Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134). Edición continua

https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index

revista.bdlaciencia@utm.edu.ec

Universidad Técnica de Manabí

DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5084.

ESQUEMA DEL TIPO MODIFIED PATANKAR RUNGE–KUTTA

UTILIZANDO UNA PONDERACIÓN CONVEXA DE LOS PESOS

PATANKAR WEIGHT DENOMINATORS

Johnny Fabián Villavicencio Delgado

, Galo Javier González Hernández



Estudiante de la Maestría Académica con Trayectoria de Investigación en Matemática, Instituto de

Posgrado, Universidad Técnica de Manabí, Ecuador

Facultad de Ciencias, Universidad Central del Ecuador, Ecuador

*Autor para correspondencia: jvillavicencio3084@utm.edu.ec

Recibido: 19-08-2022/ Aceptado: 12-12-2022/ Publicación: 26-12-2022

Editor Académico: Carmen Judith Vanegas Espinoza

RESUMEN

Este trabajo presenta una introducción a los esquemas del tipo Modified Patankar Runge-Kutta (MPRK), los esquemas

numéricos MPRK resuelven sistemas de Producción Destrucción positivos y conservativos. Se presenta las principales

propiedades de los esquemas MPRK y en particular se detalla el esquema de segundo orden de dos etapas denominado

MPRK22, para luego introducir una modificación del esquema MPRK22 y presentar un nuevo esquema de segundo orden

haciendo una combinación convexa de los pesos Patankar Weight Denominators (PWD). Los resultados son confirmados

por experimentos numéricos considerando un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal.

Palabras clave: Conservativos, Modified Patankar Runge-Kutta (MPRK), Patankar Weight Denominators (PWD), Siste-

mas de Producción-Destrucción.

MODIFIED PATANKAR RUNGE-KUTTA SCHEME USING CONVEX WEIGHTING OF

THE PATANKAR WEIGHT DENOMINATORS

ABSTRACT

The following presents an introduction to the modified patankar rungekutta schemes, which are known as numeric schemes

that solve systems of production destruction positives and conservatives. It will show the main properties of MPRK

schemes, in particular it stands out the second order schemes of two stages known as MPRK22. Further, it would intro-

duce a modification of the MPRK22 scheme, and show a new scheme of second order by completing a convex combination

of the Patankar Weight Denominators (PWD).

Keywords: Conservatives, Modified Patankar RungeKutta (MPRK), Patankar Weight Denominators (PWD), Systems

of production destruction.

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134)

ESQUEMA DE TIPO PATANKAR RUNGE–KUTTA MODIFICADO USANDO UMA

PONDERAÇÃO CONVEXA DE DENOMINADORES DE PESO PATANKAR

RESUMO

Este trabalho apresenta uma introdução aos esquemas do tipo Modified Patankar RungeKutta (MPRK), o As soluções

numéricas MPRK resolvem sistemas de Destruição de Produção positivos e conservadores. Apresenta os principais pro-

priedades dos esquemas MPRK e, em particular, o esquema de segunda ordem de dois estágios chamado MPRK22, para

então introduzir uma modificação do esquema MPRK22 e apresentar um novo esquema de segunda ordem fazendo uma

combinação convexa dos Denominadores de Peso Patankar (PWD). Os resultados são confirmados por experimentos nu-

méricos considerando um sistema de equações diferenciais não lineares.

Palavras chave:Conservadores, Denominadores de Peso Patankar (PWD), Modificados Patankar Runge Kutta (MPRK),

Sistemas de Produção Destruição.

Citación sugerida: Villavicencio,J., González, G. (2022) Esquema del tipo Modified Patankar Runge–

Kutta utilizando una ponderación convexa de los pesos Patankar Weight Denominators. Revista Ba-

ses de la Ciencia, Vol. 7, (No. Especial), Diciembre, 122 -134. DOI: https://doi.org/10.33936/

revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5084

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134) 123

Johnny Fabián Villavicencio Delgado, Galo Javier González Hernández

1. INTRODUCCIÓN

Muchos problemas de ciencia e ingeniería involucran sistemas de ecuaciones diferenciales ordi-

narias (EDO), que se dan en forma de los sistemas de producción-destrucción (SPD) (Ávila y cols.,

2021). Algunas EDO tienen ”leyes de conservación”, un ejemplo típico es la conservación de la ener-

gía (Shampine, 1999).

Se considera para el presente trabajo los sistemas de producción-destrucción de la forma:

(t) = P

(y(t)) − D

(y(t)), i = 1, ..., N, (1)

con valores iniciales y

(0) = y

para i = 1, . . . , N, donde y = (y

, . . . , y

)

denota el vector so-

lución, que depende del tiempo t. Los términos producción P

y los términos destrucción D

son no

negativos, es decir P

, D

≥ 0 para i = 0..., N. Los términos de producción y destrucción se escriben

de la siguiente manera:

(y) =

j=1

(y), D

(y) =

j=1

(y), (2)

donde, d

(y) ≥ 0 es la velocidad a la que el i-ésimo componente se transforma en el j-ésimo com-

ponente, mientras que p

(y) ≥ 0 es la velocidad a la que el j-ésimo componente se transforma en el

i-ésimo componente.

Cuando se resuelve numéricamente un problema modelado por un sistema de ecuaciones diferen-

ciales ordinarias (EDO) y el esquema numérico devuelve aproximaciones negativas, los resultados

numéricos son incorrectos (Shampine y cols., 2005), en base a eso consideramos SPD positivos y

conservativos. Los SPD tienen muchas aplicaciones en la vida real, razón por la cual usaremos las

siguientes definiciones (Kopecz y Meister, 2018a):

Definición 1. El SPD (1) se llama positivo, si valores iniciales positivos y

(0) > 0 implican soluciones

positivas y

(t) > 0 para i = 1..., N, para todos los tiempos t > 0.

Definición 2. El SPD (2) es llamado conservativo, si para todo i, j = 1, ..., N, donde y ≥ 0, se tiene

(y) = d

(y). Además se dice totalmente conservativo si p

(y) = d

(y) = 0 se mantiene para todo

y ≥ 0, y i = 1, ..., N.

Si un SPD es positivo y conservativo, a menudo es esencial mantener estas propiedades numérica-

mente, ya que ignorar la conservación puede causar la acumulación de grandes errores a lo largo del

tiempo. Se remite a los lectores a los artículos de revisión (Burchard y cols., 2003) para obtener más

detalles. Las aproximaciones negativas pueden conducir a soluciones numéricas sin sentido, consulte

(Shampine, 1986) para detalles. En estos casos, los esquemas numéricos que son incondicionalmente

positivos y conservativos son ventajosos.

Se va a asumir de ahora en adelante que los SPD serán totalmente conservativos y positivos. La

siguiente definición es para que un esquema numérico cumpla la propiedad de positividad y conser-

vación (Kopecz y Meister, 2019).

124 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES

DE LA CIENCIA

Definición 3. Sea y

denotada como una aproximación de y(t

) en el nivel de tiempo t

. El método

de un solo paso

n+1

= y

+ ∆tΦ(t

, y

n+1

, ∆t),

donde Φ es una función cualquiera que relaciona t

, y

n+1

, ∆t.

El método es llamado incondicionalmente conservativo, si:

i=1

n+1

− y

) = 0

para todo n ∈ N y ∆t > 0.

Es llamado incondicionalmente positivo si garantiza y

n+1

> 0 para todo ∆t > 0 y y

> 0.

Si p

= d

̸= 0 para algunos i ∈ 1, ..., N en (2), puede ser escrita de la siguiente manera:

(y) − D

(y) =

j=1;j̸=i

(y) − d

(y)) + p

(y) − d

(y)

| {z }

j=1;j̸=i

(y) − d

(y)).

Configurando ep

= p

= d

, para i ̸= j y ep

= 0, obtenemos:

(y) − D

(y) =

j=1

(

(y) −

(y)).

Si un SPD es conservativo, la suma de sus constituyentes

i=1

(t) permanece constante en el tiem-

po, ya que tenemos:

i=1

(y) − D

(y)) =

i,j=1

(y) − d

(y)) =

i,j=1

(y) − d

(y))

| {z }

= 0.

Existen muchos casos de interés práctico que se pueden modelar mediante problemas de valor

inicial positivo, como ejemplos típicos se mencionan los problemas de reacción, difusión y advección

o una mezcla de ellos,donde las incógnitas son cantidades similares a concentraciones que también

son positivas por su naturaleza física. Muy a menudo, se requiere la solución numérica de estos para

reflejar rigurosamente la propiedad física, por lo que se necesita investigar los métodos numéricos

aplicados a estos problemas y determinar si cumplen con preservación de la propiedad de positividad

(Horváth, 2005). Existen varias obras que confían en la idea de realizar combinaciones convexas, es

decir: primero se prueba la propiedad de conservación de la positividad para el esquema directo de

Euler explícito de primer orden y luego obtener un esquema de orden superior en base al tiempo,

mediante el uso de la discretización de tiempo Runge-Kutta (RK) (Huang y Shu, 2019). El esquema

Modificado Patankar-Euler y el Modificado Patankar Runge-Kutta fueron introducidos en (Burchard

y cols., 2003) para garantizar la conservación y la positividad de la solución numérica de un PDS con-

servativo y positivo. Ambos esquemas son miembros de la clase más general de esquemas Modified

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134) 125

Johnny Fabián Villavicencio Delgado, Galo Javier González Hernández

Patankar-Runge-Kutta (MPRK) (Kopecz y Meister, 2018a).

El esquema modified Patankar-Euler es definido por:

n+1

= y

+ ∆t

j=1

)

n+1

− d

)

n+1

, i = 1, ..., N,

es incondicionalmente positivo y conservativo de primer orden de exactitud. Se le entiende como

una modificación del método de Euler explicito, en el que los términos de producción y destrucción

se ponderan de manera que se asegure la positividad incondicional y la conservación de la solución

numérica. Se observa también que se pierde la explicitud del esquema de Euler y se requiere la solución

de un sistema lineal de tamaño N ×N para obtener la aproximación en el siguiente nivel de tiempo;

incluso cuando el SPD no es lineal, solo se debe resolver un sistema lineal.

El esquema Modified Patankar-Runge-Kutta de segundo orden esta definido por:

(2)

= y

+ ∆t

j=1

)

(2)

− d

)

(2)

n+1

= y

∆t

j=1



) + p

(2)

)



n+1

(2)

−



) + d

(2)

)



n+1

(2)

para i = 1, ..., N, y se ha probado que ha sido satisfactoriamente aplicado a varias aplicaciones bioló-

gicas de la vida real (Kopecz y Meister, 2018b).

2. ESQUEMA MODIFICADO PATANKAR-RUNGE-KUTTA

Un método explícito de Runge-Kutta de k etapas para la solución de una ecuación diferencial or-

dinaria y

′

(t) = f(t, y(t)) viene dada por:

(k)

= y

+ ∆t

k−1

v=1

f(t

+ c

∆t, y

(v)

), k = 1, ..., s,

n+1

= y

+ ∆t

k=1

f(t

+ c

∆t, y

(k)

)

Este método se caracteriza por sus coeficientes a

, b

, c

para k = 1, ..., s, v = 1, ..., k − 1, se lo

puede representar mediante la tabla de Butcher.

c A

con A = (a

)

k,v=1,...,s

, c = (c

, ..., c

)

y b = (b

, ..., b

). Aplicándola en (1), el método se

expresa de la siguiente manera:

(k)

= y

+ ∆t

k−1

v=1

j=1



(k)

) − d

(k)

)



, k = 1, ..., s, (3)

126 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES

DE LA CIENCIA

n+1

= y

+ ∆t

k=1

j=1



(k)

) − d

(k)

)



. (4)

La idea de los esquemas modificados Patankar-Runge-Kutta es adaptar esquemas explícitos de Runge-

Kutta de tal manera que se vuelvan positivos independientemente del tamaño del paso de tiempo ∆t

elegido, mientras mantienen su propiedad inherente de ser conservadores. Un enfoque para lograr la

positividad incondicional es el llamado truco de Patankar, que consiste en modificar (4) agregando

una ponderación de los términos de destrucción como (Kopecz y Meister, 2018a):

n+1

= y

+ ∆t

k=1

j=1



(k)

) − d

(k)

n+1

)



de donde se obtiene

n+1

+ ∆t

k=1

j=1

(k)

)

1 + ∆t

k=1

j=1

(k)

)/σ

Por lo tanto, si y

, los pesos b

para k = 1, ..., s y σ

son positivos, así es y

n+1

. La idea central del

truco de Patankar es multiplicar los términos de destrucción con pesos que comprenden y

n+1

como

un factor en sí mismos.

Ponderando solo los términos de destrucción resultará en un esquema no conservador; por lo tanto, los

términos de producción también deben ponderarse. Como tenemos d

(y) = p

(y), el peso adecuado

para p

(k)

) es y

n+1

/σ

. (Kopecz y Meister, 2018a)

De lo anteriormente mencionado en (Kopecz y Meister, 2018a) presentan la siguiente definición.

Definición 4. Dada una matriz de Runge-Kutta no negativa A = (a

)

i,j=1,...,s

, ponderaciones no

negativas b

, ..., b

y δ ∈ {0, 1}, el esquema

(k)

= y

+ ∆t

k−1

v=1

j=1

(v)

)(1 − δ) + p

(v)

)

(k)

δ − d

(v)

)

(k)

, (5)

n+1

= y

+ ∆t

k=1

j=1

(k)

)

n+1

− d

(k)

)

n+1

(6)

y σ

, π

(k)

son funciones reales para k = 1, ..., s y i = 1, ..., N, se llama esquema modificado Patankar-

Runge-Kutta (MPRK) si:

1. π

(k)

y σ

son incondicionalmente positivos para k = 1, ..., s y i = 1, ..., N.

2. π

(k)

es independiente de y

(k)

y σ

es independiente de y

n+1

para k = 1, ..., s y i = 1, ..., N.

Las ponderaciones 1/σ

y 1/π

(k)

se denotan PWD por sus siglas en inglés (Patankar Weight Deno-

minators).

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134) 127

Johnny Fabián Villavicencio Delgado, Galo Javier González Hernández

Las siguientes observaciones comentan sobre los parámetros libres en la definición de esquemas

MPRK. El parámetro δ ∈ {0, 1}, si en (5) δ = 1, el esquema es conservativo y si δ = 0, el esquema

no es conservativo. En este trabajo consideramos δ = 1.

Se necesita que σ sea independiente de y

n+1

para asegurar la positividad y la linealidad implícita

del esquema. Si se elige σ

= y

n+1

, terminamos con el esquema original de Runge-Kutta, que no es

incondicionalmente positivo. Si σ

fuera una función no lineal de y

n+1

, tendríamos que resolver un

sistema no lineal en lugar de uno lineal para calcular y

n+1

; por la misma razón, requerimos que π

(k)

sea independiente de y

(k)

. Se puede tener la impresión que σ

y π

(k)

permanecen constantes durante

la integración de tiempo. Como se puede observar, se eligen como funciones de los valores de etapa

en todos los esquemas siguientes. Por lo tanto, cambiarán de un paso de tiempo a otro. Pero en aras de

la simplicidad, esto no se reflejará en la notación. La Definición (4) se formula para parámetros de

Runge-Kutta no negativos;pero también se pueden diseñar esquemas MPRK con parámetros Runge-

Kutta negativos. En este caso, se debe intercambiar la ponderación de los términos de producción y

destrucción que se multiplican por la ponderación negativa. Este procedimiento asegurará la positivi-

dad incondicional del esquema, pero puede tener un impacto en los requisitos necesarios para obtener

un cierto orden de precisión. Para evitar múltiples distinciones de casos, exigimos parámetros posi-

tivos de Runge-Kutta. Los esquemas MPRK originales, así como los esquemas MPRK novedosos,

utilizan y

como PWD en la primera etapa del esquema; de esta manera se explica la restricción a

valores iniciales positivos en la Definición (1), ya que los valores iniciales cero llevarían a divisiones

entre ceros.

En muchos casos los términos de destrucción son de la forma D

(y) = F

(y)y

con funciones conti-

nuas F

. Esto permite cancelar las PWD en el esquema MPRK y se pueden manejar valores iniciales

cero.

Debido a la introducción de los pesos de Patankar, es necesario resolver sistemas lineales de tamaño

N×N para obtener los valores de etapa y la aproximación en el siguiente nivel de tiempo; considerando

= d

= 0 para i = 1, ..., N,, el esquema (5) se puede escribir en notación matriz - vector:

(k)

= y

+ (1 − δ)∆t

k−1

v=1

P(y

(v)

) k = 1, ..., s, (7)

n+1

= y

, (8)

Donde P(y

) = (P

), ..., P

))

(k)

= 1 + ∆t

k−1

v=1

j=1

(v)

)/π

(k)

> 0, i = 1, ..., N, (9)

(k)

= −∆tδ

k−1

v=1

(v)

)/π

(k)

⩽ 0, i, j = 1, ..., N, i ̸= j

3. ESQUEMA MODIFICADO DE PATANKAR RUNGE–KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

El esquema MPRK de segundo orden introducido en (Burchard y cols., 2003) es una modificación

del método de Heun. Un esquema MPRK con dos etapas se representa de la siguiente manera:

(1)

= y

, (10)

128 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES

DE LA CIENCIA

(2)

= y

+ a

∆t

j=1

(1)

)(1 − α) + p

(1)

)

(2)

α − d

(1)

)

(2)

, (11)

n+1

= y

+ ∆t

j=1

(1)

) + b

(2)

)

n+1

− (b

(1)

+ b

(2)

)

n+1

, (12)

El siguiente teorema presenta las condiciones necesarias y suficientes para la precisión de segundo

orden de los esquemas MPRK de dos etapas, ver (Kopecz y Meister, 2018a).

Dados los parámetros no negativos de un esquema explícito de Runge-Kutta de segundo orden, esto

es:

+ b

= 1, a

el esquema MPRK (12) es de segundo orden, si y solo si cumple las siguientes condiciones:

= y

+ O(∆t), i = 1, ..., N,

= y

+ ∆t(P

− D

) + O(∆t

), i = 1, ..., N.

Para visualizar la convergencia del esquema, utilizamos los errores de truncamiento local e identifica-

mos y

a la solución aproximada de y

) para i = 1, ..., N,. En vista que estamos tratando con PDS

positivos asumimos que y

> 0 para i = 1, ..., N,

Asumiendo que α ̸= 0, la tabla de Butcher proporciona un esquema general explícito de Runge-Kutta

de dos etapas de segundo orden.

α α

1 −

2α

Para hacer del esquema (10,11,12) un esquema MPRK positivo, se debe asegurar la no negatividad de

los parámetros de Runge-Kutta a

= α, b

= 1 − 1/(2α), y b

= 1/(2α); por lo tanto, tenemos que

restringir α a α ⩾ 1/2. Ejemplos destacados son el método de Heun (α = 1), el método de Ralston

(α = 2/3) y el método del punto medio (α = 1/2).

Para α ⩾ 1/2 , se introduce una familia de un parámetro de esquemas MPRK de dos etapas de segundo

orden.

(1)

= y

, (13)

(2)

= y

+ α∆t

j=1

, y

(1)

)

(2)

(1)

− d

, y

(1)

)

(2)

(1)

, (14)

n+1

= y

+ ∆t

j=1





(1 −

2α

, y

(1)

) +

2α

, y

(2)

)



n+1

(2)

)

1−

−



(1 −

2α

, y

(1)

) +

2α

, y

(2)

)



n+1

(2)

)

1−



(15)

para i = 1, ..., N,, esta familia de esquemas son denotados por MPRK22(α).

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134) 129

Johnny Fabián Villavicencio Delgado, Galo Javier González Hernández

4. MÉTODO Y DESARROLLO

Siguiendo la sugerencia de Kopecz y Meister (Kopecz y Meister, 2018a) de hacer una combinación

convexa de los PWD, encontramos un nuevo esquema que depende de dos parámetros, esté esquema

podría tener mas variedad de posibilidades para mejorar la aproximación numérica de los modelos

de prueba. Para comprobar los resultados numéricos del nuevo esquema, se utilizó el mismo test no

lineal que plantean los autores anteriomente mencionados.

4.1. Nuevo Esquema MPRKW22(α, ω) de segundo orden

El nuevo esquema de dos parámetros α y ω esta definido por

n+1

= y

+ ∆t

j=1





(1 −

2α

, y

(1)

) +

2α

, y

(2)

)



n+1

ωy

(

(2)

(n)

)

+(1−ω)y

(

(2)

(n)

)

−



(1 −

2α

, y

(1)

) +

2α

, y

(2)

)



n+1

ωy

(

(2)

(n)

)

+(1−ω)y

(

(2)

(n)

)



con 0 ≤ ω ≤ 1 y s

αωs

α(ω−1)

, donde s

≥ 0.

Este esquema mantiene las propiedades de los esquemas MPRK y las dos primeras etapas se cal-

culan con las mismas formulas del esquema MPRK.

Dado que el nuevo esquema propuesto está basado en el MPRK, el cual es un esquema de segundo

orden de exactitud y debido a que los PWD están dados por una combinación convexa, las propiedades

del orden de exactitud se mantienen para el nuevo esquema propuesto, es decir el MPRKW22 es de

segundo orden de exactitud. Para una revisión más detallada del orden ver (Kopecz y Meister, 2018a).

4.2. Test no Lineal

A continuación se presenta un ejemplo de test no lineal, este sistema representa un problema bio-

geoquímico para la descripción de un modelo de un florecimiento de algas, que transforma nutrientes

) vía fitoplancton (y

) en detrito (y

). (Burchard y cols., 2003)

′

(t) = −

(t)y

(t)

(t)+1

, y

′

(t) =

(t)y

(t)

(t)+1

− 0.3y

(t), y

′

(t) = 0.3y

(t)

con

(t, y(t)) = d

(t, y(t)) =

(t)y

(t)

(t)+1

, p

(t, y(t)) = d

(t, y(t)) = 0.3y

(t).

130 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES

DE LA CIENCIA

5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En las simulaciones numéricas desarrolladas en el programa Matlab, se usaron las condiciones

iniciales y

(0) = 9.98, y

(0) = 0.01 y y

(0) = 0.01. La solución es aproximada sobre el intervalo de

tiempo [0, 30].

Se utilizó valores para ω = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y s

con α = 1/2 fijo.

0 5 10 15 20 25 30

Σ y

num

Σ y

num

((a)) ω = 0, s

0 5 10 15 20 25 30

Σ y

num

Σ y

num

((b)) ω = 0.2, s

Figura 1. Valores para ω (0, 0.2)

0 5 10 15 20 25 30

Σ y

num

Σ y

num

((a)) ω = 0.4, s

0 5 10 15 20 25 30

Σ y

num

Σ y

num

((b)) ω = 0.6, s

Figura 2. Valores para ω (0.4, 0.6)

Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 122 -134) 131

Johnny Fabián Villavicencio Delgado, Galo Javier González Hernández

0 5 10 15 20 25 30

Σ y

num

Σ y

num

Figura 3. ω = 0.8, s

Como podemos observar en la gráficas anteriores, el método numérico aplicado cumple las pro-

piedades de ser conservativo y positivo; además los resultados obtenidos para diferentes valores de ω

se comprueba que el esquema es de segundo orden, tal como se muestra en la siguiente gráfica:

−3

−2

−1

−5

−4

−3

−2

−1

∆ t

MPRK22PWD(0.50, 0.00)

MPRK22PWD(0.50, 0.20)

MPRK22PWD(0.50, 0.40)

MPRK22PWD(0.50, 0.60)

MPRK22PWD(0.50, 0.80)

Figura 4. Error del esquema numérico para diferentes valores de ω, se usa escala logarítmica

6. CONCLUSIONES

En este artículo se pudo comprobar que el esquema MPRKW22 es de segundo orden de exactitud

(ver Figura 4), para varios valores de ω = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 se obtiene menor error de truncamiento.

La Figura 4 muestra que para ∆t = 1 el esquema con menor error de truncamiento corresponde a

ω = 0.8 y para ∆t = 10

−2

el esquema con menor error de truncamiento corresponde a ω = 0.6.

El esquema implementado es incondicionalmente positivo y conservativo como se aprecia en los grá-

ficos anteriores resuelve satisfactoriamente el modelo test no lineal.

El valor de ω nos permite encontrar diferentes opciones en los resultados numéricos, como tópico de

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DE LA CIENCIA

investigación futura es encontrar cual es la combinación óptima de los parámetros que produzcan el

menor error de truncamiento.

RECOMENDACIÓN: Un tópico de investigación futura, es determinar el valor óptimo de ω que

minimice el error de truncamiento y que permita obtener la mejor aproximación de la solución exacta

al modelo no lineal.

7. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES

Los autores declaran no tener conflicto de intereses.

8. REFERENCIAS

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CONTRIBUCIÓN DE AUTORES

Autor Contribución

Johnny Fabián Villavicencio Delgado Metodología, revisión y búsqueda bibliográfica.

Galo Javier González Hernández Concepción y redacción.

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