Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador p. 256 -270. Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5090.
UN ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE
Elvin Eduardo Loor Bermeo
1
, Adrián Ramón Infante Linares
2
1
Instituto de Posgrado Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador.
Email: eloor4609@utm.edu.ec
2
Universidad Internacional de Valencia, Valencia, España.
Email: ainfante@usb.ve
*Autor para correspondencia: elvin.loor@educacion.gob.ec
Recibido: 21-08-2022/ Aceptado: 13-12-2022/ Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas Espinoza
RESUMEN
En este artículo se presentan los polinomios de Laguerre complejo L
(α−k)
k
(z), junto con algunas expresiones que resultan
a partir de ellos, que aparecen utilizando definiciones mencionadas en el texto. Además, se realiza una revisión de las
propiedades de los polinomios de Laguerre y su convergencia en media, estudiada por varios autores a lo largo de la
historia. La convergencia de los polinomios de Laguerre empieza con los estudios de Pollard, que plantea que para que se
cumpla lim
N−→∞
R
b
a
f(x) −
P
N
0
a
n
P
n
(x)
p
dF (x) = 0, entonces p = 2, luego Askey y Wainger plantean una función
de Laguerre L
α
n
(x) = x
α/2
r
n
exp(−x/2)L
α
n
(x) que converge si 4/3 < p < 4. En la siguiente investigacion, Muckenhoupt
indica que en los polinomios de Laguerre, los términos no convergerán a 0 en la media si p no está entre 4/3 y 4, pero esta
vez probando que p es un número fijo que satisface 1 ≤ p ≤ 4/3 o 4 ≤ p ≤ ∞. Luego, el mismo Muckenhoupt generaliza
los resultados de Askey y Wainger para la convergencia media con 1 < p < ∞. Los resultados mejoran en términos de las
funciones de peso, su investigación se basa en desigualdades que requerían una función de ponderación mayor en el lado
derecho que en el izquierdo:
R
∞
0
|S
α
n
(f, x)U (x)|
p
dx ≤ C
R
∞
0
|f(x)V (x)|
p
dx. Mas adelante, Poiani prueba inecuaciones
de la forma ∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f (x)W (x)∥
p
donde σ
n
es la enésima (C, 1) convergencia de la serie de Laguerre de
f, W (x) la funcion peso de una forma particular y la norma L
p
es tomada sobre (0, ∞), aqui solo se utiliza una función
de peso. Por último, se encuentra la investigación realizada por Mario Riera, quien estudia dicha convergencia con deltas
de Dirac, en este caso para Laguerre con una delta en el cero.
Palabras clave: Convergencia, ortogonalidad, polinomios de Laguerre.
A STUDY OF THE LAGUERRE POLYNOMIALS
ABSTRACT
In this article the complex Laguerre polynomials L
(α−k)
k
(z) are presented, together with some expressions that result from
them, which appear using definitions mentioned in the text. In addition, a review of the properties of the Laguerre poly-
nomials and their convergence in mean, studied by various authors throughout history, is carried out. The convergence of
the Laguerre polynomials begins with the studies of Pollard, who posits that for it to be fulfilled
lim
N−→∞
R
b
a
f(x) −
P
N
0
a
n
P
n
(x)
p
dF (x) = 0, then p = 2,then Askey and Wainger pose a Laguerre function L
α
n
(x) =
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270)
x
α/2
r
n
exp(−x/2)L
α
n
(x) which converges if 4/3 < p < 4. In the following investigation, Muckenhoupt indicates
that in the Laguerre polynomials, the terms will not converge to 0 at the mean if p is not between 4/3 and 4, but
this time proving that p is a fixed number that satisfies 1 ≤ p ≤ 4/3 or 4 ≤ p ≤ ∞. Then the same Mucken-
houpt generalizes Askey and Wainger’s results for mean convergence with 1 < p < ∞. The results improve in terms
of weighting functions, their research is based on inequalities that required a larger weighting function on the right
side than on the left
R
∞
0
|S
α
n
(f, x)U (x)|
p
dx ≤ C
R
∞
0
|f(x)V (x)|
p
dx. Later, Poiani proves inequalities of the form
∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f(x)W (x)∥
p
where σ
n
is the nth (C, 1) convergence of the Laguerre series of f , W (x) the weight
function of a particular form and the norm L
p
is taken over (0, ∞), here only a weight function is used. Finally, there is
the research carried out by Mario Riera, who studies said convergence with Dirac deltas, in this case for Laguerre with a
delta at zero
Keywords: Convergence, Laguerre polynomials, orthogonality.
UM ESTUDO DOS POLINÔMICOS DE LAGUERRE
RESUMO
Neste artigo são apresentados os complexos polinômios de Laguerre L
(α−k)
k
(z), juntamente com algumas expressões
deles resultantes, que aparecem usando as definições mencionadas no texto. Além disso, é realizada uma revisão das
propriedades dos polinômios de Laguerre e sua convergência em média, estudadas por vários autores ao longo da história.
A convergência dos polinômios de Laguerre começa com os estudos de Pollard, que afirma que para
lim
N−→∞
R
b
a
f(x) −
P
N
0
a
n
P
n
(x)
p
dF (x) = 0, então p = 2, então Askey e Wainger postulam uma função Laguerre
L
α
n
(x) = x
α/2
r
n
exp(−x/2)L
α
n
(x) que converge se 4/3 < p < 4. Na investigação a seguir, Muckenhoupt indica que nos
polinômios de Laguerre, os termos não convergirão para 0 na média se p não estiver entre 4/3 e 4, mas desta vez provando
que p é um número corrigido que satisfaz 1 ≤ p ≤ 4/3 ou 4 ≤ p ≤ ∞. Então o próprio Muckenhoupt generaliza
os resultados de Askey e Wainger para convergência média com 1 < p < ∞. Os resultados melhoram em termos das
funções de peso, sua investigação é baseada em desigualdades que exigiram uma função de peso maior no lado direito
do que no esquerdo:
R
∞
0
|S
alf a
n
(f, x)U (x)|
p
dx ≤ C
R
∞
0
|f(x)V (x)|
p
dx. Mais adiante, Poiani prova desigualdades da
forma ∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f ( x ) W ( x) ∥
p
onde σ
n
é a enésima convergência (C, 1) da série de Laguerre de f, W (x) a
função peso de uma forma particular e a norma L
p
é assumido (0, ∞), aqui apenas uma função de peso é usada. Finalmente,
há a pesquisa realizada por Mario Riera, que estuda a referida convergência com deltas de Dirac, neste caso para Laguerre
com delta em zero.
Palavras chave: Convergência, ortogonalidade, polinômios de Laguerre.
Citación sugerida: Loor, E., Infante, A., (2022) Un estudio de los polinomios de Laguerre comple-
jo. Revista Bases de la Ciencia, 7, (No. Especial), Diciembre, p. 256-270.
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5090
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 257
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
1. INTRODUCCIÓN
Los polinomios generalizados de Laguerre, ver Szego (1939), Aloui y Khériji (2019), Gadzhimir-
zaev (2020), Riahifar y Matinfar (2018), Ali (2021) pertenecen a la familia de polinomios clásicos
ortogonales, éstos polinomios se pueden definir mediante la aplicación de la fórmula de Rodrigues
como: e
−x
x
α
L
α
n
= (
d
dx
)
n
(e
−x
x
α+n
) para α > −1, cuando α = 0, los polinomios generalizados
de Laguerre se conocen con el nombre de polinomios de Laguerre, cuya fórmula de Rodrigues es
e
−x
L
n
= (
d
dx
)
n
(e
−x
x
n
).
Como toda familia de polinomios ortogonales, los polinomios de Laguerre cumplen con propieda-
des tales como: posee una función generatriz, tiene una fórmula de recurrencia, ortogonalidad, entre
otras. Damos una definición que extiende a los polinomios de Laguerre al plano complejo, L
(α−k)
k
(z).
Por otra parte, el estudio de la convergencia de los polinomios de Laguerre se inicia con la investi-
gacion realizada por Pollard, el cual concluye que si lim
N−→∞
R
b
a
f(x) −
P
N
0
a
n
P
n
(x)
p
dF (x) = 0,
el valor de p debe ser 2 para que se cumpla la convergencia; luego, aparece la investigación hecha
por Askey y Wainger, quienes proponen una ”función de Laguerre” cuyos valores de p se encuentran
entre 3/4 y 4, cumpliendose ∥S
n
− f ∥
p
→ 0, cuando n → ∞.
Continúa con esta línea de investigación Muckenhoupt, quien realiza dos estudios acerca del tema
tratado, el primero demuestra que los valores de p deben estar entre 3/4 y 4, al igual que lo que dice
Askey y Wainger, pero esta vez él demuestra probando que si 1 ≤ p ≤ 4/3 o 4 ≤ p ≤ ∞, la
convergencia no se cumple. El segundo estudio lo generaliza para 1 < p < ∞, aquí se plantean dos
funciones: U (x) = e
−x/2
x
α/2
(x/(1 + x))
α
(1 + x)
b
y V (x) = (x/(1 + x))
A
(1 + x)
B
(1 + log
+
x)
β
donde B = 1 si b = B, p es 4/3 o 4 y β = 0 caso contrario, luego se asumierón varias estimaciones
para llegar a la integral
R
∞
0
|S
α
n
(f, x)U(x)|
p
dx ≤ C
R
∞
0
|f(x)V (x)|
p
dx, siendo la función del lado
derecho de mayor ponderación que la del izquierdo, obteniendose el resultado de la convergencia:
lim
n→∞
R
E
[|S
α
n
(x) − f(x)|U(x)]
p
dx = 0.
A continuación Poiani muestra la convergencia mediante inecuaciones, tomando la función peso
de una forma particular: W (x) = e
−x/2
x
α/2
(x/(1 + x))
α
(1 + x)
b
, y contrario de Muckenhoupt, sólo
utiliza una función para su caso. Para finalizar se encuentra la investigación hecha por Mario Riera,
quien propone la convergencia con deltas de Dirac, en este caso con una delta en el cero para los
polinomios de Laguerre.
En este trabajo se muestran las propiedades de los polinomios de Laguerre real y la convergencia
de éstos, y se presentan nuevos resultados de los polinomios de Laguerre complejo.
2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE
En la primera parte de este trabajo vamos a introducir las definiciones y propiedades necesarias
para caracterizar a los polinomios de Laguerre, éstas son propiedades que poseen los polinomios orto-
gonales en general, pero describimos el caso de los polinomios de Laguerre para recopilar y entender
su naturaleza. Los polinomios de Laguerre son una sucesión de polinomios ortogonales denotados
por L
n
(x), n = 0, 1, . . . , y definidos para x en el intervalo [0, ∞) con respecto al producto escalar
definido por el peso w(x) = e
−x
.
⟨L
n
, L
m
⟩ =
Z
∞
0
L
n
(x)L
m
(x)e
−x
dx = δ
n,m
.
258 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Siendo δ
n,m
la delta de Kronecker definida por
δ
n,m
=
(
1, si n = m
0, si n ̸= m
Una característica que tienen los polinomios ortogonales es la fórmula de Rodrigues, que para el peso
e
x
nos permite definir a los polinomios de Laguerre
L
n
(x) = e
x
d
n
dx
n
x
n
e
−x
.
(1)
Estudiaremos análogamente a los polinomios de Laguerre generalizados, que es natural ya que pode-
mos definir los polinomios generalizados de Laguerre por la expresión
L
α
n
(x) = x
−α
e
x
d
n
dx
n
x
n+α
e
−x
para α > −1. (2)
Observemos que los polinomios de Laguerre se obtienen del generalizado con α = 0.
Los polinomios de Laguerre L
n
y Laguerre generalizados L
α
n
cumplen las siguientes propiedades, para
demostraciones y más detalles ver Szego (1939), Torres y cols. (2017), Shao y cols. (2016), Kim y
cols. (2016), Aktaş y Erkuş-Duman (2013), Qi (2018).
• Representación explícita
Los polinomios L
n
(x) son polinomios de grado n. Podemos escribir algunos términos en forma
explícita
L
0
= 1, L
1
= −x + 1, L
2
=
1
2
(x
2
− 4x + 2),
L
n
(x) = 1 −
n
1
x
1!
+
n
2
x
2
2!
− . . . + (−1)
n
n
n
−x
n
n!
.
En el caso de los polinomios generalizados de Laguerre, se tiene
L
α
n
(x) =
n
X
ν=0
n + α
n − ν
(−x)
ν
ν!
,
cuyos primeros téminos son
L
α
0
(x) = 1, L
α
1
(x) = −x + α + 1, L
α
2
(x) =
1
2
(1 + α)(2 + α) − (2 + α)x +
1
2
x
2
.
• Función generatriz
En todos los polinomios ortogonales se puede definir una función generatriz G(x, t), como
desarrollo en serie de potencias t, que en el caso de los polinomios de Laguerre es dada por
G(x, t) =
1
1 − t
e
−xt
1−t
=
∞
X
n=0
L
n
(x)
n!
t
n
, (3)
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 259
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
y en el caso de los polinomios generalizados de Laguerre la función generatriz
G
α
(x, t) =
1
(1 − t)
α+1
e
−xt
1−t
=
∞
X
n=0
L
α
n
(x)
n!
t
n
.
La función generatriz es usada usualmente como definición de los polinomios de Laguerre.
• Fórmula de recurrencia
De la función generatriz G(x, t) dada por (3), derivando con respecto a t y realizando unos
ciertos cálculos, obtenemos la fórmula de recurrencia a tres términos
L
n+1
(x) + L
n
(x)(−2n − 1 + x) + n
2
L
n−1
(x) = 0, n = 1, 2, 3 , . . .
Para los polinomios generalizados de Laguerre, tenemos
nL
α
n
(x) = (−x + 2n + α − 1)L
α
n−1
(x) − (n + α − 1)L
α
n−2
(x), n = 2, 3, 4 , . . .
La fórmula de recurrencia para la derivada es
d
dx
L
α
n
(x) = −L
α+1
n−1
(x) = x
−1
{nL
α
n
(x) − (n + α)L
α
n−1
(x)}, n = 1, 2, 3 , . . .
• Ortogonalidad
El producto interno con el peso w(x) = e
−x
proporciona la ortogonalidad para los polinomios
de Laguerre
Z
∞
0
L
m
(x)L
n
(x)e
−x
dx = (n!)
2
δ
n,m
n, m = 0, 1, 2, . . .
La ortogonalidad para los polinomios generalizados de Laguerre viene dada por
Z
∞
0
e
−x
x
α
L
α
n
(x)L
α
m
(x)dx = Γ(α + 1)
n + α
n
= δ
nm
n, m = 0, 1, 2, . . .
donde Γ es la función Gamma dada por Γ(t) =
R
∞
0
x
t−1
e
−x
dx. Si n ∈ Z
+
, entonces Γ(n) =
(n − 1)!
• Ecuación de Laguerre
Los polinomios de Laguerre son soluciones de las ecuaciones diferenciales
xy
′′
+ (1 − x)y
′
+ ny = 0 , y = L
n
(x).
Para la ecuación generalizada de Laguerre
xy
′′
+ (α + 1 − x)y
′
+ λy = 0, y = L
α
n
(x).
• Kernel para los polinomios generalizados de Laguerre
La siguiente ecuación representa el núcleo de los polinomios generalizados de Laguerre
Γ(α + 1)K
α
n
=
n
X
ν=0
ν + α
ν
−1
L
α
ν
(x)L
α
ν
(y)
= (n + 1)
n + α
n
−1
L
α
n
(x)L
α
n+1
(y) − L
α
n+1
(y)L
α
n
(x)
x − y
.
260 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
• Serie hipergeométrica para los polinomios generalizados de Laguerre
La representación de los polinomios generalizados de Laguerre como serie hipergeométrica es:
L
α
n
(x) =
n + α
n
.
1
F
1
(−n; α + 1; x), n = 0, 1, 2, 3, ...
donde
1
F
1
(a; c; x) = lim
ϵ→0
F
a,
1
ϵ
; c; ϵx
=
P
∞
r=0
(a)
r
(c)
r
r!
x
r
es la función hipergeométrica con-
fluente de Kummer.
3. POLINOMIOS DE LAGUERRE COMPLEJO
Utilizaremos la representación dada por Kazmin (1969) de la sucesión de Laguerre
{(−1
n
)n!L
α−n
n
(x)} α > −1:
(1 − t)
α
e
xt
=
∞
X
n=0
(−1)
n
L
α−n
n
(x)t
n
, α > −1. (4)
Ya se ha obtenido la extensión de los polinomios de Laguerre para el caso del Análisis de Clifford,
ver Cacao (2011); Malonek (2011). Vamos a construir los polinomios de Laguerre en el caso de una
variable compleja a partir de la función generadora (4).
La función exp(w, z) se define para x, y ∈ C
exp(w, z) =
∞
X
k=0
1
k!
z
k
w
k
.
Para definir los polinomios de Laguerre complejo usaremos la siguiente definición del polinomio de
Laguerre
(1 − w)
α
exp(w, z) =
∞
X
k=0
(−1)
k
L
(α−k)
k
(z)w
k
. (5)
La generalización del combinatorio lo definimos por
n
k
=
0, si n < m, ∀α ∈ R
1, si n = m, ∀α ∈ R
α(α−1)...(α−n+1)
n!
, si α ∈ R − Z
+
, n > 0
α(α−1)...(α−n+1)
n!
, si α ∈ Z
+
, n ∈ Z, α ≥ n > 0
0, si α ∈ Z
+
, n ∈ Z
+
, 0 < α < n.
Asi podemos escribir
(1
−
w
)
α
=
∞
X
k=0
n
k
w
k
.
Con esta notación, obtenemos la fórmula (5), la cual se puede expresar como series
∞
X
k=0
α
k
w
k
∞
X
k=0
z
k
k!
w
k
=
∞
X
n=0
(−1)
n
L
α−n
n
(z)w
n
, α > −1.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 261
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
Realizamos el producto
∞
X
n=0
n
X
k=0
α
n − k
1
(n − k)!
z
n−k
w
n
=
∞
X
n=0
(−1)
n
L
α−n
n
(z)w
n
.
Igualando los coeficientes
∞
X
n=0
n
X
k=0
α
n − k
z
n−k
(n − k)!
= (−1)
n
L
α−n
n
(z).
Obtenemos la fórmula que permite definir los polinomios de Laguerre complejo
∞
X
k=0
α
k
z
k
k!
= (−1)
n
L
α−n
n
(z).
4. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER-LAGUERRE
En esta sección vamos a presentar los coeficientes de Fourier-Laguerre en el espacio para funciones
[0, ∞) → R tales que para todo n ∈ N, f (x)L
n
(x)e
−x
∈ L
1
([0, ∞)) y como los polinomios de
Laguerre es un sistema de funciones completo ya que cada función continua de cuadrado integrable
puede ser aproximada por su desarrollo en series de Fourier-Laguerre. Presentaremos los resultados
en este sentido.
El primer resultado que presentaremos es de Pollard (1946), para una familia de polinomios orto-
gonales en general.
Sea F (x) una función creciente en (a, b), y sean P
n
(x) los polinomios ortonormales asociados.
Entonces para m, n = 0, 1, 2, ...
Z
b
a
P
m
(x)P
n
(x)dF (x) = δ
m,n
,
donde a cada función f(x ) , le corresponde una expansión formal:
f(x) ∼
X
a
n
P
n
(x),
a
n
=
Z
b
a
f(x)P
n
(x)F (x).
(6)
Supongamos que f (x) pertenece a L
p
F
, el espacio de las funciones F − medible tal que
R
b
a
|f|
p
dF (x)
existe como una integral de Lebesgue, entonces nos planteamos la siguiente interrogante ¿para que
valores de p la serie (6) converge a f(x) en el sentido:
lim
N−→∞
Z
b
a
f(x) −
N
X
0
a
n
P
n
(x)
p
dF (x) = 0?
262 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
En el lenguaje del análisis funcional: ¿para que valores de p los polinomios ortogonales asociados con
F ( x) forman una base en L
p
F
? Si F
′
(x) = (1−x
2
)
λ−1/2
, − 1 < x < 1, λ ̸= 0, entonces los polinomios
asociados a F (x) forman una base en L
p
F
(−1, 1) si:
2 −
1
λ + 1
< p < 2 +
1
λ
, (7)
pero no si 1 ≤ p < 2 −
1
λ+1
o p > 2 +
1
λ
. Como observación del teorema se tiene:
(i) Si λ = 0 resulta el teorema de convergencia de series de Fourier por M. Riesz.
(ii) Si λ = 1/2 el teorema establece que los polinomios de Legendre forman una base para L
p
(−1, 1)
si 4/3 < p < 4.
(iii) El caso λ = ∞ es interesante. Si x en (1 − x
2
)
λ−1/2
es reemplazado por xλ
−1/2
y se toma el
límite cuando λ → ∞, entonces les corresponden los polinomios de Hermite en (∞, ∞). La fórmula
(7) sugiere que en estos polinomios la convergencia media existe sólo para p = 2 . Éste y un resulta-
do similar para polinomios de Laguerre son confirmados con contraejemplos adecuados. Lo anterior
nos dice que los polinomios ortogonales de Laguerre sólo convergen en L
p
cuando p = 2. Luego,
el mismo Pollard complementa su trabajo previo con los detalles de la convergencia para polinomios
de Hermite y para los de Laguerre se presentan unas sugerencias de la prueba pero no se muestra de
manera formal, esto se puede observar en Pollard (1948).
La siguiente investigacion de convergencia del desarrollo en serie Fourier-Laguerre es gracias a
Askey y Wainger (1965), quienes escriben lo siguiente:
Sea L
α
n
, α ≥ 0, definido por
∞
X
n=0
L
α
n
(x)r
n
= (1 − r)
−α−1
exp
−xr
1 − r
,
donde
r
n
= {Γ(n + α + 1)/n!}
−
1
2
,
entonces definimos las funciones de Laguerre
L
α
n
(x) = x
α/2
r
n
exp(−x/2)L
α
n
(x)
son ortonormales en el espacio de Lebesgue L
1
(0, ∞) (0, ∞).
Sea L
p
(0, ∞) el espacio de funciones medibles tal que ∥f∥
p
=
R
∞
0
|f(x)|
p
dx
1/p
es finita.
El teorema principal es el siguiente:
Sea f(x) en L
p
(0, ∞), 4/3 < p < 4. Se define
a
n
=
Z
∞
0
L
α
n
(x)f(x) dx
y el conjunto
S
n
=
n
X
k=0
a
k
L
α
k
(x).
Entonces
∥S
n
− f ∥
p
→ 0, cuando n → ∞.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 263
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
Los resultados aqui se desarrollan primero probando en L
p
la acotación uniforme de las sumas par-
ciales, hasta llegar a la convergencia.
En las próximas investigaciones, Muckenhoupt (1970a) indica que en los polinomios de Laguerre,
los términos no convergerán a 0 en la media si p no está entre 4/3 y 4. Específicamente, probó los
siguiente teoremas: Sea p un número fijo que satisface 1 ≤ p ≤ 4/3 o 4 ≤ p ≤ ∞, sea ∥∥
p
la norma
ordinaria en (0, ∞), sea α mayor que −1, sea w(x) finito en casi todas partes en (0, ∞), sea f(x)
una función que tiene una serie de Laguerre para este α y satisface ∥w(x)f(x)∥
p
< ∞ y sea L
α
n
el
enésimo término de esa serie. Si existe una constante C, independiente de f(x) tal que ∥a
n
L
α
n
w(x)∥
p
≤
C∥f (x)w(x)∥
p
para todo n ≥ C, entonces w(x) = 0 casi en cualquier parte. Sea p, ∥∥
p
, w(x), f(x), α
y a
n
como en el Teorema 4. Si lim
n→∞
∥a
n
L
α
n
w(x)∥
p
= 0 para cada función f (x), entonces w(x) = 0
casi en cualquier parte. El siguiente es un corolario inmediato de la desigualdad de Minkowski. Sea
p, ∥∥
p
, w ( x ), f (x), y α como en el Teorema 4 y sea S
n
la enésima suma parcial de la serie de Laguerre.
Si
lim
n→∞
∥[S
n
− f (x)]w(x)∥
p
= 0
para cada f(x), entonces w(x) = 0 casi en cualquier parte. Las líneas anteriores evidencian la con-
vergencia propuesta por el autor. Luego, Muckenhoupt (1970b) generaliza los resultados de Askey y
Wainger (1965), para la convergencia media con
1
< p <
∞
. Los resultados mostrados mejoran en
términos de las funciones de peso elegidas. Sin embargo, las conclusiones de Muckeoupt se basaron en
desigualdades que requerían una función de ponderación mayor en el lado derecho que en el izquierdo.
Los teoremas que propuso fueron: Sea 1 < p < ∞, α > −1, U(x) = e
−x/2
x
α/2
(x/(1 + x))
α
(1 + x)
b
y V (x) = (x/(1 + x))
A
(1 + x)
B
(1 + log
+
x)
B
donde B = 1 si b = B y p es 4/3 o 4 y β = 0 caso
contrario. Se asume que
α > −1/p + max
−
1
2
α,
1
4
, A < 1 − 1/p − max
−
1
2
α,
1
4
A ≤ a,
b < 3/4 − 1/p, 1 < p ≤ 4,
b ≤ 7/12 − 1/3p, 4 < p < ∞,
(8)
B ≥ −
1
4
− 1/3p, 1 < p < 4/3,
>
1
4
− 1/3p, 4/3 ≤ p < ∞,
(9)
b ≤ B +
1
2
− 2/3p, 1 < p < 4/3,
≤ B, 4/3 ≤ p ≤ 4,
≤ B − 1/6 + 2/3p, 4 < p < ∞,
(10)
y si ocurre la desigualdad (10), entonces no ocurre la desigualdad (8) o (9). Entonces existe una cons-
tante C independiente de f (x) y n, tal que
Z
∞
0
|S
α
n
(f, x)U(x)|
p
dx ≤ C
Z
∞
0
|f(x)V (x)|
p
dx.
Sea α > −1, y sea U(x) y V ( x) con la forma usada en el Teorema 4 con β = 0. Se asume que a ≥ A,
a > −1 max(−
1
2
α,
1
4
), A ≤ min(
1
2
α, −
1
4
), B ≥ −7/12 y b ≤ B − 1/6. Entonces existe una constante
264 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
C independiente de f (x) y n, tal que
Z
∞
0
|S
α
n
(f, x)U(x)|dx ≤ C + C
Z
∞
0
|f(x)|V (x)(1 + log
+
|f(x)| + log
+
x)dx.
Se asume que α > −1, 4/3 < p < ∞ y o < δ < 1. Sea
U(x) = e
−x/2
x
α/2
(x/(1 + x))
α
(1 + x)
b
y para un n dado sea ν = 4n + 2α + 2 y o
n
el conjunto de todos los x tal que x > 0 y |x − ν| > λν. Si
−1/p + max(−
1
2
α,
1
4
) < α < 1 − 1/p − max(−
1
2
α,
1
4
) y −1/p +
1
4
< b < −1/p +
3
4
, entonces existe
una constante C independiente de f (x) y n, tal que
Z
∞
0
|S
α
n
(f, x)U(x)|
p
dx ≤ C
Z
∞
0
|f(x)U (x)|
p
dx.
Se asume que α > −1, 1 < p < 4, 0 < δ < 1, U( x) y O
n
son como en el Teorema 4 con las mismas
condiciones de a y b. Sea f
n
(x) = f (x) en O
n
y sea 0 fuera de O
n
. Entonces existe una constante C
independiente de f(x) y n, tal que
Z
∞
0
|S
α
n
(f, x)U(x)|
p
dx ≤ C
Z
∞
0
|f(x)U (x)|
p
dx.
Se asume que α > −1, 0 < δ < 1, U(x) y O
n
son como en el Teorema 4, −1 + max(−
1
2
α,
1
4
) < a ≤
min(
1
2
α, −
1
4
). Entonces existe una constante C independiente de f(x) y n, tal que
Z
∞
0
|S
α
n
(f
n
, x)U(x)|dx ≤ C + C
Z
∞
0
|f(x)|U (x)(1 + log
+
|f(x)| + log
+
x)dx.
Si las hipótesis de uno de los Teoremas del 4 al 8 son satisfechas y la integral del lado derecho del
Teorema anterior es finita, entonces
lim
n→∞
Z
E
[|S
α
n
(x) − f(x)|U(x)]
p
dx = 0,
donde E es el conjunto de integración considerado en el Teorema 8 , S
n
es la suma parcial considerada
y p es tomada como en uno de los casos de los Teoremas del 5 al 8. Con la presentación de estos
Teoremas, se cumple la convergencia.
Continuando con el estudio de la convergencia, se tiene el realizado por Poiani, Eileen L (1972),
su artículo se enfoca en probar inecuaciones de la forma ∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f(x)W (x)∥
p
donde
σ
n
es la enésima ( C, 1) convergencia de la serie de Laguerre de f , W (x) la funcion peso de una forma
particular y la norma L
p
es tomada sobre (0, ∞). Los resultados medios de sumabilidad de Cesaro se
obtienen mediante el uso de los teoremas de densidad apropiados. Las conclusiones a las que se llega
en este trabajo tienen la ventaja de necesitar solo una función de peso (Muckenhoupt usa dos pesos).
Su estudio se basa en lo siguiente Se asume que 1 < p < ∞, α > −1,
W ( x) = e
−x/2
x
α/2
(x/(1 + x))
α
(1 + x)
b
,
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 265
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
y
−
1
p
− min(
α
2
,
1
4
) < a < 1 −
1
p
+ min(
α
2
,
1
4
);
b ≤ −
1
p
+
7
4
si 1 ≤ p ≤ 4,
b ≤ −
1
3p
+
19
12
si 4 < p ≤ ∞;
(11)
b ≥ −
1
3p
−
5
4
si 1 ≤ p <
4
3
,
b ≥ −
1
p
−
3
4
si
4
3
≤ p ≤ ∞;
(12)
a + b ≤ −
2
p
+
5
2
si 1 ≤ p ≤ 4,
a + b ≤ −
4
3p
+
7
3
si 4 ≤ p ≤ ∞;
(13)
a + b ≥ −
4
3p
− 1 si 1 ≤ p
4
3
,
a + b ≥ −
2
p
−
1
2
si
4
3
≤ p ≤ ∞.
(14)
La igualdad no puede ocurrir en las primeras partes de (11) y (13) si p = 4 o a = 3/4 − 1/p a
no ser que p = 1. La igualdad no puede ocurrir en las segundas partes de (12) y (14) si p = 4/3 o
a = 1/4 − 1/p a menos que p = ∞. Entonces existe una constante C independiente de f(x) y n tal
que
∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f(x)W (x)∥
p
,
donde
σ
n
(f, x) =
Z
∞
0
k
n,1
(x, y)e
−y
y
α
f(y)dy (15)
y ∥∥
p
denota la norma usual en (0, ∞). Si p = ∞, se sigue la convención de norma habitual. La
expresión para p = ∞ será ligeramente diferente de los de p finito que se presentan aquí, pero siguen
procedimientos similares.
Tomar a = b en la función de ponderación del Teorema 4 conduce directamente al siguiente corolario.
Se asume que 1 ≤ p ≤ ∞, α > −1, W (x) = e
−x/2
x
α/2
x
r
,
−
1
p
− min(
α
2
,
1
4
) < r < 1 −
1
p
+ min(
α
2
,
1
4
),
y −2/3p − 1/2 ≤ r ≤ −2/3p + 7/6. Entonces existe una constante C independiente de f(x) y n tal
que
∥σ
n
(f, x)W (x)∥
p
≤ ∥f(x)W (x)∥
p
,
donde σ
n
(f, x) está definida como en (15) y ∥∥
p
denota la norma usual en (0, ∞). Si las hipótesis
del Teorema 4 son satisfechas, p < ∞, y f(x)W (x) ∈ L
p
(0, ∞), entonces
lim
n→∞
Z
∞
0
(|σ
n
(f, x) − f(x)|W (x))
p
dx = 0,
266 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
y la convergencia estaria dada.
Siguiendo el estudio de la convergencia de los polinomios de Laguerre, se encuentra la investiga-
ción realizada por Riera (1989), quien estudia dicha convergencia con deltas de Dirac, en este caso
para Laguerre con una delta en el cero.
En su estudio define: para α un número real mayor que −1, w(x) = e
−x
x
α
∀x > 0 y dµ(x) = w(x)
sobre [0, ∞). Aqui los polinomios se definen como L
α
n
ortogonales con respecto a la medida dµ, con
L
α
n
(0) =
Γ(n+α+1)
n!Γ(α+1)
. Estos polinomios no están normalizados sino que
∥L
α
n
∥
2
L
2
dµ
=
Γ(n + α + 1)
n!
.
En resumen, se estudió la convergencia en media para la medida dν = e
−x
x
α
dx + Mδ
0
(x) en [0, ∞).
Las notaciones que se siguen en este estudio son, L
n
(x, y) para los núcleos relativos a dν. L
α
n
(x)
indica el polinomio de Laguerre de grado n, P
α
n
(x) es el polinomio de L
α
n
normalizado y L
α
n
(x) =
P
α
n
(x)w
1/2
= P
α
n
(x)e
−x/2
x
α/2
.
Lo que se hace para hallar la convergencia es encontrar cotas para la norma de los núcleos L
n
(x, 0)
relativos a dν. Esto es posible gracias a que los L
n
(x, 0) es, salvo un factor constante igual a P
α+1
n
(x)
Con la notación anterior se tiene
L
n
(x, 0) = r
n
P
α+1
n
(x), donde r
n
∼ n
−(α+1)/2
.
Sea 1 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1. Sea v definida como
v(x) = w(x)
1/2−1/p
x
x + 1
A
(1 + x)
B
(1 + log
+
x)
β
∀x > 0, (16)
donde β = 0 ó 1. Si se verifican las condiciones
A < 1 −
1
p
+
α
2
,
B >
1
4
−
1
p
y
B ≥ −
1
4
−
1
3p
,
entonces existe C > 0 tal que ∥L
n
(x, 0)∥
L
q
(v
−q
w)
≤ C ∀n. Para la norma ∥L
n
(x, 0)∥
L
p
(u
p
w)
se tiene
el resultado análogo Sea 1 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1. Sea u definida como
u(x) = w(x)
1/2−1/p
x
x + 1
a
(1 + x)
b
∀x > 0; (17)
si se verifican las condiciones
a > 1 −
1
p
−
α
2
,
b <
3
4
−
1
p
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 256 -270) 267
Elvin Loor Bermeo, Adrián Infante Linares
y
b ≤
7
12
−
1
3p
,
entonces existe C > 0 tal que ∥L
n
(x, 0)∥
L
p
(u
p
w)
≤ C ∀n. Una vez estudiadas las normas de los
núcleos, se analiza la convergencia de la serie de Fourier relativa a dν(x) = dµ(x) + Mδ
0
(x). En este
estudio sirven también para la acotación de la serie de Fourier con respecto a dν las mismas acotaciones
que utiliza Muckenhoupt (1970b), donde resulta lo siguiente Sea S
n
la suma parcial enésima de la
serie de Fourier de los polinomios ortonormales relativos a dν(x) = w(x)dx + Mδ
0
(x) sobre [0, ∞),
w(x) = e
−x
x
α
, α > −1. Sean 1 < p < ∞ y u y v de la forma (17) y (16) respectivamente, con
0 < u(0) < +∞, 0 < v(0) < +∞. Si se cumplen las condiciones (4) - (10) tal como en el Teorema
4 por Muckenhoupt, entonces existe una constante C > 0 tal que
∥uS
n
f∥
L
p
(dν)
≤ C∥vf∥
L
p
(dν)
∀f, ∀n.
Aquí concluye su investigación acerca de la convergencia.
5. CONCLUSIONES
Una vez realizada la investigación, se tienen las siguientes conclusiones:
1. Los polinomios de Laguerre cumplen con las propiedades que tienen los polinomios ortogo-
nales en general, siendo la función peso e
−x
para los polinomios y e
−x
x
α
para los polinomios
generalizados de Laguerre.
2. Como motivación al estudio de los polinomios de Laguerre, es que ellos son soluciones de la
ecuación xy´´ + (1−x)y´ + ny = 0, cuya importancia es su intervención en el estudio de la
mecánica cuántica, el oscilador cuántico, el equilibrio electrostático, entre otros.
3. Se presenta una definición que extiende a los polinomios de Laguerre al plano complejo, L
(α−k)
k
(z).
4. La convergencia de los polinomios de Laguerre ha sido posible mediante la descomposición de
su núcleo o Kernel, donde en cada caso han sido elegidas las estimaciones adecuadas por cada
auto
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener ningún conflicto de interés.
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de https://tesisfcp.bdigital.uncu.edu.ar/objetos_digitales/14017/tesis-torres
-2017-1.pdf
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Elvin Loor Bermeo redacción, recolección de información, metodología, resultados.
Adrián Infante Linares corrección, redacción, resultados.
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