Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 1, Enero/Abril, 2023, Ecuador (p. 65 -77). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v8i1.5211.
TEOREMA DE DIRICHLET, POSTULADO DE BERTRAND Y CONJETURA
DE GOLDBACH
Tobías Rosas Soto
∗
, Otilia Quintero Palacios
Departamento de Matemática, Facultad Experimental de Ciencias, Universidad del Zulia, República
Bolivariana de Venezuela
*Autor para correspondencia: tjrosas@gmail.com
Recibido: 26-09-2022/ Aceptado: 31-03-2023 / Publicación: 26-04-2023
Editor Académico: Oswaldo José Larreal Barreto
RESUMEN
El siguiente trabajo presenta una generalización del teorema de Dirichlet, una nueva demostración del postulado de Ber-
trand, y una nueva forma de visualizar una posible vía para demostrar la conjetura de Goldbach usando el teorema Dirichlet
y el postulado de Bertrand, todo esto enmarcado en la revisión del artículo titulado ”Una bella relación entre la conjetura
de Goldbach y el teorema Dirichlet”. Por último, se muestra como una ampliación de la conjetura de Goldbach implica
de manera elemental el postulado de Bertrand.
Palabras clave: Conjetura de Goldbach, teorema de Dirichlet, números primos, postulado de Bertrand, números pares.
DIRICHLET’S THEOREM, BERTRAND’S POSTULATE AND GOLDBACH’S
CONJETURE
ABSTRACT
The following work presents a generalization of Dirichlet’s theorem, a new proof of Bertrand’s postulate, and a new way
of visualizing a possible way to prove the Goldbach’s conjecture using the Dirichlet theorem and the Bertrand’s postulate,
all this framed in the review from the article titled ”A beautiful relationship between the Goldbach’s conjecture and the
Dirichlet theorem”. Finally, it is shown how an extension of the Goldbach’s conjecture implies the Bertrand postulate in
an elementary way.
Keywords: Goldbach’s conjecture, Dirichlet’s theorem, prime numbers, Bertrand’s postulate, even numbers.
TEOREMA DE DIRICHLET, POSTULADO DE BERTRAND E CONJECTURA DE
GOLDBACH
RESUMO
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 1, Enero/Abril, 2023, Ecuador (p. 65 -77)
Tobías Rosas Soto - Otilia Quintero Palacios
O trabalho a seguir apresenta uma generalização do teorema de Dirichlet, uma nova prova do postulado de Bertrand, e
uma nova forma de visualizar uma possível forma de provar a conjectura de Goldbach usando o teorema de Dirichlet
e o postulado de Bertrand, todos enquadrados na revisão do artigo intitulado: ”Uma bela relação entre a conjectura de
Goldbach e o teorema de Dirichlet”. Por fim, mostra-se como uma extensão da conjectura de Goldbach implica de forma
elementar no postulado de Bertrand.
Palavras chave: Conjectura de Goldbach, teorema de Dirichlet, números primos, postulado de Bertrand, números pares
Citación sugerida: Rosas T., Quintero O. (2023). Teorema de Dirichlet, postulado de Bertrand y con-
jetura de Goldbach. Revista Bases de la Ciencia, 8(1), 65 -77. DOI: https://doi.org/10.33936/
revbasdelaciencia.v8i1.5211
66 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
1. INTRODUCCIÓN
Muchas ideas para estudiar la conjetura de Goldbach se han presentado, en busca de poder demostrar
la misma. Algunos de estos nuevos estudios han mostrado puntos de vista muy interesantes y hasta
posiblemente elementales, en comparación con otros tantos, tales como los expuestos en Intriago D.
(2018, 2019).
En el siguiente trabajo se presenta una relación interesante entre el teorema de Dirichlet, el postu-
lado de Bertrand, y la conjetura fuerte de Goldbach la cual se trabajá simplemente como conjetura
de Goldbach. Gran parte de las ideas aquí propuestas se encuentran reflejadas en C. E. González P.
(2015). Sin embargo, dicha publicación posee un gran número de errores, los cuales se subsanan en
este manuscrito y se exponen otras ideas.
Lo esencial en este artículo es establecer que al relacionar el teorema de Dirichlet y el postulado de
Bertrand, con la conjetura de Goldbach, la demostración de esta útlima se transforma en determinar
la existencia de un valor numérico específico en una serie de Dirichlet particular. Además, se plantea
una demostración bastante elemental del postulado de Bertrand.
Ahora bien, la importancia más notable del presente trabajo es que dicha relación se establece utili-
zando ideas realmente sencillas y, hasta quizás, elementales. Esto motivó el estudio, reestructuración
y corrección de varias ideas presentes en C. E. González P. (2015) y la aplicación de otras nuevas.
El artículo contiene una sección de Preliminares donde se exponen una serie de difiniciones elemen-
tales, algunos teoremas y algunas proposicones necesarias para el desarrollo del estudio; una sección
de Rsesultados y Discusiones donde se exponen las ideas y resultados que se pretenden aportar con
este trabajo, junto con el desarrollo y justificación de las mismas. Por último se tiene la sección de
Conclusiones.
2. PRELIMINARES
Con la intención de hacer lo más autocontenido posible este artículo se establecen a continuación las
definiciones, teoremas, postulados y conjeturas pilares del mismo. A saber:
Definición 2.1 (Máximo común divisor, ver Oneto (2001)). Sean a, b, c ∈ Z. Se dice que c es el
máximo común divisor de a y b si cumple las siguientes condiciones:
1. c|a y c|b.
2. Si e|a y e|b, entonces e|c.
3. c > 0
y se denotará por mcd(a, b) = c.
Definición 2.2 (Número de Goldbach, ver C. E. González P. (2015)). Es un entero positivo par que
se puede escribir como la suma de dos números primos.
Postulado de Bertrand (ver Niven y Zuckerman (1969)). Para todo n ≥ 2 existe al menos un primo
p tal que n < p < 2n.
Teorema de Dirichlet (ver Apostol (1980); Hardy y Wright (1960)). Sean a, b tal que mcd(a, b) = 1 ,
entonces para cada n ∈ N la sucesión p(n) = an + b, contiene infinitos números primos.
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Tobías Rosas Soto - Otilia Quintero Palacios
Conjetura de Goldbach (ver Oneto (2001)). Todo número par mayor que 2 puede escribirse como
la suma de dos números primos.
Teorema 2.1 (ver C. E. González P. (2015)). Sean a, c ∈ Z
+
.
1. Si a, c son impares, entonces:
(a)
a + c
2
es par si, y solo si,
a − c
2
es impar.
(b)
a + c
2
es impar si, y solo si,
a − c
2
es par.
2. Si a, c son pares, entonces
a + c
2
y
a − c
2
tienen la misma paridad
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
De inicio supóngase que la conjetura de Goldbach es cierta y tómese k ∈ Z. Si k > 4 es un número
par, defínase el número par p = 2k, entonces se tiene que
p = p
1
+ p
2
, (1)
con p
1
, p
2
números primos. Supóngase, sin pérdida de generalidad, que p
1
> p
2
. Por tanto, p
2
< k y
p
1
> k, pues por la ecuación (1) se tiene que
2k = p
1
+ p
2
< 2p
1
⇒ k < p
1
Luego, es claro que p
2
< k, pues de lo contrario se tendría que 2k < p
1
+p
2
contradiciendo la ecuación
1. Ahora, siendo p
2
< k, se tiene que existe un número impar l ≥ 1 tal que k − l = p
2
y por tanto,
k + k = 2k = p
1
+ (k − l) ⇒ p
1
= k + l
de donde 2k = p
1
+ p
2
, con k + l = p
1
y k − l = p
2
.
Razonando de forma similar al caso anterior, si k > 1 es un número impar entonces existe un número
par p tal que
2k = (k + p) + (k − p),
donde
k + p = p
1
y k − p = p
2
.
Mostrando así que si dado un número k fijo, se encuentra un número l que al sumarlo y restarlo a k
se obtiene un número primo en ambos casos entonces 2k es un número de Goldbach.
Ahora se muestra un teorema, presente en C. E. González P. (2015), cuyo enunciado es un poco pesado
a la lectura, en la referencia citada, y no se presenta su demostración detallada.
Teorema 3.1. Sean m, n ∈ Z
+
, entonces se cumple lo siguiente:
1. Si p
1
= 4 m + 1 y p
2
= 4 n − 1 son números primos, y k = 2(m + n), entonces 2k = p
1
+ p
2
.
68 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
2. Si p
1
= 4 m + 1 y p
2
= 4 n + 1 son números primos, y k = 2(m + n) +1, entonces 2k = p
1
+ p
2
.
3. Si p
1
= 4 m − 1 y p
2
= 4 n − 1 son números primos, y k = 2(m + n) − 1, entonces 2k = p
1
+ p
2
.
Prueba. Para la parte 1., tómese l = 2( m − n) + 1 y así
k − l = 2(m + n) − [2(m − n) + 1] = 4n + 1 y k + l = 2(m + n) + [2(m − n) + 1] = 4m + 1
De manera que,
2k = k + k = (k + l) + (k − l) = (4m + 1) + (4n + 1) = p
1
+ p
2
.
Para mostrar el ítem 2. se toma p = 2(m − n) y así
k − p = 2(m + n ) + 1 − [2(m − n)] = 4n + 1 y k + p = 2(m + n) + 1 + [2(m − n)] = 4m + 1
Por tanto,
2k = k + k = (k + p) + (k − p) = (4m + 1) + (4n + 1) = p
1
+ p
2
.
Para mostrar el ítem 3. se toma p = 2(m − n) y así
k − p = 2(m + n) − 1 − [2(m − n)] = 4n − 1 y k + p = 2(m + n) − 1 + [2(m − n)] = 4m − 1
Por tanto,
2k = k + k = (k + p) + (k − p) = (4m − 1) + (4n − 1) = p
1
+ p
2
.
El siguiente resultado se puede ver en C. E. González P. (2015) como un teorema sin demostración,
esta última se puede obtener como implicación directa del Teorema 3.1, usando el hecho de que existen
infinitos números primos de la forma 4l ± 1, por tal motivo aquí es enunciado como un cololario, a
saber:
Corolario 3.1.
1. Existen infinitos números de Goldbach de la forma 2 p, con p par.
2. Existen infinitos números de Goldbach de la forma 2 l, con l impar.
Prueba. Para mostrar el ítem 1. tómese en cuenta que existen infinitos primos de la forma 4m + 1 y
4n − 1, entonces existen infinitos números de la forma 4(m + n). Haciendo p = 2( m + n), se tiene
lo deseado.
Por otro lado, el ítem 2. se cumple pues existen infinitos números primos impares l. Así, 2l siempre
es un número de Goldbach y por tanto se tiene lo deseado.
Corolario 3.2. Sean p
1
, p
2
números impares positivos distintos. Si k =
p
1
+ p
2
2
es un número par
(impar), entonces existe un número impar (par) l, con l < k, tal que
k + l = p
1
y k − l = p
2
En particular, si p
1
, p
2
son números primos, entonces mcd(k, l) = 1.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 1, Enero/Abril, 2023, Ecuador (p. 65 -77) 69
Tobías Rosas Soto - Otilia Quintero Palacios
Prueba. Supóngase que k es par. Por el ítem (a) del Teorema 2.1, como k =
p
1
+ p
2
2
, se tiene que
l =
p
1
− p
2
2
es impar. Así, k + l = p
1
y k − l = p
2
.
Por otro lado, p
2
> −p
2
pues p
2
> 0. De manera que,
k =
p
1
+ p
2
2
>
p
1
− p
2
2
= l.
Ahora, suponiendo que mcd(k, l) = d, entonces d|k y d| l, y por tanto d|(k + l), de donde d|p
1
. Así,
tomando en cuenta que l < p
1
y k < p
1
, la Definición 2.1, y el hecho de que p
1
es un número primo,
se tiene que d = 1. Razonando de forma similar se obtiene el resultado si k es impar usando el ítem
(b) del Teorema 2.1.
Nótese que en el Corolario 3.2 se toman p
1
̸= p
2
pues de lo contrario no se podría obtener que si
si p
1
, p
2
son números primos, entonces mcd(k, l) = 1. Sin embargo, eliminando esta parte dicho
corolario sigue siendo cierto.
Es importante notar que el Corolario 3.2 se puede encontrar en (C. E. González P., 2015, Corolario
1.1) sin ninguna demostración, la cual se suministra en este manuscrito. De igual forma en (C. E. Gon-
zález P., 2015, Conjetura 1) se conjeturó lo siguiente:
Sea P un número par (impar), entonces existe un impar (par) I < P , con mcd(P, I) = 1,
de tal manera que P + I = p
1
y P − I = p
2
donde p
1
, p
2
son números primos.
Analizando dicha conjetura se pudo notar que la misma es falsa. Nótese que tomando P = 2 e I = 1,
se puede verificar que las condiciones de la hipótesis se cumplen pero P + I y P − I no son ambos
números primos, ya que 2 + 1 = 3 y 2 − 1 = 1, y el número 1 no es considerado un número primo.
Sin embargo, proponemos la siguiente conjetura:
Conjetura 3.1. Sea k un número par (impar), con k > 4. Entonces, existe un número impar (par)
l < k y mcd(k, l) = 1 tal que:
k + l = p
1
y k − l = p
2
son números primos.
Ahora, como se mostró al inicio de sección, si la conjetura de Goldbach fuera cierta, entonces se
tendría que para todo número par k > 4 siempre existiría un número primo l tal que k − l = p con p
un número primo, lo cual es solo parte de lo que asevera la Conjetura 3.1. Sin embargo, la veracidad
de la Conjetura 3.1 implica la veracidad de la conjetura de Goldbach para todo número par n = 2k
con k > 4 y por tanto para todo n ∈ N pues los casos para 1 ≤ k ≤ 4 se pueden verificar por simple
inspección.
Ahora, recuérdese que el teorema de Dirichlet afirma que dados a, b ∈ N, si mcd(a, b) = 1, entonces
la sucesión
p(n) = an + b (2)
contiene infinitos números primos. En S. M. González P. Campos E. y García (2011) se busca hacer
un análisis de todas las posibilidades para a y b donde la expresión presente en la ecuación (2) sea
un número primo. Sin embargo, dicho análisis es incompleto y por tanto se muestra aquí el análisis
completo. A saber, para que p(n) sea un número primo se debe tener que:
70 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
1. Los números b y a no pueden ser pares simultáneamente ya que mcd(a, b) = 1.
2. Si b es par y a impar, entonces n debe ser impar. Pues de ser a impar, con b y n pares, se tendría
de igual forma que p(n) = 2r con r ∈ N y r > 1, lo cual sería una contradicción. Así, siendo
n = 2 t + 1, se tendría que
p(t) = a(2t + 1) + b = a + b + 2ta = b
′
+ a
′
t
donde a
′
= 2 a es par y b
′
= a + b es impar.
3. Si b y a son impares, entonces n debe ser par. Pues de ser n impar, con b y a impares, entonces
p(n) = 2r con r ∈ N y r > 1, lo cual sería una contradicción. Ahora, siendo n = 2t, se obtiene
que
p(t) = a(2t) + b = 2at + b = a
′
t + b
donde a
′
= 2 a es par.
Así las únicas posibilidades de que la expresión dada en la ecuación (2) sea un número primo, se
reduce a los casos donde a es un número impar y b es un número par.
Ahora, si a > b por el algoritmo de la división se tiene que a = bq + r, con 0 ≤ r < b, donde r debe
ser impar, así
p(n) = bq + r + bn = b(n + q) + r.
Por tanto, solo en los caso donde a < b, con a un número par, b un número impar, y mcd(a, b) = 1,
se presentan números primos en la sucesión p(n) = an + b. Con este análisis se puede establecer el
siguiente teorema:
Teorema 3.2. Sea t ∈ Z, entonces la sucesión
p
t
(n) = 2tn + l,
con mcd(2t, l) = 1 y l ∈ {1, 3, 5, ..., 2t − 1}, contiene infinito números primos.
Cabe resaltar que el Teorema 3.2 es un versión corregida del resultado que se establece de forma defi-
ciente en (C. E. González P., 2015, Teorema 1.4), pues en dich referencia no se establece la condición
de que mcd(2t, l) = 1.
A continuación se establece dos resultados interesantes relacionado en parte con el teorema de Diri-
chlet:
Lema 3.1. Para cada natural n ∈ N existe un número impar l ≤ 4n − 1 tal que p(n) = 4n + l es un
número primo.
Prueba. Nótese que si n = 1 se tiene que la expresión p(1) = 4 + l es primo para l = 1, donde l ≤ 3.
Supóngase cierto para n = k, entonces existe un número l, con 1 ≤ l ≤ 4k −1, tale que p( k) = 4k + l
es un número primo. Se verá ahora que se cumple el caso para n = k + 1, por tanto se debe buscar un
l
0
tal que p(k + 1) = 4(k + 1) + l
0
. De manera que haciendo l
0
= l − 4 se tendría que
p(k + 1) = 4(k + 1) + l
0
= 4 k + (l
0
+ 4) = 4k + l (3)
que es un número primo por hipótesis inductiva.. Por útlimo, como l ≤ 4k − 1 y l − 4 < l ≤ 4k − 1 <
4k + 3 se tiene que l
0
≤ 4k + 3.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 1, Enero/Abril, 2023, Ecuador (p. 65 -77) 71
Tobías Rosas Soto - Otilia Quintero Palacios
Lema 3.2. Para cada natural n ∈ N existe un número impar 1 ≤ l
′
≤ 4n − 1 tal que q(n) = 4n − l
′
es un número primo.
Prueba. Para que la expresión q(1) = 4−l
′
sea un número primo basta tomar l
′
= 1 donde 1 ≤ l
′
≤ 3.
Supóngase ahora que existe1 ≤ l
′
≤ 4k − 1 tal que q(k) = 4k − l
′
es un número primo. Luego, nótese
que
q(k + 1) = 4(k + 1) − l
′
0
= 4 k − (l
′
0
− 4) (4)
de manera que haciendo l
′
0
= l
′
+ 4 se tendría que la expresión dada en (4) es un número primo por
hipótesis inductiva. Por útlimo, como 1 ≤ l
′
≤ 4k − 1 y 5 ≤ l
′
+ 4 < l ≤ 4k + 3 se tiene que
1 < l
′
0
≤ 4k + 3.
Teniendo en cuenta los Lemas 3.1 y 3.2 se puede establecer el siguiente resultado que será usado para
elaborar una demostración del postulado de Bertrand más elemental que la presentada en Niven y
Zuckerman (1969).
Teorema 3.3. Sean t, n ∈ N, con n ≥ 2. Entonces, existen números impares l ≤ 2tn − 1 y 1 ≤ l
′
≤
2tn − 1 de tal manera que:
1. p
t
(n) = 2tn + l es un número primo.
2. q
t
(n) = 2tn − l
′
es un número primo.
Prueba. Para probar el ítem 1. se aplica inducción sobre “n”. Tomando n = 2 se obtiene la expresión
p
t
(2) = 4t + l y aplicando el Lema 3.1 exite un número impar l ≤ 4t − 1 tal que p
t
(2) es un número
primo. Supóngase ahora que existe un número l
0
≤ 2tk − 1 tal que p
t
(k) = 2tk + l
0
es un número
primo, como
p
t
(k + 1) = 2t(k + 1) + l = 2tk + 2t + l = 2tk + (l + 2t)
basta tomar l = l
0
− 2t para que p
t
(k + 1) sea un número primo, por hipótesis inductiva. Luego, como
l
0
≤ 2tk − 1, se tiene que l < 2t(k − 1) − 1 < 2t(k + 1) − 1, obtiendo así lo deseado.
Para probar el ítem 2. se razona de forma similar, tómese n = 2 y considérese la expresión q
t
(2) =
4t − l
′
. Por el Ĺema 3.2 existe un número impar 1 ≤ l
′
≤ 4t − 1 tal que q
t
(2) es un número primo.
Supóngase ahora que q
t
(k) = 2tk − l
′
0
es un número primo para algún impar 1 ≤ l
′
0
≤ 2tk − 1. Como
p
t
(k + 1) = 2t(k + 1) − l
′
= 2 tk + 2t − l
′
= 2 tk − (l − 2t),
basta tomar l = l
0
+ 2t para que p
t
(k + 1) sea un número primo, por hipótesis inductiva. Luego, como
1 ≤ l
′
0
≤ 2tk − 1, entonces
1 + 2t ≤ l
′
0
+ 2n ≤ 2tk − 1 + 2t = 2t(k + 1) − 1}
y por tanto 1 ≤ l
′
≤ 2t(k + 1) − 1, obteniendo así lo deseado.
Observación 3.1. Es importante notar que el Lema 3.1 se puede refinar más si utilizamos el postulado
de Bertrand para su demostración. Dicho postulado asegura la existencia de un número primo q entre
2tn y 4tn, es decir,
2tn < q < 4tn (5)
Por tanto, existe un número impar r ∈ N tal que q = 2tn + r, con 0 < r < 2tn, por la ecuación (5).
Así, tomando l = r se tendría que p
t
(n) = 2tn + l es un número primo con 1 ≤ l ≤ 2tn − 1. Con
esto el Lema 3.1 quedaría enunciado de la siguiente forma:
72 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
“Para cada natural n ∈ N existe un número impar 1 ≤ l ≤ 4n − 1 tal que p(n) = 4n + l
es un número primo.”
Ahora, en (C. E. González P., 2015, Corolario 1.2), se establece el siguiente enunciado :
Sea I un impar dado. Para todo n ≥ 5 impar, existe un par P, P
′
< In con ((In, P )) =
1, ((In, P
′
)) = 1 de tal manera que
p
1
= In + P, p
2
= In − P
′
son primos.
cuya demostración presenta fallas. Dado que este enunciado se puede demostrar como una implicación
directa del Teorema 3.3, entonces se enuncia de la siguiente manera:
Corolario 3.3. Sea k un número impar positivo. Para todo n ≥ 5 impar, existen números pares
p, p
′
< kn con mcd(kn, p) = 1 y mcd(kn, p
′
) = 1 tales que
p
1
= kn + p y p
2
= kn − p
′
son números primos.
Prueba. Sea k un número impar y p un número par, con p < k. Considérese la expresión p(n) =
kn + p. Como n es impar, entonces n = 2m + 1 para m ∈ N. Por tanto,
p(n) = k(2m + 1) + p = 2km + l = p
k
(m), con l = k + p
Obsérvese que p + k < 2k, ya que p < k, entonces l < 2k. De manera que, aplicando el Teorema 3.3
a la expresión p
k
(m) = 2km + l, se tendría que existe un número l con l < 2k, tal que p
k
(m) es un
número primo. Por tanto, existiría el número par p = l − k tal que p
1
= kn + p es un número primo.
Luego, de manera similar, tómese p(n) = kn − p. Como −p < k, se tiene que k − p < 2k. Así,
tomando n = 2m + 1 se obtiene que
p(n) = k(2m + 1) − p = 2km + l
′
= p
k
(m), con l
′
= k − p.
De manera que aplicando el Teorema 3.3 a la expresión p
tk
(m) = 2km + l
′
se tendría que existe un
número l
′
con l
′
< 2k tal que p
k
(m) es un número primo. Por tanto, existiría el número par p = k − l
′
tal que p
2
= kn − p es un número primo.
Nótese que p − k, con p par y k impar, no solamente es un número primo cuando mcd(p, k) = 1. Por
ejemplo, tómese p = 6 y k = 3, entonces mcd(6, 3) = 3 ̸= 1 Obsérvese el siguiente resultado que se
puede ver en (C. E. González P., 2015, Teorema 1.6)
Teorema 3.4. Supóngase que mcd(2n, k) = l ̸= 1 y que p
1
= 2 n − k es un número primo, entonces
p
1
= l.
Prueba. Como mcd(2n, k) = l ̸= 1, entonces l|2n y l|k, de manera que existen r, r
′
∈ N tales que
2n = l r y l = lr
′
, respectivamente. Por tanto,
p
1
= 2 n − k = l r − l r
′
= l(r − r
′
)
Como p
1
es primo, y l ̸= 1, se deduce que r − r
′
= 1 . Así, p
1
= l con r = r
′
+ 1
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Como se puede evidenciar en C. E. González P. (2015), del Teorema 3.3 y Corolario 3.3 se deduce el
famoso postulado del Bertrand. Sin embargo, la demostración presentada en C. E. González P. (2015)
tiene varias ambigüedades que se corrigen en la demostración que se presenta a continuación:
Postulado de Bertrand. Para todo n ≥ 2 existe al menos un primo p tal que n < p < 2n.
Prueba. Sea n ∈ N, n ≥ 2, se tienen dos casos n par y n impar. Si n es par, entonces n = 2k (k ∈ N).
Si k = 1, es claro que p = 3. Si k ≥ 2, por el Teorema 3.3, existe 1 ≤ l ≤ 2k − 1 tal que p(k) = 2k + l
es un número primo. Como l < 2k, entonces 2k + l < 4k. Así, 2k < 2k + l < 4k de manera que
n < p ( k) < 2n.
Sea n impar. Si n = 3, entonces p = 5. Si n ≥ 5, por el Corolario 3.3, dado un l impar existe un
número par p, con p < ln y mcd(ln, p) = 1, tal que p(n) = ln + p es primo. Tómese l = 1, así existe
un p < n con mcd( n, p) = 1 tal que p(n) = n + p es primo y por tanto n < p(n) < 2n.
El resultado que se presenta a continuación completa una equivalencia entre el postulado de Bertrand
y el Teorema 3.3.
Teorema 3.5. Si para todo n ≥ 2 existe un impar l (l
1
) de tal manera que 2n + l (2n − l
1
) es un
número primo, entonces para todo n ≥ 2 existe un primo p tal que n < p < 2n.
Prueba. Sea p un primo tal que n < p < 2n. Como p < 2n existe un impar l
1
tal que p + l
1
= 2 n , es
decir, existe un impar l
1
tal que p = 2n − l
1
es primo, donde l depende de p. Ahora, como 2n < 2p <
4n, existe un primo q tal que 2n < q < 4n, por hipótesis. Luego, existe l impar tal que 2n = q − l y
por tanto q = 2n + l, con lo que se obtiene lo deseado.
Para continuar supóngase que para n ≥ 2 se tiene
p = 2 n + l y q = 2n − l,
entonces sumando las dos ecuaciones se encuentra que
p + q = 4n
y restándolas se obtiene que
p − q = 2l
implicando que
p = 2 l + q
lo cual también se puede conseguir sumando y restando l en el lado derecho de la ecuación p = 2n +l.
Ahora, supóngase que existe un número impar 1 ≤ l ≤ 2n − 3 de tal manera que
p
= 2
n
+
l ,
y
q
= 2
n
−
l
sean números primos. Así,
1 ≤ l ≤ 2n − 3
2n + 1 ≤ 2n + l ≤ 4n − 3
2n + 1 ≤ p ≤ 4n − 3
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DE LA CIENCIA
De igual manera, se tiene que:
1 ≤ l ≤ 2n − 3
3 − 2n ≤ −l ≤ −1
3 ≤ 2n − l ≤ 2n − 1
3 ≤ q ≤ 2n − 1
Sumando las dos últimas desigualdades de p y q se encuentra que
2n + 4 ≤ p + q ≤ 6n − 4
Si se quiere obtener que p + q = 2n debe cumplirse que
p + q =
2n + 4 + 6n − 4
2
= 4 n,
es decir, p + q debe ser el punto medio del intervalo
[2n + 4, 6n − 4]
A partir de este punto se tratará de probar que dicho número l existe. Nótese que el postulado de
Bertrand establece la existencia de un número primo q (impar) tal que n < q < 2n, de manera que
3 ≤ q ≤ 2n − 1. Por tanto, existe l impar positivo tal que q = 2n − l y, además mcd(q, 4n) = 1, pues
de lo contario se tendría que q|n lo cual no es posible pues n < q. Veamos que existe un primo p tal
que p = 2l + q. Como mcd(2, q) = 1, la sucesión p = 2 m + q contiene infinitos números primos, por
el teorema de Dirichlet. Elijamos un impar l
0
tal que p = 2l
0
+ q sea primo, así
p = 2 l
0
+ q
p − l
0
= 2 k = l
0
+ q
p = 2 l + l
0
y q = 2l − l
0
.
Es decir, para el par 2k (k ∈ N) existe un impar l
0
que nos da el resultado deseado. Luego, igualando
los valores de q se obtiene que
2(n − k) = l − l
0
.
Faltaría probar que l = l
0
para obtener que n = l y así concluir que 4n = p + q para n ∈ N. Sin
embargo, con las herramientas presentes hasta este punto no es posible garantizar que n = l. Además,
es importante resaltar que probando la igualdad n = l, solo se mostraría que los números pares de
la forma 4n, se pueden escribir como suma de dos números primos, es decir, cuando n es un número
par de la forma 2h, con (h ∈ N). Y no demostraría la totalidad de la conjetura de Goldbach como se
afirma en C. E. González P. (2015).
Por último, supóngase que se amplia la conjetura de Goldbach de la siguiente forma:
Conjetura 3.2 (Goldbach-Rosas). Todo número par n ≥ 8 se puede escribir como la suma de dos
números primos impares distintos.
Ahora, suponiendo verdadera la Conjetura 3.2 se podría demostrar fácilmente el postulado de Bertrand.
En efecto, sea k ∈ N y n = 2k, por la Conjetura 3.2 existen números primos p y q distintos tales que
n = p + q, donde tanto p como q son menores que 2k. Luego, se tiene p > k o q > k, pues si p > k
y q > k entonces p + q > 2k = n lo cual es una contradicción. De igual forma si p < k y q < k,
entonces p + q < 2k = n lo cual es una contradicción. Por tanto, el primo que sea más grande que k
es el primo que satisface el postulado de Bertrand.
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4. CONCLUSIONES
Se puede concluir que la conjetura de Goldbach, el postulado de Bertrand el teorema de Dirichlet
están fuertemente relacionados. La idea presentada parece indicar que la Conjetura de Goldbach po-
dría tener una demostración con estructuras matemáticas relativamente sencillas. Además, se coloca
en evidencia que no se pueden dar por cierto enunciados sin un riguroso proceso de validación del
razonamiento que justifique del mencionado de dicho enunciado.
5. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
6. REFERENCIAS
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Barcelona, España, ISBN 84-291-5006-4.
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Scientia et Technica, 20(3), 294-300.
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mersenne, teorema dirichlet, números fermat. Scientia et Technica, 2(48), 185-190.
Hardy, G. H., y Wright, E. M. (1960). An introduction to the theory of numbers. Oxford at the
Clarendon Press, Great Britain, Fourth edition.
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Revista Bases de la Ciencia, 4(1), 45-64.
Niven, I., y Zuckerman, H. (1969). Introducción a la teoría de números. LIMUS-WILEY, S.A.,
México, 2
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Edición.
Oneto, �. (2001). Números, anillos y cuerpos. EDILUZ, 1
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Edición, Maracaibo, Venezuela,ISBN
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