TRANSFORMACIÓN DE BIOMASA LIGNOCELULÓSICA EN BIOCOMBUSTIBLE DE SEGUNDA GENERACIÓN: ESTADO DEL ARTE
DEL PRETRATAMIENTO
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 201-212) 201
Publicación Cuatrimestral. Vol. 7, No. Especial, Diciembre, 2022, Ecuador (p. 201-212). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5112
SOBRE EL ANILLO DEL ESPACIO DE FUNCIONES
UNIFORMEMENTE CONTINUA
Ingrid María Vera Mendieta
1
Ramón Adrián Infante Linarez
2
1
Instituto de Posgrado. Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Ecuador. Correo electrónico:
ivera9240@utm.edu.ec
2
instituto de Ciencias Básicas. Universidad Técnica de Manabí. Ecuador. Correo electrónico: adrian.infante@utm.edu.ec
*Autor para la correspondencia: ivera9240@utm.edu.ec
Recibido: 24-08-2022 / Aceptado: 13-12-2022 / Publicación: 27-12-2022
Editor Académico: Carmen Judith Vanegas Espinoza
RESUMEN
Es bien conocido que el producto puntual de dos funciones uniformente continua no necesariamente es uniformemente
continua. En este artículo se hace una revisión sobre los trabajos que estudian las funciones uniformente continuas y las
características para que una función continua sobre un espacio siempre sea uniformemente continua y su producto puntual
sea uniformente continuo. En la revisión se pudo verificar condiciones suficientes para que un espacio uniforme sea
uniformemente continuo. Además, se incluirá las demostraciones de resultados más importante unificando la notación
entre un artículo y otro.
Palabras clave: Anillos, Continuidad, Continuidad Uniforme, Espacio, Funciones.
ON THE RING OF THE SPACE OF UNIFORMLY CONTINUOUS FUNCTIONS
ABSTRACT
It is well known that the dot product of two uniformly continuous functions is not necessarily uniformly continuous. In
this article a review is made on the works that study the uniformly continuous functions and the characteristics so that a
continuous function on a space is always uniformly continuous and its dot product is uniformly continuous. In the review
it was possible to verify sufficient conditions for a uniform space to be uniformly continuous. In addition, the most
important demonstrations of results will be included, unifying the notation between one article and another.
Keywords: Rings, Continuity, Uniform Continuity, Space, Functions.
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
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NO ANEL DO ESPAÇO DAS FUNÇÕES UNIFORMEMENTE CONTÍNUAS
RESUMO
É bem conhecido que o produto pontilhado de duas funções uniformemente contínuas não é necessariamente
uniformemente contínuo. Neste artigo é feita uma revisão dos trabalhos que estudam funções uniformemente contínuas
e características para que uma função contínua num espaço seja sempre uniformemente contínua e que o seu produto
ponto seja uniformemente contínuo. Na revisão foi possível verificar condições suficientes para que um espaço uniforme
fosse uniformemente contínuo. Além disso, serão incluídas as provas de resultados mais importantes, unificando a notação
entre um artigo e outro.
Palavras chave: Anéis, Continuidade, Continuidade Uniforme, Espaço, Funções.
Citación sugerida: Vera, I., Infante, A. (2022). SOBRE EL ANILLO DEL ESPACIO DE FUNCIONES
UNIFORMEMENTE CONTINUA. Revista Bases de la Ciencia, 7 (No Especial), Diciembre, 201-212. DOI:
https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v7iESPECIAL.5112
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1. INTRODUCCIÓN
El estudio del álgebra de las funciones uniformemente continua ha tenido especial atención desde
mediado del siglo pasado hasta los últimos años como podemos ver en (Atsuji, 1958), (Elyash, Laush,
& Levine, 1960), (Levine & Saber., 1965), (Sam B Nadler, 2007), (Saber, 2018) (Katrina
Gensterblum, 2018). Se sabe que el producto de dos funciones continuas de valor real es una función
continua, sin embargo, el producto de dos funciones uniformemente continuas con valores reales no
es necesariamente uniformemente continua, como por ejemplo la función identidad multiplicada
consigo misma, si bien la función es uniformemente continua en , la función
no es
uniformemente continua en . Otro ejemplo, las funciones y en son funciones
uniformemente continuas cuyo producto no lo es. El problema de encontrar condiciones para que el
producto de dos funciones uniformemente continua sea uniformemente continuo ha sido estudiado
caracterizando o las funciones, o el dominio o la métrica que define la continuidad. En (S & Ziney.,
2007) los autores caracterizan los dominios de la recta real en los que el producto puntual de dos
funciones uniformemente continuas es una función uniformemente continua y demuestra que estas
funciones forman un anillo.
En los trabajos de Elyash, G. Laush, and N. Levine (1960) y N. Levine and N. J. Saber (1965) se dan
condiciones necesarias para que funciones uniformemente continuas a valores reales el producto
punto de tales funciones sea uniformemente continua. Nadler y Zitney (2016) aprovechando la
caracterización de espacios uniformemente continuos en términos de conjuntos compactos y
uniformemente aislados, dada por N. Levine (1955) consiguen una caracterización para aquellos
subconjuntos de la recta real en los que el conjunto de las funciones a valores reales, con dominio
y que son uniformemente continuas forman un anillo (con las operaciones de multiplicación y suma
puntual). Tal caracterización exige que sea la unión de conjuntos acotados y presente la condición
de uniformemente aislado.
La idea es conseguir características y caracterizaciones que no se tienen hasta el momento para el
espacio uniforme. Una caracterización que se da es: Si U es un espacio uniforme precompacto,
entonces la familia de todas las funciones uniformemente continua sobre es un álgebra.
Otra caracterización es que Si es un espacio métrico y U es el correspondiente espacio
uniforme definido con la métrica , entonces es uniformemente aislado en sí, y solo si,
es un conjunto uniformemente aislado en el espacio uniforme U. Por último, que si un
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espacio de funciones continua. Si es un conjunto compacto tal que es uniformemente
aislado, entonces es un espacio uniformemente continuo.
Pero queda la inquietud de saber si el espacio de las funciones uniformemente continuas sobre un
espacio uniforme genera un algebra o no, y si se cumplen condiciones como que en lugar de que las
funciones sean uniformemente continuas sea precompacto; y es ahí donde nace la necesidad de buscar
respuestas positivas a esas hipótesis y forma parte de los resultados del presente trabajo.
2. Funciones Uniformemente Continuas sobre la Recta Real
A lo largo del trabajo presentaremos definiciones que nos muestra las técnicas usadas por los
diferentes autores, así como el contexto en que se estudia el problema del producto de las funciones
uniformemente continua.
Definición 2.1. Sea un subconjunto de . Se dice que es uniformemente continuo si toda función
a valores reales con dominio es uniformemente continua.
Definición 2.2. Un conjunto es un conjunto aislado si existe un número real tal que
, para todo par de puntos diferentes .
Teorema 2.3. Si es uniformemente aislado y es una función, entonces es
uniformemente continua.
En (S & Ziney., 2007) presentan el siguiente resultado.
Teorema 2.4. Sea un subconjunto de . Entonces el producto puntual de cualquier par de funciones
uniformemente continua de en es uniformemente continuo si, y sólo si, es la unión de un
conjunto acotado con un conjunto uniformemente aislado.
Una consecuencia del teorema 1.4 lo encontramos en el siguiente corolario:
Corolario 2.5. Sea un subconjunto de . Entonces el producto puntual de un par de funciones
uniformemente continuas de en es uniformemente continua sí, y sólo si, la clausura de es un
conjunto uniformemente continuo.
3. Funciones Uniformemente Continuas en espacios métricos
En (Levine & Saunders, 1965) caracteriza las clases
de funciones uniformemente continuas.
Una función de valor real uniformemente continua pertenecerá a la clase
sí, y solo si, la aplicación
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de productos múltiples de esta función con cualesquiera funciones uniformemente continuas es
uniformemente continua.
Para presentar estos resultados necesitamos de las siguientes definiciones:
Definición 3.1. Sea
un espacio métrico y . Diremos que está acotado si existe una
bola en que contiene a .
Diremos que está totalmente acotado si para todo existe un número finito de bolas, de radio
y que cubren a .
Definición 3.2. Sea
un espacio métrico. Diremos que
tiene la propiedad sí, y sólo
si, todo subconjunto acotado de es totalmente acotado.
Un ejemplo es con la métrica usual, todo subconjunto acotado de es totalmente acotado y
tiene la propiedad . Si cambiamos la métrica por
, el espacio métrico
no tiene la propiedad .
Lema 3.3. Sea
un espacio métrico con la propiedad . Si es acotado, entonces el
producto de dos funciones a valores reales uniformemente continua sobre es uniformemente
continua sobre .
Definición 3.4. Sea
un espacio métrico y un subconjunto de la recta, junto con la métrica
usual, denotada por . Sea la clase de las funciones
es uniformemente continua
Definición 3.5. Sea
un espacio métrico,
es definido la clase de las las funciones
uniformemente continua tal que si entonces .
Observemos que
es un subconjunto propio de , ya que si es la identidad
pero
.
Teorema 3.6. Si , entonces
si y sólo si .
En (Levine & Saunders, 1965) se investiga sobre los conjuntos, cada uno de los cuales tiene la
propiedad de que cada función continua desde el conjunto hasta
es uniformemente continuo en el
conjunto, donde
es un espacio métrico dado
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Definición 3.7. Sean y
espacios métricos. Entonces se dice que un subconjunto E de
M es U.C.
sí, y sólo si, toda función de a
que es continua en es uniformemente continua
en .
Definición. 3.8. Sean un espacio métrico y un subconjunto de. Entonces se dice E es
U.I. (uniformemente aislado) si y sólo si existe un número real tal que
para todo
en
Teorema 3.9. Sean y
espacios métricos y un subconjunto de . Entonces una
condición suficiente para que sea U.C. (M1) es que
, donde
es compacto y
es
U.I. ver (Gerald Beer, Sandro Levi, 2009).
Dándole continuidad a estos resultados (Katrina Gensterblum, 2018) describen las condiciones
suficientes y necesarias para tales conjuntos en la categoría de espacios métricos.
Definición 3.10. Se dice que un espacio métrico es uniformemente continuo si toda función
continua de valor real en es uniformemente continua. Más generalmente, se dice que es
uniformemente continua con respecto a un espacio métrico
si toda función continua de a
es uniformemente continua.
Definición 3.11. Se dice que un espacio métrico es universalmente uniformemente continuo
si es uniformemente continuo con respecto a todo espacio métrico.
Teorema 3.12. Sea un espacio de . Entonces es uniformemente continuo si y sólo si
el conjunto derivado der
es compacto, y para todo el conjunto der
es
uniformemente aislado.
El conjunto der se define como el conjunto de todos los puntos límite de . El conjunto
der es el conjunto de todos los puntos a una distancia máxima ε de der(M);
equivalentemente tomamos
der
der
4. Funciones uniformemente continuas y espacios uniformes
Comenzamos recopilando las definiciones y propiedades para que permitan presentar un estudio del
problema que es nuestro interés: dar condiciones cuando el producto de funciones uniformemente
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continua sea uniformemente continuo. Además, se demostrará los resultados sobre los espacios
uniforme que buscan dar condiciones sobre los conjuntos donde definimos las funciones y que poseen
la propiedad deseada. Son conocidos algunos resultados en ese sentido, por ejemplo, se sabe que toda
función con valores en , definida sobre un compacto de la recta es uniformemente continua y el
producto de estas funciones es uniformemente continuo sobre .
Se realizarán algunas definiciones y resultados que van en este sentido, ver (S.M. Padhye, & S.B.
Tadam, K. 2015 y S.B. Tadam & S.M. Padhye, 2017).
Definición 4.1 Sean un conjunto y U una familia no vacía de subconjuntos del producto cartesiano
. Diremos que U es un espacio uniforme si satisface
1. Si U entonces
, donde
es la diagonal en .
2. Si U entonces
U, donde
.
3. Sean U y . Si , entonces U.
4. Si U, entonces U.
5. Si U entonces existe un U tal que cuando
y
se cumple
U.
Notación. Sean U. Si
y
entonces escribimos
.
Definición 4.2 Dado un punto denotaremos por
al conjunto
, donde
es la sección transversal vertical de y
es la proyección sobre
la segunda coordenada.
Definición 4.3 Un sistema fundamental de vecindades en U, es cualquier conjunto de vecindades
en U tal que para cada vecindad
de U, existe
un conjunto que pertenece a tal que
.
En particular, si
es un espacio métrico y
, forman un sistema
fundamental de vecindades para la estructura uniforme estándar de . De manera que si es un
espacio métrico y U es un espacio continuo relativo a , tenemos que
U.
Definición 4.4 Sea U un espacio uniforme. Un subconjunto de es uniformemente aislado si
U.
Definición 4.5 Sea U la familia de todas las funciones uniformemente continua de sobre .
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Definición 4.6 Sean
y
dos espacios métricos. Un subconjunto de
diremos
que es Uniformemente Continuo si y sólo si toda función continua de sobre
es uniformemente
continua en .
Definición 4.7 Un conjunto es un espacio uniformemente continuo si toda función continua sobre
es uniformemente continua sobre .
Si es una función continua sobre un conjunto y U es la familia de los subconjuntos del producto
cartesiano , es decir U un espacio uniforme, podemos ver que son condiciones suficiente
para que sea uniformemente continua sobre . Estudiemos este hecho en detalle, para así relacionar
función continua, espacio continuo y función uniformemente continuo.
Se sabe que es continua sobre respecto al espacio uniforme U si dado , para cada
, existe
U, un entorno de , tal que si
implica
.
Como la familia de todos los conjuntos simétricos abiertos de U, forman una base para U, tenemos
que existe
U tal que
es un subconjunto abierto simétrico de tal que
. Así
que, para todo ,
es abierto en . En particular,
es abierto en y por tanto
. Vamos a considerar un conjunto compacto para eliminar la dependencia de de los conjuntos
donde tenemos la condición de continuidad.
Si es compacto en , entonces
. Así que existen
en tal que
Sean
U y
U.
Sea
y por lo tanto
.
Tenemos que
, es decir que ó y por lo tanto
ó .
Si
, entonces
para algún , . Así que
.
Si
, entonces
. En particular,
.
Así que
y por lo tanto
. En resumen,
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Similarmente si . Concluimos que es uniformemente continua y demuestra el siguiente
teorema.
Teorema 4.8 Sea U un espacio uniforme. Si es una función continua sobre , entonces es
uniformemente continua.
Cuando U es un espacio uniformemente continuo obtenemos que la familia de todas las
funciones uniformemente continua sobre (U, es un álgebra. Primero observando que U
es un espacio vectorial complejo.
Teorema 4.9 Sea y sea (X, U) un espacio uniforme. Entonces para todas funciones
U se tiene:
1. es uniformemente continua.
2. es uniformemente continua, para todo escalar .
3.
es uniformemente continua.
Los detalles de este resultado, que demuestra que U es un espacio vectorial complejo, se puede
conseguir en (Tadam y Padhye2017).
Del teorema 3.10, se deduce que U es cerrado para la suma y para la multiplicación por un
escalar. Además, U es cerrado para el producto, si consideramos dos funciones U,
es decir que son funciones uniformemente continuas sobre y por tanto la función producto,
, es continua sobre . Al ser un espacio uniformemente continuo, tenemos que U,
Así que, U es un álgebra. Este resultado lo presentamos en el siguiente teorema.
Teorema 4.10 Si U es un espacio uniformemente continuo, entonces U es un álgebra.
Definición 4.11 Si U es un espacio uniforme, diremos que un conjunto es un conjunto
precompacto en , o relativamente compacto, si existe una familia finita de puntos
,
tal que
.
Lema 4.12 Si U (, V) una función uniformemente continua entonces, envía conjuntos
precompactos en conjuntos precompactos.
Teorema 4.13 Si U es un espacio uniforme precompacto, entonces U es un álgebra.
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Teorema 4.14 Si es un espacio métrico y (X, U) es el correspondiente espacio uniforme
definido con la métrica entonces, es uniformemente aislado en
sí, y solo si, es un
conjunto uniformemente aislado en el espacio uniforme (X, U).
Para entender la importancia y la naturaleza de los conjuntos uniformemente aislado, se realiza la
demostración de este teorema 3.15, para más detalles ver (Tadam y Padhye2017).
Demostración del teorema 4.14. Sea un conjunto uniformemente aislado en un espacio
métrico (). Así que existe , tal que para todo ,
, es decir que para
cualquier
, satisface que
y por lo tanto
En consecuencia
Es decir
Como
U siendo un sistema fundamental de vecindades para U tenemos que
U. Es decir que es un conjunto uniformemente aislado de U.
En el otro sentido, sea un conjunto uniformemente aislado de U. Es decir,
U.
Así que
es unión de elementos del sistema fundamental de vecindades
y es un subconjunto propio de
, es decir que existe
tal que
Así que
. Por lo tanto, para todo , , cumple que
lo que prueba que es un subconjunto aislado de ().
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Teorema 4.15 Sea Uun espacio uniforme cualquiera. Si es un conjunto compacto tal que
es uniformemente aislado entonces, es un espacio uniformemente continuo.
Si es un conjunto compacto, aplicando el teorema 3.15 y obtenemos el siguiente teorema.
Teorema 4.16 Sea U un espacio uniforme y conjunto de todos los puntos límite de .
Suponga que es compacto y es uniformemente aislado, entonces es un espacio
uniformemente continuo.
Observación 4.17 El inverso de este teorema es falso. Como se deduce de siguiente contraejemplo.
(S.M.Padhye, & S.B.Tadam, K. 2015).
Sea
. Note que
entonces,
i) es un espacio uniformemente continuo.
ii)
es compacto.
iii)
Solución. i) Tome
. Entonces es cerrado y acotado y por tanto,
compacto. Usando compacidad y usando el hecho que para todo con se tiene
que se concluye que, esta uniformemente aislado y por el teorema 3.16, es
un espacio uniformemente continuo.
ii) Dado que el conjunto de todos los puntos límite de es igual a
. Además, es
compacto.
iii) Ahora
En obtenemos una secuencia
tal que
, cuándo , esto implica que, no existe tal que
lo que prueba que no está uniformemente aislado.
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5. CONCLUSIONES
Mediante este estudio se determinó que es posible dotar a un espacio con una estructura topológica
adecuada para que toda función continua sea uniformemente continua, y además que el espacio de
todas las funciones uniformemente continuas sobre este espacio tenga una estructura algebraica.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
7. REFERENCIAS
Atsuji, M. (1958). Uniform continuity of continuous functions of metric spaces, Pacific J. Math. 11-16.
doi:10.2140/pjm.1958.8.11
Elyash, E., Laush, G., & Levine, N. (1960). On the product of two uniformly continuous functions on the line.
doi:10.2307/2309692
Katrina Gensterblum, P. Q. (2018). Universally Uniformly continuous metric space. doi:10.1145/1067268.1067287
Levine, N., & Saber., N. (1965). On the product of real valued uniformly continuous functions in metric spaces.
doi:10.1080/00029890.1965.11970485
Levine, N., & Saunders, W. G. (1965). Uniformly Continuous Sets in Metric Spaces. (T. A. Monthly, Ed.) 153-156.
doi:10.1080/00029890.1960.11989465
Nadler, J. S., & Zitney, D. M. (2007). Pointwise Products of Uniformly Continuous Functions on Sets in the Real Line.
The American Mathematical Monthly, 160-163.
S, N., & Ziney., D. (2007). Pointwise produts of uniformly continuous functions on sets in the real line .
S.B.Tadam, & S.M.Padhye. (2017, marzo). On Point Wise Products of Uniformly Continuous Functions on Uniform
Space. International Journal of Mathematics Trends and Technology (IJMTT), 43(3).
S.M.Padhye, & S.B.Tadam, K. (2015). On uniformly continuous uniform space. The International Journal Of
Engineering And Science (IJES), 4, 43-44.
Saber, N. L. (2018). On the product of real valued uniformly continuous functions in metric space.
Sam B Nadler, J. a. (2007). Pointwise product of uniformly continuous functions on sets in the real line by Zitney The
Mathematical Association of American. doi:10.1080/00029890.2007.11920402
Gerald Beer, Sandro Levi. Strong uniform continuity. J. Math. Anal. Appl. 350 (2009) 568–589]
Contribución de autores
Autor
Contribución
Ingrid Vera
Metodología, revisión, búsqueda bibliográfica y diseño del artículo
Adrián Infante
Concepción, redacción y análisis
