Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5083.
LA ÚLTIMA CURVA INVARIANTE PARA EL STANDARD MAP
Emilio Andrés Conforme Parrales
1
, Oswaldo José Larreal Barreto
2
1
Estudiante de la Maestría Académica con Trayectoria de Investigación en Matemática, Instituto de
Posgrado, Universidad Técnica de Manabí, Ecuador
2
Departamento de Matemáticas y Estadística, Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Técnica de
Manabí, Ecuador
*Autor para correspondencia: econforme1113@utm.edu.ec
Recibido: 3-10-2021/ Aceptado: 12-12-2022 / Publicación: 26-12-2022
Editor Académico: Luis Bladismir Ruiz Leal
RESUMEN
El Standard map, es una de las aplicaciones más conocida y usada en sistemas dinámicos debido a sus propiedades y
aplicaciones físicas; este trabajo está centrado en determinar la última curva invariantes. Para ello se hace necesario colocar
condiciones en el parámetro para garantizar la existencia de la región invariante, lo cual está garantizada usando los
Teoremas: Twist de Moser, KAM, forma normal de Birkhoff y el teorema de Denjoy. Uniendo todos estos resultados junto
con el cálculo del número rotación, logramos encontrar numéricamente los valores iniciales de las órbitas que permite
hallar la última curva invariante.
Palabras clave: Forma normal de Birkhoff, número de rotación, Standard map, variedades invariantes, KAM, teorema de
Denjoy.
LAST INVARIANT CURVE FOR THE STANDARD MAP
ABSTRACT
The standard map is one of the best known and used applications in dynamic systems, due to its physical properties and
applications, this work is focused on determining the last invariant curve, for the same it is necessary to place conditions in
the parameter to guarantee the existence of the invariant region, which is guaranteed using the Theorems: Moser’s Twist,
KAM, Birkhoff’s normal form and Denjoy’s theorem, uniting all these results, along with the calculation of the rotation
number, we are able to find numerically the initial values of the orbits that allow to find the last invariant curve.
Keywords: Birkhoff normal form, Denjoy’s theorem, invariant manifolds, KAM, rotation number, Standard map.
A ÚLTIMA CURVA INVARIÁVEL PARA STANDARD MAP
RESUMO
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106)
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
O Standard map é uma das aplicações mais conhecidas e utilizadas em sistemas dinâmicos, devido às suas propriedades
físicas e aplicações, este trabalho está focado em determinar a última curva invariante, para a mesma é necessário colocar
condições no parâmetro para garantir a existência da região invariante, que é garantida usando os Teoremas: Torção de
Moser, KAM, forma normal de Birkhoff e teorema de Denjoy, unindo todos esses resultados, juntamente com o cálculo do
número de rotação, conseguimos encontrar numericamente os valores iniciais das órbitas que permitem encontrar a última
curva invariante.
Palavras chave: Forma normal de Birkhoff, KAM, número de rotação, Standard map, variedades invariantes, teorema de
Denjoy.
Citación sugerida: Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto . La última cur-
va invariante para el Standard map. Revista Bases de la Ciencia, Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre,
2022, Ecuador (p. 89 -106). DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL
.5083
90 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
1. INTRODUCCIÓN
El “Chirikov-Taylor Standard map” es una aplicación (mapa), definida por: (θ, r) → T
µ
(θ, r)
T
µ
:
θ
r
7→
θ + f
µ
(θ, r)
f
µ
(θ, r)
donde f
µ
(θ, r) = r + µ sin(θ) y µ es un parámetro de valores reales.
T
µ
es un mapa Twist conservativo, quizás sea uno de los más famoso debido a sus aplicaciones
entre ellas a la física de plasma, mecánica celeste, materia condensada, aceleradores de partículas y en
varios campos más Balescu (2000). Este fue presentado por Chirikov B. Chirikov (1971); B. V. Chiri-
kov (1979) como un modelo que presenta múltiples resonancias no lineales. En los últimos cincuenta
años, se han realizado muchos estudios que se han centrado en comprender varias propiedades de
los mapas que preservan área, en particular el standard map Bustamante y Calleja (2019); Calleja y
cols. (2022); Cincotta y Simó (2020). Muchos de los fenómenos que están relacionados con el caos
generado por un mapa, tienen relación con la invarianza de un conjunto por un mapa; motivos por los
cuales este trabajo está centrado en establecer una frontera del conjunto invariante. Para lograr este
cometido, el trabajo se distribuye inicialmente con las propiedades del standard map, parametrización
de las variedades invariantes, la teoría que garantiza la existencia de curvas invariantes y por últi-
mo los cálculos numéricos que permiten hallar números de rotación para determinar la última curva
invariante.
2. ALGUNAS PROPIEDADES DEL STANDARD MAP
2.1 Propiedades
Las propiedades más resaltantes del Standard map son:
• T
µ
es periódica respecto a θ , T
µ
(θ + 2nπ, r) = T
µ
(θ, r).
• T
µ
es conservativa, DT
µ
(θ, r) =
µ cos(θ) + 1 1
µ cos(θ) 1
, det(DT
µ
(θ, r)) = 1.
• Los puntos fijos son: {(πn, 0)/n ∈ Z}, debido a que T
µ
es periódica respecto a la primera
coordenada entonces existen dos clases que están dadas por: p
j
= (π · j, 0), j = 0, 1.
• La matriz jacobiana en los puntos fijos está dada por DT
j
= DT
µ
(p
j
) =
(−1)
j
µ + 1 1
(−1)
j
µ 1
,
j = 0, 1
• Los polinomios característico de las linealizaciones de T
µ
en los puntos fijos son: p
DT
j
(x) =
x
2
−
2 + (−1)
j
µ
x + 1, j = 0, 1.
• Para j = 0, λ
2
− (2 + µ)λ + 1 = 0 ⇒ µ =
(λ − 1)
2
λ
=
λ
1
2
− λ
−
1
2
2
= 4 sinh
2
(h/2), con
λ = e
h
.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 91
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
• Los autovalores de las matrices DT
j
, j = 0, 1, son reales y distintos si:
2 + (−1)
j
µ
2
−4 > 0
y serán complejos conjugados cuando:
2 + (−1)
j
µ
2
− 4 < 0.
• Los autovalores de las matrices DT
j
, j = 0, 1, son:
2+(−1)
j
µ
2
±
√
µ
2
+(−1)
j
4µ
2
.
• Consideraremos el caso en el cual p
1
, es un punto elíptico es decir: (2−µ)
2
−4 < 0 ⇒ µ ∈ (0, 4) ,
con lo cual obtenemos adicionalmente que el punto p
0
es hiperbólico.
• DT
0
, tiene los vectores propios
−2
µ +
p
µ(µ + 4)
,
−2
µ −
p
µ(µ + 4)
asociado a los valo-
res propios
(
µ + 2
2
−
p
µ(µ + 4)
2
,
µ + 2
2
+
p
µ(µ + 4)
2
)
DT
1
=
−µ + 1 1
−µ 1
, es equivalente a:
2−µ
2
−
√
−µ
2
+4µ
2
i 0
0
2−µ
2
+
√
−µ
2
+4µ
2
i
, o a
cos α sin α
−sin α cos α
,
donde i denota la unidad imaginaria,
2−µ
2
= cos α y
√
−µ
2
+4µ
2
= sin α.
2.2 Estabilidad del Standard Map
Figura 1. Gráfica de 50000 iteradas de puntos, en el Standard Map con µ = 2.04. El eje horizontal
corresponde con θ mientras el vertical es r, la barra de color indica el orden de permanencia de la
iterada.
Fuente: Elaboración propia.
92 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Figura 2. Arriba a la izquierda región de estabilidad, derecha variedades invariantes del origen, abajo
variedades invariantes del origen y región de estabilidad, para µ = 0.44.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 1, se observan dos regímenes uno de estabilidad y otro de inestabilidad, nuestro enfo-
que consiste en identificar puntos o regiones de estabilidad y luego determinar los puntos fijos estables
no asintóticos (estos puntos son los llamados elípticos). La estabilidad asintótica de un punto fijo ocu-
rre cuando la curva generada por las iteradas de la aplicación en un punto cercano al fijo tienden al
punto fijo, mientras que los puntos fijos inestables son todos aquellos puntos tales que al iterar con la
aplicación no permanecen en un región acotada. Formalmente esto se escribe como:
Definición 2.1. Sea f : R
n
→ R
n
, se dice que x
0
∈ R
n
es un punto fijo de f si f (x
0
) = x
0
.
Definición 2.2. Sea f : R
n
→ R
n
, el punto x
0
es un punto periódico de f con periodo q si f
q
(x
0
) = x
0
.
Donde la notación f
i
(x) significa: f
i
(x) = f(f(. . . f
| {z }
i−veces
(x))).
Definición 2.3. Al conjunto de todas las iteradas del punto x
0
se le conoce como órbita positiva de
x
0
.
O
+
f
(x) = {f
n
(x) : n = 0, 1, 2, . . . }.
Al conjunto de las iteradas de la inversa de f en x
0
se le dice órbita negativa de x
0
O
−
f
(
x
) =
{
f
−n
(
x
) :
n
= 0
,
1
,
2
, . . .
}
=
O
+
f
−1
(x).
Definición 2.4. Un punto x
0
∈ R
n
es un punto fijo hiperbólico del difeomorfismo f : R
n
→ R
n
si
f (x
0
) = x
0
y Df (x
0
) no tiene autovalores de módulo uno.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 93
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
Definición 2.5. Los subespacios estable, central e inestable de una transformación lineal T x = Ax,
donde A es una matriz n × n real, están definidos respectivamente como
E
s
=Gen {u
j
, v
j
: |λ
j
| < 1}
E
c
=Gen {u
j
, v
j
: |λ
j
| = 1}
E
u
=Gen {u
j
, v
j
: |λ
j
| > 1}
Donde λ
j
= a
j
+ ib
j
, son los autovalores asociados con los vectores propios w
j
= u
j
+ iv
j
, es
decir Aw
j
= λ
j
w
j
, con j = 1 . . . n.
Definición 2.6 (Variedad Estable e Inestable). Sea f : R
n
→ R
n
un C
1
-difeomorfismo con un punto
fijo hiperbólico x
0
∈ R
n
. La variedad estable W
s
(x
0
) de f en x
0
∈ R
n
, es {x : lim
i→∞
f
i
(x) = x
0
}, y
la variedad inestable W
u
(x
0
) de f en x
0
∈ R
n
, es {x : lim
i→−∞
f
i
(x) = x
0
}.
Teorema 2.1 (Teorema de la variedad estable para mapas). Sea f : R
n
→ R
n
un C
1
-difeomorfismo
con un punto fijo hiperbólico x
0
∈ R
n
, entonces existen variedades locales invariantes estables S e
inestables U de clase C
1
tangente al subespacio estable e inestable E
s
y E
u
de Df (x
0
) y de la misma
dimensión.
Del teorema de la variedad estable se desprende, que para realizar un análisis cualitativo, es ne-
cesario linealizar la ecuación en los puntos fijos y observar los autovalores para así determinar una
aproximación a las variedades invariantes.
Como una primera aproximación a la región de estabilidad del Standard Map, tenemos la variedades
invariantes del origen; sin embargo como se observa en la figura 3, en términos generales no representa
la frontera de la región de estabilidad.
Figura 3. Región de estabilidad y variedades invariantes, para µ = 2.04.Fuente: Elaboración propia.
94 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Como referencia importante para obtener las aproximaciones a las variedades usaremos los artícu-
los Cabre y cols. (2005); Fontich (2006); Haro (2016); Simo (1990), y el libro Romero y cols. (2016),
con lo cual tenemos que las parametrizaciones “naturales” de las variedades locales están dadas por:
ψ
s,u
loc
(t) = (x
s,u
(t), y
s,u
(t)),
donde x
s,u
(t) =
P
i=0
a
s,u
i
t
i
y y
s,u
(t) =
P
i=0
b
s,u
i
t
i
, s denota estable y u inestable, las cuales deben
cumplir la propiedad
T
µ
(ψ
s,u
(t)) = ψ
s,u
(λ
s,u
t)
donde λ
u
= 1/λ
s
= λ > 1, donde λ
s
y λ
u
son los autovalores de DT
µ
(0, 0).
Proposición 2.1. La variedad local del origen W
u
loc
(0, 0) de la aplicación T
µ
se puede parametrizar
como:
ψ
u
loc
(t) = (x
u
(t), y
u
(t)) (1)
=
X
i=0
a
i
t
i
,
X
i=0
b
i
t
i
!
(2)
donde los coeficientes a
i
y b
i
están dados por las siguientes ecuaciones recursivas.
s
∗
k
=
1
k
P
k−1
i=1
c
k−i
ia
i
a
k
=
λ
k
µ s
∗
k
(λ
k
− 1)
2
− λ
k
µc
0
=
λ
k
µ s
∗
k
(
(
λ
k
−1
)
2
−λ
k
µ
)
c
k
= −
1
k
P
k−1
i=1
s
k−i
ia
i
s
k
= s
∗
k
+ a
k
s
0
= 0, c
0
= 1, a
0
= 0, b
0
= 0, a
1
= 2c, b
1
=
−µ +
p
µ(µ + 4)
c, con c pequeño.
Prueba. Recordemos que: T
µ
(θ, r) = (θ + f
µ
(θ, r), f
µ
(θ, r)), donde f
µ
(θ, r) = r + µ sin(θ), así
T
µ
(x(t), y(t)) = (x(λt), y(λt))
⇒ (x(t) + f
µ
(x(t), y(t)), f
µ
(x(t), y(t))) = (x(λt), y(λt))
x(λt) = x(t) + f
µ
(x(t), y(t)) ⇒ y(t) = x(λt) − x(t) − µ sin(x(t))
y(λt) = f
µ
(x(t), y(t)) = µ sin(x(t)) + y(t)
(3)
Por lo tanto:
y(λt) − y(t) = µ sin(x(t)) ⇒ x
λ
2
t
− 2x(λt) + x(t) = µ sin(x(λt))
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 95
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
Usando
ψ
loc
(t) = (x(t), y(t))
=
X
i=0
a
i
t
i
,
X
i=0
b
i
t
i
!
Obtenemos:
µ sin
X
k=0
t
k
a
k
!
+
X
k=0
t
k
a
k
+
X
k=0
t
k
b
k
, µ sin
X
k=0
t
k
a
k
!
+
X
k=0
t
k
b
k
!
=
X
k=0
(λt)
k
a
k
,
X
k=0
(λt)
k
b
k
!
.
(4)
Por Taylor podemos escribir los desarrollos de las series formales:
sin x(t) =
X
k=0
s
k
t
k
cos x(t) =
X
k=0
c
k
t
k
Ahora derivando obtenemos:
sin x(t) =
X
k=0
s
k
t
k
⇒ cos x(t) x
′
(t) =
X
k=0
(k + 1)s
k+1
t
k
cos x(t) =
X
k=0
c
k
t
k
⇒ −sin x( t) x
′
(t) =
X
k=0
(k + 1)c
k+1
t
k
⇒
X
j=0
t
j
c
j
X
i=0
(i + 1)a
i+1
t
i
=
X
k=0
(k + 1)s
k+1
t
k
⇒ −
X
j=0
t
j
s
j
X
i=0
(i + 1)a
i+1
t
i
=
X
k=0
(k + 1)c
k+1
t
k
⇒
X
j=0
X
i=0
c
j
(i + 1)a
i+1
t
i+j
=
X
k=0
(k + 1)s
k+1
t
k
⇒ −
X
j=0
X
i=0
s
j
(i + 1)a
i+1
t
i+j
=
X
k=0
(k + 1)c
k+1
t
k
k = i + j ⇒ j = k − i
⇒
X
k=0
k
X
i=0
c
k−i
(i + 1)a
i+1
!
t
k
=
X
k=0
(k + 1)s
k+1
t
k
⇒ −
X
k=0
k
X
i=0
s
k−i
(i + 1)a
i+1
!
t
k
=
X
k=0
(k + 1)c
k+1
t
k
(k + 1)s
k+1
=
k
X
i=0
c
k−i
(i + 1)a
i+1
⇒ s
k
=
1
k
k
X
i=1
c
k−i
ia
i
(k + 1)c
k+1
= −
k
X
i=0
s
k−i
(i + 1)a
i+1
⇒ c
k
= −
1
k
k
X
i=1
s
k−i
ia
i
96 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Regresando nuevamente a (4), entonces la ecuación F (ψ
s,u
(t)) = ψ(λ
s,u
t), la escribimos como:
X
k=0
a
k
λ
k
t
k
,
X
k=0
b
k
λ
k
t
k
!
=
µ
X
k=0
s
k
t
k
+
X
k=0
a
k
t
k
+
X
k=0
b
k
t
k
, µ
X
k=0
s
k
t
k
+
X
k=0
b
k
t
k
!
.
De lo cual deducimos:
(λ
k
− 1)a
k
= µs
k
+ b
k
y
(λ
k
− 1)b
k
= µs
k
De las ecuaciones anteriores obtenemos: a
k
=
λ
k
λ
k
−1
b
k
, b
k
=
µ
λ
k
−1
s
k
⇒ a
k
=
λ
k
µ
(
λ
k
−1
)
2
s
k
De (2) y (3)
obtenemos:
s
k
=
1
k
k
X
i=1
c
k−i
ia
i
c
k
= −
1
k
k
X
i=1
s
k−i
ia
i
a
k
=
λ
k
µ
(λ
k
− 1)
2
s
k
a
k
=
λ
k
µ
(λ
k
− 1)
2
k
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
+ c
0
ka
k
!
1 −
λ
k
µc
0
(λ
k
− 1)
2
a
k
=
λ
k
µ
(λ
k
− 1)
2
k
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
λ
k
− 1
2
− λ
k
µc
0
ka
k
= λ
k
µ
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
a
k
=
λ
k
µ
(λ
k
− 1)
2
− λ
k
µc
0
k
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
Así las ecuaciones a
k
, s
k
y c
k
son:
a
k
=
λ
k
µ
(λ
k
− 1)
2
− λ
k
µc
0
k
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
c
k
= −
1
k
k
X
i=1
s
k−i
ia
i
= −
1
k
k−1
X
i=1
s
k−i
ia
i
ya que s
0
= 0
s
k
=
1
k
k
X
i=1
c
k−i
ia
i
=
1
k
k−1
X
i=1
c
k−i
ia
i
+ a
k
ya que c
0
= 1
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 97
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
Obtenemos:
s
∗
k
=
1
k
P
k−1
i=1
c
k−i
ia
i
a
k
=
λ
k
µ s
∗
k
(
(
λ
k
−1
)
2
−λ
k
µc
0
)
=
λ
k
µ s
∗
k
(
(
λ
k
−1
)
2
−λ
k
µ
)
c
k
= −
1
k
P
k−1
i=1
s
k−i
ia
i
s
k
= s
∗
k
+ a
k
s
0
= 0, c
0
= 1, a
0
= 0, b
0
= 0, a
1
= 2c, b
1
=
−µ +
p
µ(µ + 4)
c, debemos de considerar c
pequeño, y así obtenemos como vector propio v
1
=
−2
µ −
p
µ(µ + 4)
2.3 Relación entre las variedades locales
Si suponemos λ > 1 tenemos:
a
u
k
=
λ
k
µ s
∗
k
(λ
k
− 1)
2
− λ
k
µ
=
µ s
∗
k
λ
k
2
− λ
−
k
2
2
− µ
= a
s
k
a
u
k
=
λ
k
λ
k
− 1
b
u
k
y a
s
k
=
λ
−k
λ
−k
− 1
b
s
k
=
1
1 − λ
k
b
s
k
⇒
1
1 − λ
k
b
s
k
=
λ
k
λ
k
− 1
b
u
k
⇒ b
s
k
= −λ
k
b
u
k
Por tal motivo existe
R
tal que:
ψ
u
loc
= R ◦ ψ
s
loc
ψ
s
loc
(t) =
X
k=0
a
s
k
t
k
,
X
k=0
b
s
k
t
k
!
=
X
k=0
a
u
k
t
k
,
X
k=0
−b
u
k
(λt)
k
!
⇒
x
s
loc
(t) = x
u
loc
(t)
y
s
loc
(t) = −y
u
loc
(λt)
R(x, y) = (x, − f
µ
(x, y))
R ◦ ψ
u
(t) = ψ
s
(t)
R (ψ
u
loc
(t)) = (x
u
loc
(t), −f
µ
(x
u
loc
(t), y
u
loc
(t))) = (x
u
loc
(t), −y
u
loc
(λt)) = (x
s
loc
(t), y
s
loc
(t))
Como f
µ
(x, y) = µ sin(x) + y, obtenemos f
µ
(x, −f
µ
(x, y)) = µ sin(x) − f
µ
(x, y) = −y.
Por lo tanto R(R(x, y)) = R(x, −f
µ
(x, y)) = (x, −f
µ
(x, −f
µ
(x, y))) ⇒ R ◦ R = I
Lema 2.1. Existe R : R
2
→ R
2
, tal que:
R ◦ ψ
u
(t) = ψ
s
(t) y R ◦ R = I
3. EXISTENCIAS DE CURVAS INVARIANTES
Nuestra meta es determinar la última curva invariantes, en Oswaldo (2021) se muestra cuales
son las condiciones que garantiza la existencia de la última curva invariante para la ecuación del
microtrón. En el mismo artículo se pone de manifiesto que debemos usar los teoremas: KAM, formas
98 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
normales de Birkhoff y el teorema Twist de Moser. Nosotros vamos a suponer que tenemos todas
las condiciones para la existencia de curvas invariantes así de está manera nos enfocaremos en la
determinación de la misma. Obviamente la determinación paramétrica de la última curva invariante
será de forma numérica, para lo cual usaremos los números de rotación y fracciones continuas.
Lema 3.1. Sea L un operador lineal de R
2
sobre el cuerpo R, y sea λ = a + bi, (a, b ∈ R, b 6= 0) un
valor propio de L, con vector propio v = v
1
+ v
2
i, entonces [ L]
{v
1
,v
2
}
=
a b
−b a
.
Prueba. Sea Lv = λv, como λ = a + ib , entonces tenemos L(v
1
+ iv
2
) = (a + ib)(v
1
+ iv
2
) =
av
1
− bv
2
+ (av
2
+ bv
1
)i
Lv
1
= av
1
− bv
2
Lv
2
= bv
1
+ av
2
⇒ [L]
{v
1
,v
2
}
=
a b
−b a
.
De las propiedades 2.1, considerando el caso en el cual (2 − µ)
2
− 4 < 0 y aplicando el lema
anterior en DT µ, tenemos que: a =
2−µ
2
, b =
√
−µ
2
+4µ
2
y podemos usar como vectores asociados
v
1
=
2
µ
, v
2
=
0
p
−µ
2
+ 4µ)
, así DT
µ
es semejante con:
2−µ
2
√
−µ
2
+4µ
2
−
√
−µ
2
+4µ
2
2−µ
2
Teorema 3.1 (de Jacobi). Sea T
θ
(α) = α + θ una aplicación de S
1
en S
1
. Si θ/π es irracional,
entonces la órbita de cualquier punto es densa en S
1
. Denotamos a S
1
, a la circunferencia unitaria.
(ver Devaney (1989) págs. 22 − 23).
El teorema anterior garantiza la existencia de curvas invariantes para la linealización del mapa en
los puntos elípticos.
Para generalizar el teorema (3.1) debemos introducir la definición de número de rotación y utilizar
el Teorema de Denjoy.
Definición 3.1. Sea el toro T = R/Z, con proyección natural π : R → T. Sea f : T → T un
homeomorfismo. La aplicación F : R → R, F (x + 1) = F (x) + 1 tal que el diagrama:
R
F
−→ R
↓ π ↓ π
T
f
−→ T
es conmutativo. A F se le llama lift de f . F es única salvo traslaciones por enteros.
Definición 3.2. Definimos el número de rotación superior e inferior respectivamente por:
−
ρ
F
(x) := lim
n→∞
sup
F
n
(x) − x
n
ρ
−
F
(x) := lim
n→∞
inf
F
n
(x) − x
n
Si
−
ρ
F
(x) = ρ
−
F
(x), entonces definimos el número de rotación de F como ρ
F
=
−
ρ
F
(x) = ρ
−
F
(x).
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 99
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
Definición 3.3. Se define el número de rotación como:
ρ
F
:= lim
n→∞
F
n
(x
0
) − x
0
n
, (5)
Dos teorema que son sumamente importantes para la determinación de la última curva invariante
son: el teorema de Poincare Adouani y Marzougui (2017) y el teorema de Denjoy Brette (2003); Dzha-
lilov y cols. (2018); Hernández-Corbato y cols. (2012); Kwapisz (2000); Liousse (2005); Misiurewicz
(s.f.); Pavani (1995), este último va a permitir determinar la existencia de curvas invariantes bajo la
condición, de que el número de rotación ρ
F
sea irracional Hernández-Corbato y cols. (2012).
Teorema 3.2 (Denjoy). (ver Brette (2003); Hernández-Corbato y cols. (2012); Liousse (2005); Pavani
(1995)) Supongamos que el número de rotación ρ
F
está bien definido, es decir que el límite existe y
es independiente de la condición inicial x
0
. Además si F es de clase C
2
, entonces:
• ρ
F
es racional, si y solo si f tiene un punto periódico.
• Si ρ
F
es irracional, entonces cada órbita de f es densa en T.
Tómese en cuenta que el número de rotación es independiente de la x
0
considerada para una apli-
cación F que representa el lift de un mapa f : T → T, lo que indica que cada vez que consideramos
una órbita de un punto x
0
por T
µ
, tenemos un homeomorfismo f : T → T por cada x
0
de T µ. Así
de está manera solo necesitamos determinar la ubicación de los puntos para los cuales los números
de rotación son irracional, un método que permite caracterizar una número irracional es el método de
fracciones continuas.
4. RESULTADOS NUMÉRICOS
La idea del método consiste primero en suponer que existe una curva invariante cerrada simple
C alrededor del punto elíptico, lo cual está garantizado gracias a los teoremas de formas normales,
Twist de Moser y KAM de forma similar como se ha realizado en Oswaldo (2021). Nuestro método
consiste en considerar la restricción de la aplicación a C, con lo que veremos una aplicación que va
de C en C, entonces elegimos un punto en la curva y verificamos si existe el límite que define el
número de rotación. Ahora al tener el número de rotación bien definido verificamos si este mismo
es racional o irracional, lo cual nos permitira determinar si la órbita del punto genera densamente la
curva invariante.
En cuanto al algoritmo empleado para el cálculo del número de rotación se siguió el articulo Seara y
Villanueva (2006). El algoritmo expuesto en este articulo, permite encontrar en pocos pasos una buena
aproximación al valor real del número de rotación, y por otro lado usamos el método de fracciones
continuas para determinar si el número de rotacion puede ser considerando como “irracional”.
Definición 4.1. Una fracción continua es una expresión de la forma
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
.
.
.
·+
1
a
n
donde a
0
, . . . , a
n
son números enteros y a
1
, . . . , a
n
son positivos.
100 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Procedimiento 1 (Procedimiento para hallar la fracción continua de un número α). Sea α ∈ R;
definimos una secuencia a
n
de enteros por inducción de la siguiente forma:
a
0
= E(α), y
0
= {α}, a
1
= E (1/y
0
) , y
1
= {1/y
0
}
y
a
n+1
= E
1
y
n
y y
n+1
=
1
y
n
,
donde E y {.} denotan respectivamente la parte entera y la parte fraccionaria {x} = x − E(x) ∈
[0, 1). Esto describe la expansión de fracción continua de α, denotada
α = [a
0
, a
1
, a
2
, . . .) = a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
.
.
.
Observación 4.1. Si α es irracional la sucesión que describe su fracción continua no converge, en
caso de ser racional, es finita la sucesión de la fracción continua.
Procedimiento 2. Procedimiento para hallar la última curva invariante
1. Debemos calcular un punto P que no escape al infinito, por iteradas de T
µ
, para esto tomamos
un segmento de recta que inicie en el punto fijo elíptico
¯
P
0
= ( π, 0) finalice en punto
¯
P
1
=
(2π, 0), este último no pertenece a la región estable debido a que es un punto hiperbólico.
2. Con el item anterior justificamos que
¯
P
1
, no está en la región de estabilidad. Ahora usando a
un método similar al de bisección, vamos a elegir un punto dentro y otro fuera de la región
estable, vamos dividiendo el segmento que une los dos puntos en el punto medio P
m
, este punto
P
m
dependiendo de las condiciones que cumpla va a sustituir a uno de los dos puntos anteriores,
por ejemplo si P
m
está dentro de la región estable entonces sustituye el punto que cumplía está
condición y al igual es aplicado al punto que no está dentro de la región estable. Este paso lo
vamos a repetir hasta que el error relativo sea menor que E
r
dado, o hasta hacer L iteraciones
del método.
3. Ahora vamos a determinar si P es punto que genera la curva o genera curvas alrededor de
puntos periodicos o es un punto caótico. Para distinguir estos casos vamos a calcular el nú-
mero de rotación asociado al punto P , siguiendo el algoritmo expuesto en el articulo Seara y
Villanueva (2006). Los criterios que vamos a usar son:
• Si el número de rotación de P es irracional para todos los iterados N = 2
q
, del método
de cálculo de número de rotación hasta orden p = q − 1 (ver procedimiento 3) y el error
relativo es menor que E
r
= 10
−8
, entonces P es considerado como un punto que genera
la curva.
• Si el número de rotación de P es irracional para todos los iterados del método hasta orden
p = q − 1 y el error relativo es mayor que E
r
entonces P es considerado como un punto
caótico.
Para determinar si un número es racional o irracional usamos fracciones continuas, y así
definimos la función I(x) que devuelve 1 si x es irracional y cero en caso contrario.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 101
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
• Si el número de rotación de P es racional para alguna de las iteradas del método de
cálculo de número de rotación, entonces a P lo consideramos como un punto que genera
curvas alrededor de puntos periodicos.
Procedimiento 3. Procedimiento para el cálculo de número del rotación, basado en Seara y Villa-
nueva (2006):
1. Dado un punto P calculamos T
0
= atan
2
(P ), calculamos y definimos T
n
= atan
2
(F
n
2
(P )) y el
lift LT de la siguiente forma:
(a) Definimos LT
0
= T
0
, LT
1
= T
1
y s = 1
(b) Dependiendo de LT
1
y LT
0
definimos un número d de la siguiente manera:
d =
1 si LT
1
> LT
0
(sentido positivo)
−1 si LT
1
< LT
0
(sentido negativo)
y hacemos s = 1.
(c) Si va en sentido positivo y si existe i tal que T
i+1
< T
i
, hacemos LT
i+1
:= T
i+1
+ d·s. En
caso que tengamos negativo y si existe i tal que T
i+1
> T
i
, hacemos LT
i+1
:= T
i+1
+ d·s.
Hacemos s := s + 1 en ambos casos. Es decir LT
i+1
= T
i+1
+ d·s, si ocurre algunos de
los dos casos y luego s := s + 1.
2. Ahora vamos a seguir el algoritmo propuesto en el articulo Seara y Villanueva (2006). Por tal
motivo vamos hacer los siguientes paso:
(a) Damos el número de puntos N = 2
q
y el orden p de la interpolación, con p < q.
(b) Calculamos S
1
n
=
P
n
i=1
(LT
i
− LT
0
), con n = 1, ..., N .
(c) Ahora calculamos S
j
n
=
P
n
i=1
S
j−1
i
, con n = 1 , ..., N y j = 2, ..., p.
(d) También calculamos
˜
S
j
n
definido de la siguiente manera:
˜
S
j
n
=
n + j
j + 1
S
j
n
(e) Ahora definimos para cada orden las aproximaciones del número de rotación por:
ρ
j
=
j
X
l=0
c
(j)
l
˜
S
j
2
q−j+l
+ e(j, N)
donde c
(j)
l
= (−1)
j−l
2
l(l+1)/2
δ
l
δ
j−l
,
δ
n
:= (2
n
− 1)δ
n−1
, para n ≥ 1 y δ
0
:= 1.
e(j, N ) corresponde al error y está dado por e(j, 2
q
) = O(2
−(j+1)q
)
Observación 4.2. Podemos hacer las siguientes recursiones:
• c
(j)
0
=
(−1)
j
δ
j
, c
(j)
l
= −
2
j+1
−2
l
2
l
−1
c
(j)
l−1
102 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
• Definimos C
q
1
0
= 2
q
1
y C
q
1
j
=
2
q
1
+j
j+1
C
q
1
j−1
, y podemos ver que: C
q
1
j
=
2
q
1
+j
j+1
• Despues de calcular {S
1
n
}
N
n=1
y sabiendo que S
j
1
= S
1
1
, j = 1, ..., p, podemos hallar
recursivamente S
j
n
= S
j
n−1
+ S
j−1
n
.
Como un ejemplo de aplicación consideramos el caso µ = 0.44, ver figuras 4(a), 4(b), para lo cual
obtenemos la tabla 1 que hace referencia al cálculo del número de rotación.
Figura 4. Arriba: Órbita de los puntos hallados usando el método de bisección con el método de número
de rotación, sobre el segmento (0, π)−(0, 2π), para µ = 0.44. Abajo: zoom a la última curva invariante
hallado usado el método implementado.
Fuente: Elaboración propia.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2022, Ecuador (p. 89 -106) 103
Emilio Andrés Conforme Parrales, Oswaldo José Larreal Barreto
p ρ
q=14
ρ
q=13
E
r
(ρ
q=14
, ρ
q=13
) E
r
(p, p − 1) I(ρ
q=14
)
1 -2.0846221384127087e-01 -2.0846213644027534e-01 3.7129508558557416e-07 1
2 -2.0846224526696244e-01 -2.0846223383981585e-01 5.4816384499014627e-08 1.5075003886926894e-07 1
3 -2.0846224419701798e-01 -2.0846224248638351e-01 8.2059678192585833e-09 5.1325575548704981e-09 1
4 -2.0846224400085100e-01 -2.0846224228860283e-01 8.2137088410621569e-09 9.4101918789070995e-10 1
5 -2.0846224376334505e-01 -2.0846224448540907e-01 3.4637640210124258e-09 1.1393236254985648e-09 1
6 -2.0846224357379659e-01 -2.0846224133313460e-01 1.0748526691790140e-08 9.0926998103557690e-10 1
7 -2.0846224352723308e-01 -2.0846223056131361e-01 6.2197927344462332e-08 2.2336660234224969e-10 1
8 -2.0846224340962122e-01 -2.0846221907389795e-01 1.1673923714835980e-07 5.6418784892677785e-10 1
9 -2.0846224291086918e-01 -2.0846221769614315e-01 1.2095584158194188e-07 2.3925293746429297e-09 1
10 -2.0846224182320300e-01 -2.0846223690455210e-01 2.3594924722205231e-08 5.2175692337948088e-09 1
11 -2.0846224013379847e-01 -2.0846228466154323e-01 2.1360100870340920e-07 8.1041273078988852e-09 1
12 -2.0846223804917655e-01 -2.0846236559411946e-01 6.1183715624646998e-07 9.9999977887478037e-09 1
Tabla 1. Tabla de número de rotación para µ = 0.44. ρ ≈ −0.20846223804917655 .
Fuente: Elaboración propia.
5. CONCLUSIONES
El algoritmo implementado para determinar la última curva invariante para el standard map, puede
ser usado en otras aplicaciones, tomando en cuenta las características intrínsecas de la aplicación. El
método para el cálculo de la última curva invariante es independiente del procedimiento del cálculo
del número de rotación, motivos por los cuales puede ser usado cualquier otro método en el cálculo
de número de rotación que se considere más eficientes.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
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CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Emilio Andrés Conforme Parrales Metodología, revisión, búsqueda bibliográfica
Oswaldo José Larreal Barreto Concepción, redacción y diseño del artículo
106 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
