1,1). Cuando la medida no es doblante el operador maximal no es necesariamente
acotado, por ejemplo el operador maximal asociado a la medida gaussiana,
, no es acotado. Damos una
extensión del resultado de la acotación del operador maximal definidos sobre todos los cubos de
y asociado a una
clase de medidas absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, demostrando que el resultado de
acotación también se cumple en dimensión mayor y demostramos una desigualdad en cuasi-norma para este caso.
Palabras clave: Estimaciones, operador maximal, medida radial y monótona.
ON ESTIMATES OF THE MAXIMAL OPERATOR ASSOCIATED TO NONDOUBLING
MEASURE
ABSTRACT
This paper we study the boundedness property of the noncentered Hardy-Littlewood maximal operator
, associated
with different types of measures A measure is doubling if there exist constants such that
, with is the ball of center and radius , the maximal operator associated to a
doubling measure is bounded of type (1,1). When the measure is not doubling the maximal operator is not necessarily
bounded, for example the maximal operator associated to the Gaussian measure,
, is not bounded. We
give an extension of the bounding result of the maximal operator defined on all cubes of
and associated to a class of
absolutely continuous measures with respect to the Lebesgue measure, showing that the bounding result also holds in
higher dimension and we prove a quasi-norm inequality for this case.
Keys word: estimates, maximal operator, radial and monotonic measure.
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
339
ESTIMATIVAS DO OPERADOR MÁXIMO ASSOCIADO ÀS MEDIDAS DE NÃO
DUPLICAÇÃO
RESUMO
Neste artigo estudamos a propriedade de limite do operador máximo não centrado Hardy-Littlewood
, associado a
diferentes tipos de medidas . Uma medida está a duplicar se existirem constantes c,C tais que
, com é a bola de centro e raio , o operador máximo associado a uma medida
de duplicação é delimitado do tipo (1,1). Quando a medida não é duplicada, o operador máximo não é necessariamente
limitado, por exemplo, o operador máximo associado à medida gaussiana,
, não é limitado. Damos uma
extensão do resultado limite do operador máximo definido em todos os cubos de
e associado a uma classe de medidas
absolutamente contínuas com respeito à medida de Lebesgue, mostrando que o resultado limite também se mantém em
dimensão superior e provamos uma desigualdade quase nula para este caso.
Palavras chave: estimativas, operador máximo, medida radial e monotónica
Citación sugerida: Chávez, Y., Infante, A. (2022). ESTIMACIONES DEL OPERADOR MAXIMAL ASOCIADO A
MEDIDAS NO DOBLANTES. Revista Bases de la Ciencia, 7 (No Especial), Diciembre, 2022, 338-353. DOI:
https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.4924
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
340
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los grandes logros del análisis armónico en el pasado siglo fue la introducción de la
función maximal de Hardy-Littlewood que permitió esclarecer determinados fenómenos de
convergencia, entre ellos el Teorema de diferenciación de Lebesgue. Su importancia fue aún más
relevante con el desarrollo de la teoría de integrales singulares de Calderón y Zygmund (Pérez &
Trujillo-Gonzales, 2001), puesto que aquel operador controla en cierta forma las singularidades
de éstas. Desde entonces ha habido un notable interés en conocer en qué otras formas y contextos
es posible definir este operador maximal manteniendo sus propiedades de regularidad y acotación
(Ghosh & Mohanty, 2022), por ejemplo sustituyendo las bolas euclídeas por otros cuerpos
geométricos o cambiando la medida subyacente de Lebesgue por otras medidas anisotrópicas.
El objetivo del presente trabajo es el estudio del problema: Determinar condiciones bajo las cuales
el operador maximal de Hardy-Littlewood asociado a una medida de Borel , es un operador
acotado sobre el espacio de Lebesgue
o en algún espacio de Orlicz.
Si la medida asociada es doblante las propiedades de acotación del correspondiente operador con
respecto a unas u otras figuras son las mismas. No ocurre lo mismo cuando la medida no es
doblante y es aquí cuando la geometría asociada a los cubos resulta crucial. Así como lo
demuestran Infante & Soria, (2012) que existe una diferencia sustancial para la clase de medidas
consideradas por P. Sjögren y F. Soria en (Sjögren & Soria, 2004), cuando se reemplaza las bolas
por cubos, en términos del exponente de integrabilidad óptimo del operador maximal asociado.
Cuando la medida es la Gaussiana, esta diferencia se aprecia incluso entre el caso de cubos con
lados paralelos a los ejes y el de cubos rotados en general (Bourgain, 2014). Sea una medida
positiva de Borel sobre
. Asociada a esta medida, definimos el operador maximal no centrado
definido sobre cubos rotados por
el supremo es tomado sobre todos los cubos que contienen a tales que .
Demostramos que es un operador acotado para una familia amplia de medidas absolutamente
continuas con respecto a la medida de Lebesgue. Este problema se encuentra en (Infante & Soria,
2012) donde obtienen la desigualdad modular en el caso de
. En este artículo vamos a extender
el resultado a
para todo y además se probará que el exponente que se obtiene en la
desigualdad modular es óptimo. Presentaremos una desigualdad en cuasi norma que permite
complementar el resultado.
Un caso particular es el operador maximal definido sobre rectángulos paralelos a los ejes que es
reminiscente del Teorema de Jessen, Marcinkiewicz y Zygmund (ver (de Gusman, 1975.) y
(Zygmund, 1968)) sobre la acotación del operador maximal fuerte.
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
341
Sería interesante conocer el comportamiento, en este caso, de las medidas de tipo
para
. Como veremos en este trabajo, la desigualdad para estas medidas es al menos válida en
con exponente . En este artículo demostramos la desigualdad modular para el operador
maximal definido con cubos (rotados) de
y asociado a una famila de medida radial y
decreciente. Utilizamos la misma técnica que fue introducida en (Sjögren & Soria, 2004). Como
la medida es decreciente algunos de los lemas empleados se encuentran en (Sjögren & Soria,
2004), pero con ciertas variaciones, reproducimos las pruebas con la intención de que este trabajo
sea autocontenido.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
Determinar condiciones bajo las cuales el operador maximal de Hardy-Littlewood asociado a una
medida de Borel , es un operador acotado sobre el espacio de Lebesgue
o en algún espacio
de Orlicz.
Si la medida asociada es doblante, es decir que existen constantes tales que
, con es la bola de de centro y radio , entonces las
propiedades de acotación del correspondiente operador con respecto a unas u otras figuras son las
mismas. No ocurre lo mismo cuando la medida no es doblante y es aquí cuando la geometría asociada
a los cubos resulta crucial. Así como lo demuestran Infante & Soria, (2012) que existe una diferencia
sustancial para la clase de medidas consideradas por P. Sjögren y F. Soria en (Sjögren & Soria, 2004),
cuando se reemplaza las bolas por cubos, en términos del exponente de integrabilidad óptimo del
operador maximal asociado. Cuando la medida es la Gaussiana, esta diferencia se aprecia incluso
entre el caso de cubos con lados paralelos a los ejes y el de cubos rotados en general (Bourgain, 2014).
Sea una medida positiva de Borel sobre
. Asociada a esta medida, se define el operador maximal
no centrado definido sobre cubos rotados por
el supremo es tomado sobre todos los cubos que contienen a tales que . Se demostró
que
es un operador acotado para una familia amplia de medidas absolutamente continuas con
respecto a la medida de Lebesgue. Este problema se encuentra en Infante & Soria (2012) donde
obtienen la desigualdad modular en el caso de
.
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
342
Un caso particular es el operador maximal definido sobre rectángulos paralelos a los ejes que es
reminiscente del Teorema de Jessen, Marcinkiewicz y Zygmund, ver de Gusman (1975.) y Zygmund
(1968) sobre la acotación del operador maximal fuerte.
CONTRAEJEMPLO: EL EXPONENTE DE LA DESIGUALDAD MODULAR ES
ÓPTIMO
En este apartado probaremos que el exponente que aparece en la desigualdad modular, en el caso
Gaussiano, es óptimo.
Teorema 3.1. Sea
el operador maximal asociado a la medida Gaussiana,
,
y definido sobre cubos de
. Sea una función creciente con y tal que
, donde verifica que
Entonces dada cualquier constante , siempre es posible hallar una función y un escalar
tal que
Demostración. Sea , un número cuyo valor daremos más adelante. Denotemos por
a la bola
de centro y radio . Definimos la función por
donde
es 1 si
y 0 en otros casos.
Dado , sea
un cubo tal que el punto
es uno de sus vértices y es su punto
más cerca del origen, con
,
y la recta que pasa por el origen y
por el punto
es un eje de simetría para el cubo
.
Obsérvese que
y
Para
, definimos a
y si con una fórmula recursiva,
, siempre que
. Cumple que
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
343
Para , sea
, donde es dado por
De la desigualdad anterior se deduce
Utilizando la definición de
, sabemos que
, la
última equivalencia es debido a que
implica
.
Tenemos
es decir,
.
Denotemos por
el cubo cuyo punto más cerca al origen es un vértice de la forma
cuya arista mide
viene dado por
Sea
. Como
, para todo tenemos
Para cada , denotamos por
al mayor número que verifica
donde
forman la familia de cubos simétrico con respecto a una recta que pase por el origen y por
uno de sus vértices, contienen a la bola
y cada
tiene la misma distancia al origen que el cubo
.
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
344
Se deduce que
Para la unión, se verifica
y
. Así obtenemos
Como
sólo es necesario demostrar que, para suficientemente grande, se verifica
Obsérvese que
y que
La conclusión sigue de la hipótesis sobre , como
, obtenemos
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
345
Esto termina la prueba.
DESIGUALDAD EN CUASINORMA
Sea
, en esta sección veremos que el operador satisface una desigualdad
en cuasinorma, con un exponente mejor que en el caso de la desigualdad modular:
obtenemos que
manda
sobre
. Es decir, que existe una constante
tal que, si ,
(4.1)
El argumento utilizado en (Sjögren & Soria, 2004) no es válido en nuestro caso por encontrarnos en
el límite de integrabilidad sobre la esfera
. En su lugar, en esta sección vamos a demostrar el
siguiente resultado.
Teorema 4.1. Si y , entonces
satisface la desigualdad
(4.2)
Demostración. Para demostrar el Teorema 4.1, solo es necesario estudiar el operador asociado a la
clase
ya que fuera de este conjunto el operador maximal es de tipo débil (ver Teorema 2.1).
Consideremos el operador
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
346
donde
. De manera que
es acotado por la composición de dos operadores,
uno actuando sobre la variable angular y el segundo actuando en la variable radial, ambos de tipo
débil Tenemos, por tanto que
satisface la desigualdad de la ecuación 4.1.
Si
sabemos de
y
(ver Teorema 2.1). Además, si
, con
, entonces
Por tanto, si
se tiene,
Donde
que es una función creciente. Así que
(4.3)
Como la medida es
sabemos que
y
sea
y
. Utilizando la desigualdad de
Young, en el lado derecho de (ver 4.3), obtenemos
Tenemos entonces
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
347
Usando que
para , obtenemos
SOBRE EL MEJOR EXPONENTE PARA LA DESIGUALDAD EN CUASINORMA
En este apartado probaremos que para las medidas de tipo Gaussiano
, la
desigualdad en cuasinorma (ver 4.1) no puede ser mejorada.
Teorema 5.1. Dado fijo, definimos
Sea una función creciente tal
que y en otros casos donde verifica
Entonces para toda constante , existe una función y un número tal que
Demostración. Sea un número grande y consideremos
.
Para denotemos por
un cono regular exterior conteniendo a y tal que
lo denotaremos simplemente por
. Tenemos
para
.
Por tanto,
. Es claro que
Por otra parte, como
es suficiente demostrar que
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
348
para suficientemente grande. La medida del cono
es
Así que es suficiente con demostrar que
Como
la prueba termina observando que
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Definición 2.1. Sea una medida positiva de Borel sobre
. Asociada a la medida , definimos el
operador maximal de Hardy-Littlewood sobre cubos como
donde el supremo es tomado sobre los cubos de medida positiva, , que contiene al punto
.
Los cubos , considerados en la definición anterior, pueden ser rotados con respectos a los ejes de
coordenadas.
En este trabajo vamos a extender a dimensión superior la estimación de tipo débil para el operador
, como veremos es un simple argumento geométrico, y probaremos que el exponente que aparece
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
349
en la desigualdad es óptimo, También presentaremos la desigualdad en cuasi-norma para este
operador. Así que, las medidas que consideraremos en este trabajo son una familia de medidas
decrecientes, absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue y que en general no son
medidas doblantes pero que controlamos, en cierto sentido, como degenera esta propiedad.
Definición 2.2. Diremos que es una medida decreciente, absolutamente continua respecto a la
medida de Lebesgue, si existeuna función radial
tal que
es decir, que existe una función
, decreciente (estrictamente), continua y tal
que
.
Supongamos que
y
. Definimos la función , con
la que estudiaremos como degenera la propiedad doblante de , por
(2.1)
.
La función , fue presentada en (Sjögren & Soria, 2004) cuando estudiaban al maximal definido sobe
bolas de
. La estimación para cubos rotados, solo en dimensión 2, lo podemos ver en (Infante &
Soria, 2012). En el siguiente teorema veremos la desigualdad modular para el operador maximal sobre
cubos, asociado a una familia de medidas absolutamente continua con respecto a la medida de
Lebesgue sobre
, .
Teorema 2.1. Sea
, con
continua y decreciente sobre
, . Si
es una función decreciente en tal que
entonces existe una constante , tal que el operador maximal
, definido sobre todos los cubos en
y asociado con la medida , verifica la desigualdad modular
Estudiemos el caso de los cubos paralelos a los ejes de coordenadas. Sea un cubo de
con lados
paralelos a los ejes coordenados, cuyo punto más cercano al origen es
, su distancia al origen es
y de longitud . Denotaremos por
al poliedro (infinito) más
pequeño con vértice en
que contiene a , y por
al cono más pequeño conteniendo al cubo
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
350
con vértice en el origen y eje de simetría conteniendo al segmento
. Sean
los
ángulos formados por los vértices del poliedro
.
Si suponemos que
, entonces
Sea
Si
es la proyección de
sobre
, entonces
Son rectángulos con lados paralelos a los ejes en
.
Además,
Por otra parte,
, donde
y obtenemos
con
Así que
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
351
Tomemos dos constantes positivas, cuyos valores daremos más adelante (el valor de
dependerá de implícitamente), y sea
En el caso,
se tiene
Para estimar utilizamos el Teorema 2.1, tomando
Para estimar , hacemos el cambio de variables
Utilizando el Teorema 2.1, con y , tenemos
En el otro caso,
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
352
se tiene
La proposición 2.4 de (Infante & Soria, 2012), no va a permitir obtener la conclusión deseada:
Proposición 2.4 (Infante & Soria, 2012). Si para algún existen dos constantes y tales que
satisface la desigualdad
Para todo cubo que no contiene al origen,
y de lado mayor que , entonces el operador
maximal asociado a satisface la desigualdad modular
4. CONCLUSIONES
En este trabajo se extendió el resultado a
para todo y además se probó que el exponente que se
obtiene en la desigualdad modular es óptimo. Se presentó una desigualdad en cuasi norma que permite
complementar el resultado.
Un caso particular es el operador maximal definido sobre rectángulos paralelos a los ejes que es
reminiscente del Teorema de Jessen, Marcinkiewicz y Zygmund, ver de Gusman (1975.) y Zygmund
(1968) sobre la acotación del operador maximal fuerte.
Fue interesante conocer el comportamiento, en este caso, de las medidas de tipo
para
. Como se vio en este trabajo, la desigualdad para estas medidas es al menos válida en
con
exponente . En este trabajo investigativo se demostró la desigualdad modular para el operador
maximal definido con cubos (rotados) de
y asociado a una famila de medida radial y decreciente.
Se utilizó la misma técnica que fue introducida en Sjögren & Soria (2004), como la medida es
TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
353
decreciente algunos de los lemas empleados se encuentran en el mismo trabajo del autor mencionado
recientemente, pero con ciertas variaciones, se representó las pruebas con la intención de que este
trabajo sea auto contenido.
5 DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
6 REFERENCIAS
Bourgain, J. (2014). On the Hardy-Littlewood maximal function for the cube. Isr. J. Math. 203, 275-293.
de Gusman, M. (1975.). Differentiation of Integrals in Rn . Lecture Notes in Mathematics, no. 481, , .
Ghosh, A., & Mohanty, P. (2022). Ghosh, A., & MohaWeighted inequalities for higher dimensional one-sided Hardy–
Littlewood maximal function in Orlicz spaces. Expositiones Mathematicae 40(1), 23-44.
Infante, A., & Soria, F. (2012). On estimates of the maximal operator associate to nondoubling measures. Bol. Soc. Mat.
Mexicana(3) Vol 18, 1-19.
Pérez, C., & Trujillo-Gonzales, R. (2001). El principio de Calderón-Zygmund. España: Margarita Mathematica.
Sjögren, P., & Soria, F. (2004). Sharp estimates for the non centered maximal operator associated to gaussian and other
radial measures,. Advances in Mathematics, no. 3 112-134.
Zygmund, A. (1968). Trigonometric Series. Cambridge Univ. Press, .
Contribución de autores
Autor
Contribución
Yoconda Chávez
Búsqueda bibliográfica, revisión y diseño del artículo
Adrián Infantes
Metodología, Concepción, redacción
