Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14). Edición continua
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/index
revista.bdlaciencia@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
DOI: https://doi.org/10.33936/revbasdelaciencia.v8i3.5474
LA REGLA DE DOMINANCIA PLAUSIBLE EN DECISIONES MÚLTIPLES
Oscar Fabian Toasa Diaz
1,2∗
, Franklin José Camacho
3
, Jahn Franklin Leal
4
1
Instituto de Posgrado, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador Email: otoasa7034@utm.edu.ec
2
Unidad Académica de Formación Técnica y Tecnológica, Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí, Ecuador
Email: oscar.toasa@uleam.edu.ec
3
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales, Universidad Yachay Tech, Urcuquí, Ecuador.
Email: fcamacho@yachaytech.edu.ec
4
Facultad de Ciencias Ambientales y Forestales, Universidad de los Andes. Mérida Venezuela. Email: jleal@ula.ve
*Autor para correspondencia: otoasa7034@utm.edu.ec
Recibido: 15-01-2023/ Aceptado: 01-08-2023/ Publicación: 01-09-2023
Editor Académico: Guelvis Enrique Mata Díaz
RESUMEN
En este trabajo se trata el problema de las decisiones múltiples o decisión social. Este consiste en considerar un colectivo
de individuos que toman decisiones sobre un conjunto de políticas. Se propone un modelo de decisión social; es decir,
un modelo que permite establecer una decisión global sobre el colectivo a partir de las decisiones individuales. Se usa
una versión de la función de Borda como el mecanismo de agregación y Regla de Dominancia Plausible para ordenar
políticas. Se demuestra que este modelo satisface una propiedad de interés en la teoría de elección social conocida como
la dominancia estricta de Pareto.
Palabras clave: Decisiones múltiples, Dominancia estricta de Pareto, regla de Borda, regla de dominacia plausible.
THE PLAUSIBLE DOMINANCE RULE IN MULTIPLE DECISIONS
ABSTRACT
This paper addresses the problem of multiple decisions or social decision. It consists of considering a collective of in-
dividuals who make decisions on a set of policies. A social decision model is proposed; that is, a model that makes it
possible to establish a global decision on the collective based on individual decisions. A version of the Borda function is
used as the aggregation mechanism and the Plausible Dominance Rule is used to order the policies. It is shown that this
model satisfies a property of interest in social choice theory known as Pareto strict dominance.
Keywords: Multiple decisions, Pareto strict dominance, Borda rule, plausible dominance rule.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14)
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
A REGRA DE PROPRIEDADE PLAUSÍVEL EM MÚLTIPLAS DECISÕES
RESUMO
Este artigo trata do problema das decisões múltiplas ou decisão social. Isso consiste em considerar um grupo de indivíduos
que tomam decisões sobre um conjunto de políticas. Propõe-se um modelo de decisão social; ou seja, um modelo que
permite estabelecer uma decisão global sobre o coletivo a partir de decisões individuais. Uma versão da função Borda é
usada como mecanismo de agregação e regra de dominância plausível para as políticas de ordenação. Mostra-se que este
modelo satisfaz uma propriedade de interesse na teoria da escolha social conhecida como dominância estrita de Pareto.
Palavras chave: Decisões múltiplas, dominância estrita de Pareto, regra de Borda, regra de dominância plausível.
Citación sugerida: Diaz, F., Camacho, J. Leal F., (2023). La regla de dominancia plausible en decisiones múltiples. Re-
vista Bases de la Ciencia, Vol. 8, (No. 3), Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14). DOI: https://doi.org/
10.33936/revbasdelaciencia.v8i3.5474
2 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
1. INTRODUCCIÓN
A diario, los seres humanos deben tomar decisiones; eventualmente por costumbre, por un consejo,
o porque simplemente es necesario. Casi siempre surge una pregunta ¿será la decisión correcta?. La
duda, por más convencido que esté de la decisión tomada, siempre está presente. Esto se debe a dos
aspectos fundamentales; por un lado, situaciones que comúnmente pueden ocurrir pero no pueden ser
controlables; y por el otro, las consecuencias que se obtienen al tomar una decisión.
Las situaciones que no se pueden controlar se conocen como estados del mundo, tal como se define
en Savage (1972). Ese conjunto se denota por S. Por otra parte, toda política genera consecuencias y
dependen del estado del mundo en que ocurre; así, las consecuencias están formadas por las situaciones
que se presentan una vez que se toman las políticas y ocurre cierto estado. Este conjunto se denota por
X. Una política puede ser vista como un plan de acciones a realizar según el estado del mundo. Para ser
más precisos, una política f es una función del conjunto de estados al conjunto de las consecuencias,
f : S → X. Uno de los problemas más importantes en la Teoría de decisión es cómo clasificar las
políticas. En otras palabras, como definir relaciones binarias, ⪰, sobre el conjunto de todas las posibles
políticas X
S
.
Actualmente existen muchos mecanismos para la toma de decisiones individuales, y en gran parte se
han estudiado a través de métodos cuantitativos ver Fishburn (1970); Savage (1972). Por ejemplo, el
estudio de la utilidad esperada en el marco de la teoría de decisión cuantitativa. Para usar este modelo
se necesita una función de probabilidad p sobre los subconjuntos de los estados del mundo (eventos)
y una utilidad u sobre las consecuencias. Este modelo consiste en clasificar las políticas o acciones
a través de la esperanza de la utilidad de las consecuencias de cada política. En otras palabras, de
la esperanza de la variable aleatoria que es la composición de la utilidad con la política (u ◦ f). La
esperanza es un promedio ponderado en caso discreto y en el caso continuo es la generalización de
esta idea, a través de series o integrales dependiendo de la naturaleza del espacio. Para más detalle de
este enfoque, ver Fishburn (1970); Gilboa (2009).
Otro modelo utilizado para la toma de decisiones individuales es la regla de dominancia plausible,
este tiene un enfoque cualitativo y fue propuesto por Dubois y cols. (1997). Este necesita una rela-
ción binaria ⊒ sobre los eventos P(S) (llamada relación de plausibilidad) y una relación (un preorden
total) ⪰
x
sobre las consecuencias X. Consiste en comparar, a través de la relación de plausibilidad,
el conjunto de los estados donde las consecuencias de una política domina a la otra. Este modelo ha
sido ampliamente estudiado por Camacho y Pérez (2021); Camacho y Pino Pérez (2011); Camacho y
Pérez (2016); Dubois y cols. (2003, 2002), entre otros. Tanto la regla de dominancia plausible como
la utilidad esperada son usadas en problemas de toma decisión que involucra a un individuo. Desafor-
tunadamente, cuando el conjunto de estados es finito, el modelo de la utilidad esperada es sensible a
pequeños cambios en los parámetros que la define. En Camacho y Pérez (2016) pueden encontrar un
ejemplo donde realizando pequeños cambios en la probabilidad o la utilidad, las preferencias de las
políticas cambian. Mientras que la regla de dominancia plausible es más robusta en el caso finito.
Cuando se establece un problema de toma de decisiones que involucra a varios individuos, decisiones
múltiples, la utilidad esperada ha sido implementada, ver Fishburn (1970); Gilboa (2009), entre otros.
El modelo de la regla de dominancia plausible en decisiones múltiples ha sido poco estudiada. Uno
de los primeros trabajos en esta dirección fue Leal (2016).
En este trabajo se continua con el trabajo iniciado por Leal (2016), realizando dos aportes: lo primero
fue proponer un algoritmo para la regla de dominancia plausible en decisiones múltiples y el segundo
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 3
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
aporte fue demostrar que, bajo ciertas condiciones, la relación obtenida en el algoritmo, satisface la
dominancia estricta de Pareto.
Para ser más precisos el algoritmo, dado en la definición 7, suponga que existen n individuos invo-
lucrados en la toma de decisiones. Primero, se consideran un perfil sobre los estados del mundo y un
perfil sobre las consecuencias. Después, se agrega la información de estos perfiles usando funciones
de agregación aditiva en ambos perfiles. Seguidamente, la relación de agregación obtenida, sobre los
estados del mundo, se extiende a través de la relación posibilista asociada. Luego, se usa la regla de
dominancia plausible. Vale señalar que, la relación obtenida captura la información de los n individuos
en un preorden total sobre las políticas y codifica, de cierta manera, la información social.
Cuando se realiza una agregación es deseable que satisfaga alguna de las propiedades de interés en
la teoría de elección social. La dominancia estricta de Pareto es una de estas. En el ejemplo 4, de
la sección 4, se observa que si el algoritmo usa la función de agregación de Borda por niveles, la
relación obtenida por la regla de dominancia plausible no satisface la dominancia estricta de Pareto.
Sin embargo, si se usa la función de agregación de Borda por niveles inalcanzables, se cumple la
propiedad, obteniendo el resultado principal de este trabajo, ver teorema 1, de la sección 4.
2. PRELIMINARES
2.1 Relaciones binarias sobre un conjunto
Sea S un conjunto no vacío. Una relación R sobre S, es un subconjunto de S × S. Si (x, y) ∈ R,
también denotado por xRy, se interpreta como “x está relacionado con y”. En el caso que “x no
esté relacionado con y” se denota x ̸ Rx. La parte estricta de R, denotada por E, se define como:
∀x, y ∈ S(xEy ⇔ xR y & y ̸Rx). Mientras la parte indiferente de R, denotada por I, se define como:
∀x, y ∈ S(xIy ⇔ xRy & yRx). Por lo general, las relaciones serán denotadas por ⪰ y la parte estricta
e indiferente por ≻ y ∼, respectivamente. Se agregarán subíndices en caso de ser necesario.
Cuando una relación posee varias propiedades recibe nombres particulares. Una relación R sobre S es
un preorden total si es transitivo (∀x, y, z ∈ S[xRy & yRz =⇒ xRz]) y total (∀x ∈ S, xRx). Una re-
lación R sobre S es un orden lineal si es un preorden total y antisimétrico (∀x, y, z ∈ S[xRy & yRx =⇒
x = y]). Se denota por P
s
al conjunto de todos los preórdenes totales sobre S. Un perfil de S de tamaño
n, es una n-tupla de preórdenes totales de S; es decir, u = (⪰
1
, · · · , ⪰
n
) con ⪰
i
∈ S. En un perfil de
tamaño n se establece la información, de forma ordenada, de n preórdenes totales. Se denota por P
n
s
el conjunto de todos los perfiles de S de tamaño n.
2.2 Funciones de rango y agregaciones
Una función de rango sobre un conjunto S es cualquier función f : S → R. Una función de rango f
define un preorden total ⪰ sobre S de la siguiente manera: para todo x, y ∈ S,
x ⪰ y ⇔ f (x) ≥ f(y) (1)
Cualquier preorden total ⪰ que satisface (1), se dice que es representado por la función de rango f o
bien que f representa a ⪰. A continuación se definen dos tipos de funciones de rango.
4 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Definición 1. Sea ⪰ un preorden total sobre S. La función de rango por niveles asociada a ⪰, es
dada como: para todo a ∈ S
N(a) = n ⇐⇒ ∃a
1
, . . . , a
n
∈ S : a
i+1
≻ a
i
& a
n
= a (2)
Mientras que, la función de rango por niveles inalcanzables asociada a ⪰ es dada como:
I(a) =
1, N(a) = 1;
1 +
∑
x∈U(a)
N(x), N(a) ̸= 1
(3)
donde U(a) = {x ∈ S : N(a) > N (x)} y N es la función de rango por niveles asociada a ⪰.
En el ejemplo 1 se describe un perfil de tamaño 4 y las correspondientes funciones de rango por niveles.
Ejemplo 1. Supongamos que S = {s
1
, s
2
, s
3
, s
4
}. Sea u = (⪰
1
s
, ⪰
2
s
, ⪰
3
s
, ⪰
4
s
) un perfil sobre S donde
las relaciones ⪰
1
s
, ⪰
2
s
, ⪰
3
s
y ⪰
4
s
sobre S dadas por: s
4
≻
1
s
s
2
∼
1
s
s
1
≻
1
s
s
3
, s
3
≻
2
s
s
1
≻
2
s
s
4
≻
2
s
s
2
,
s
3
≻
3
s
s
1
∼
3
s
s
2
≻
3
s
s
4
y s
4
≻
4
s
s
1
≻
4
s
s
2
≻
4
s
s
3
; respectivamente. El perfil es representado por:
u =
s
3
s
4
s
4
s
1
s
3
s
1
s
2
s
1
s
4
s
1
s
2
s
2
s
3
s
2
s
4
s
3
— — — —
⪰
1
s
⪰
2
s
⪰
3
s
⪰
4
s
4
3
2
1
—
(4)
En las columnas se describen los preórdenes totales. Las relaciones ⪰
1
y ⪰
3
son preórdenes totales que
no son antisimétricos, obsérvese que existe un nivel con más de un elemento. La relación ⪰
1
s
tiene tres
niveles: N
1
(s
1
) = 2 = N
1
(s
2
), N
1
(s
3
) = 1 y N
1
(s
4
) = 3; es decir, s
3
está en el nivel 1, s
2
y s
1
están
en el nivel 2, mientras que s
4
en el nivel 3. Por otra parte, la función de rango por niveles inalcanzable
I
1
, está dada por, I
1
(s
1
) = 1, I
1
(s
2
) = 1, I
1
(s
3
) = 1 y I
1
(s
4
) = N
1
(s
2
) + N
1
(s
3
) + N
1
(s
1
) = 5. Las
relaciones ⪰
2
y ⪰
4
son órdenes lineales, hay cuatro niveles y en cada nivel hay un elemento. Para
⪰
2
, la función por niveles, N
2
, está dada por: N
2
(s
1
) = 3, N
2
(s
2
) = 1, N
2
(s
3
) = 4 y N
2
(s
4
) = 2;
mientras la función de rango por niveles inalcanzable, I
2
, está dada por: I
2
(s
1
) = N
2
(s
4
)+N
2
(s
2
) =
2 + 1 = 3, I
2
(s
2
) = 1, I
2
(s
3
) = 6 y I
2
(s
4
) = 1. En la tabla 1, se describen los valores que tiene cada
función de rango por niveles y por niveles inalcanzables en cada elemento del conjunto S.
Una función de agregación sobre S, fusiona la información de cualquier perfil de tamaño n, en un pre-
orden total sobre S. A continuación se definen dos tipos de funciones de agregación usando funciones
de rango. Estas son versiones de la conocida función de agregación de Borda, ver Martínez Panero y
cols. (2004).
Definición 2. Sea S y u = (⪰
1
s
, · · · , ⪰
n
s
) ∈ P
n
S
. Si f
i
u
es una función de rango que representa a ⪰
i
s
,
entonces la función F
u
, dada por: para todo x ∈ S,
F
u
(x) =
n
∑
i=1
f
i
u
(x) (5)
se conoce como función de agregación aditiva. En particular,
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 5
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
Tabla 1. Las funciones de rango N
i
e I
i
para cada individuo i, Borda B y Borda Inalcanzable B
I
N
1
N
2
N
3
N
4
B I
1
I
2
I
3
I
4
B
I
s
1
2 3 2 3 10 1 3 1 3 8
s
2
2 1 2 2 7 1 1 1 1 4
s
3
1 4 3 1 9 1 6 5 1 13
s
4
3 2 1 4 10 5 1 1 6 13
1. Si f
i
u
es la función de rango por niveles asociada a ⪰
i
, entonces F
u
, dada como en (5), se conoce
como la función de Borda.
2. Si f
i
u
es la función de rango por niveles inalcanzable asociada a ⪰
i
, entonces F
u
, definida como
en (5), se conoce como la función de Borda inalcanzable.
Observación 1. A partir del perfil u en P
n
S
y una función de agregación aditiva F
u
sobre S, se
establece una relación de agregación, ⪰
F
, definida según (1); es decir, ∀x, y ∈ S, x ⪰
F
y ⇔
F (x) ≥ F (y).
En lo que sigue, se denota con B la función de Borda, mientras que B
I
la función de Borda inalcan-
zable. En el ejemplo 1, para el perfil u, el elemento s
4
se encuentra en el nivel 3 para ⪰
1
; en el nivel
2 para ⪰
2
; en el nivel 1 para los preórdenes ⪰
3
y para ⪰
4
en el nivel 4. Luego, s
4
tiene asociado el
número B( s
4
) = N
1
(s
4
) + N
2
(s
4
) + N
3
(s
4
) + N
4
(s
4
) = 3 + 2 + 1 + 4 = 10 (ver Tabla 1). A partir
de los niveles, N
i
, se tiene que B(s
1
) = 10, B(s
2
) = 7 y B(s
3
) = 9. Luego,
s
4
∼
B
s
1
≻
B
s
3
≻
B
s
2
.
De igual manera, en el mismo ejemplo 1, para la función de Borda inalcanzable B
I
y el perfil u se
tiene que: para s
1
, B
I
(s
1
) = I
1
(s
1
) + I
2
(s
1
) + I
3
(s
1
) + I
4
(s
1
) = 1 + 3 + 1 + 3 = 8; mientras que,
B
I
(s
2
) = 4, B
I
(s
3
) = 13 y B
I
(s
4
) = 13. De manera que,
s
4
∼
B
I
s
3
≻
B
I
s
1
≻
B
I
s
2
.
2.3 La dominancia estricta de Pareto
Una de las propiedades más importante en la teoría de elección social es la dominancia de Pareto. Esta
propiedad tiene varias versiones, ver Kitzberger (2003). Una de estas, es la dominancia estricta de
Pareto, en el contexto que de este trabajo se establece que: “si todos los individuos establecen que un
elemento es mejor estrictamente que otro, entonces esta preferencia debería mantenerse en el resultado
global de la decisión”. Formalmente.
Definición 3. Sea u = (⪰
1
, · · · , ⪰
n
) un perfil sobre S y sea ⪰ una agregación a partir de u. Se dice
que ⪰ satisface la dominancia estricta de Pareto si: para todo i y para todo par a, b ∈ S, se tiene
que:
a ≻
i
b → a ≻ b
donde ≻
i
y ≻ son la parte estricta de ⪰
i
y ⪰, respectivamente.
6 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
2.4 Levantamiento Posibilista
Un evento de S es cualquier subconjunto de S. Sea P(S) = {A : A ∈ S} el conjunto de todos los
eventos de S. Se denota con ⊒ una relación sobre P(S), agregando subíndices o supraíndices cuando
sea necesario. Cuando este tipo de relaciones son utilizadas para establecer la incertidumbre sobre S, se
conocen como relaciones de plausibilidad sobre los eventos de S. Existen distintos tipos de relaciones
de plausibilidad sobre P(S) . Un clase importante son aquellas que preservan a una relación ⪰ fija
sobre S. Esta clase de relaciones se conocen como levantamientos de ⪰. A continuación la definición
formal.
Definición 4. Sean ⪰ y ⊒ relaciones sobre S y P(S), respectivamente. Se dice que ⊒ es un levanta-
miento de ⪰ si ∀x, y ∈ S,
x ⪰ y ⇐⇒ {x} ⊒ {y}.
Existen distintas maneras de establecer levantamientos dado un preorden total. Para profundizar en
este tema, ver Barberà y cols. (2004). A continuación se define el levantamiento posibilista.
Definición 5. Si es ⪰ un preorden total sobre S, el levantamiento posibilista asociado a ⪰, denotado
por ⊒, es dado como: ∀A, B ∈ P(S)
A ⊒ B ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : a ⪰ b.
Para una buena revisión sobre las relaciones posibilistas ver Barberà y cols. (2004); Camacho y Pérez
(2016); ?.
3. TOMA DE DECISIONES A TRAVÉS DE LA REGLA DE DOMINANCIA PLAUSIBLE
3.1 Estados, consecuencias y políticas
Un individuo, al momento de tomar una decisión, se enfrenta a tres aspectos: los estados del mun-
do, las consecuencias de las decisiones y las políticas o acciones que toma. Los estados del mundo
, o simplemente estados, son las situaciones que pueden ocurrir, en un momento determinado, y el
individuo no puede controlar la ocurrencia de estos. Se denota con S y se asume que es finito. En lo
que sigue, (S, ⪰
s
), establece que S está dotado del preorden total ⪰
s
, donde ⪰
s
describe la forma
subjetiva con la que el usuario clasifica a S.
Las consecuencias son todas las situaciones que pueden ocurrir cuando se realiza una acción en un
estado determinado. Este conjunto es denotado por X. El individuo, establece las preferencias que
tiene sobre las consecuencias a través de un preorden total ⪰
x
. Esta situación se denota con (X, ⪰
x
).
Finalmente, una política o acción f es una función del conjunto de estado S al conjunto de las con-
secuencias X; es decir, f : S → X. Si X
S
= {f|f : S → X} es el conjunto de todas las políticas,
entonces (X
S
, ⊵) describe que X
S
es dotado de una relación ⊵. Para f, g ∈ X
S
, f ⊵ g expresa que
f es mejor o indiferente a g.
En resumen, en la toma de decisión están involucrados tres ambientes y cada uno dotado de una
relación binaria: los estados del mundo ( S, ⪰
s
), las consecuencias (X, ⪰
x
) y las políticas (X
S
, ⊵).
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 7
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
3.2 Regla de Dominancia Plausible
La regla de dominancia plausible (RDP) propuesta por Dubois y cols. (2002), con el nombre de regla
de levantamiento postula que: una política f es mejor que una política g, si y solo si, el conjun-
to de estados donde f domina a g es más plausible que el conjunto de estados donde g domina a
f.Formalmente,
Definición 6. Dados (S, ⪰
s
) y (X, ⪰
x
). La relación ⊵ sobre X
S
es dada a través de the simple
plausible dominance rule, denoted by ⊵= RDP (⪰
x
, ⊒), de la siguiente manera ∀f, g ∈ X
S
:
f ⊵ g ⇔ [f ≻
x
g] ⊒ [g ≻
x
f] (6)
donde [f ≻
x
g] = {s ∈ S : f (s) ≻
x
g(s)} con ≻
x
es la parte estricta de ⪰
x
y ⊒ es un levantamiento
posibilista de ⪰
s
.
En la definición 6, la relación ⊒ pudiera ser cualquier relación binaria sobre P(S); sin embargo,
en este trabajo solo se considera el levantamiento posibilista asociado a ⪰
s
. El conjunto [f ≻
x
g]
se conoce como el conjunto donde f domina a g y está formado por todos los estados donde las
consecuencias de f son preferidas estrictamente que las consecuencias de g.
Observación 2. Para comparar dos funciones f, g usando la definición 6, se tienen como datos
(S, ⪰
s
) y (X, ⪰
x
). El procedimiento se resume en los siguientes pasos:
1. Se construyen los conjuntos dominantes: [f ≻
x
g] y [g ≻
x
f].
2. Se comparan [f ≻
x
g] y [g ≻
x
f] a través de ⊒, la relación posibilista asociada a ⪰
s
, según la
definición 5.
3. A partir de la ecuación (6), se determina si f ⊵ g o bien g ⊵ f.
Ejemplo 2. Considere un problema de toma de decisión donde S = {s
1
, s
2
, s
3
, s
4
} y X = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
}.
Suponga que un individuo desea tomar una decisión tomando en cuenta que:
• Para ( S, ⪰
s
), la clasificación de los estados del mundo, están dadas por s
4
≻
s
s
2
∼
s
s
1
≻
s
s
3
,
similar a ⪰
1
s
del ejemplo 1;
• Para (X, ⪰
x
) el individuo clasifica las consecuencias a través del siguiente preorden total:
x
3
≻
x
x
4
≻
x
x
2
≻
x
x
1
;
• Se considera el levantamiento posibilita ⊒ asociado a ⪰
s
.
Sean f, g ∈ X
S
dos políticas definida como:
s
1
s
2
s
3
s
4
f x
4
x
1
x
3
x
2
g x
3
x
2
x
4
x
1
Para f y g los conjuntos dominantes están dados por A = [f ≻
x
g] = {s ∈ S : f(s) ≻
x
g(s)} =
{s
1
, s
4
} y B = [g ≻
x
f] = {s
2
, s
3
}. Como s
4
≻
s
s
i
para todo s
i
∈ B, entonces A ⊐ B. Luego, f ▷ g.
8 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
3.3 Regla de dominancia plausible múltiple
En esta sección se propone una metodología para usar la regla de dominancia plausible cuando en un
problema de toma de decisión se encuentran involucrados varios individuos o agentes. Suponga que
n individuos desean tomar una decisión bajo el mismo conjunto de estados S y el mismo conjunto de
consecuencias X. Es decir, cada individuo establece un preorden total, ⪰
i
s
, sobre S y otro, ⪰
i
x
, sobre
X.
Definición 7 (Algoritmo 1: Agregación de preferencia individuales). Sean f, g ∈ X
S
, las políticas
a comparar.
Paso 1. Considere u
s
= (⪰
1
s
, ⪰
2
s
, · · · , ⪰
n
s
) y u
x
= (⪰
1
x
, ⪰
2
x
, · · · , ⪰
n
x
) perfiles sobre S y X, respecti-
vamente.
Paso 2. Para u
s
se selecciona una función de agregación aditiva, construyendo un preorden total
⪰
u
s
sobre S según la expresión (1). Es decir, se obtiene (S, ⪰
u
s
).
Paso 3. Para u
x
se selecciona una función de agregación aditiva, construyendo un preorden total
⪰
u
x
sobre X según la expresión (1). Es decir, se obtiene (X, ⪰
u
x
).
Paso 4. Se compara f y g usando la definición 6. Ver observación 2.
En el siguiente ejemplo se muestra como funciona el algoritmo para un problema de toma de decisión
que involucra a cuatro individuos.
Ejemplo 3. Considere el conjunto de estados S = {s
1
, s
2
, s
3
, s
4
} y el conjunto de consecuencia
X = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
}. Se suponen cuatro individuos, N = {1, 2, 3, 4}. Para cada i ∈ N, se describen
las relaciones ⪰
i
s
y ⪰
i
x
, sobre S y X respectivamente:
s
4
s
2
s
1
s
3
—
⪰
1
s
x
3
x
4
x
2
x
1
—
⪰
1
x
s
3
s
1
s
4
s
2
—
⪰
2
s
x
2
x
1
x
3
x
4
—
⪰
2
x
s
3
s
1
s
2
s
4
—
⪰
3
s
x
1
x
3
x
4
x
2
—
⪰
3
x
s
4
s
1
s
2
s
3
—
⪰
4
s
x
4
x
2
x
3
x
1
—
⪰
4
x
4
Suponga que se desea comparar las políticas f, g ∈ X
S
dadas de la siguiente manera en la tabla 2:
Tabla 2.
s
1
s
2
s
3
s
4
f x
4
x
1
x
3
x
2
g x
3
x
2
x
4
x
1
Con la finalidad de comparar las políticas f y g tomando en cuenta las preferencias de los cuatro
individuos, se describen los pasos de la definición 7 a continuación:
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 9
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
Paso 1. Considere los perfiles
u
s
=
s
3
s
4
s
4
s
1
s
3
s
1
s
2
s
1
s
4
s
1
s
2
s
2
s
3
s
2
s
4
s
3
— — — —
⪰
1
s
⪰
2
s
⪰
3
s
⪰
4
s
u
x
=
x
3
x
2
x
1
x
4
x
4
x
1
x
3
x
2
x
2
x
3
x
4
x
3
x
1
x
4
x
2
x
1
— — — —
⪰
1
x
⪰
2
x
⪰
3
x
⪰
4
x
Paso 2. Considere la función de Borda B
s
para u
s
. Como el perfil u
s
fue considerado en el ejemplo
1, a partir de la tabla 1, se tiene que B
s
(s
4
) = B
s
(s
1
) = 10, B
s
(s
3
) = 9 y B
s
(s
2
) = 7. Por
la ecuación (1),
s
4
s
1
s
3
s
2
—
⪰
u
s
Paso 3. Para u
x
considere la función de Borda B
x
. Se tiene que B
x
(x
1
) = 1 + 3 + 4 + 1 = 9,
B
x
(x
2
) = 2 + 4 + 1 + 3 = 10, B
x
(x
3
) = 4 + 2 + 3 + 2 = 11 y B
x
(x
4
) = 3 + 1 + 2 + 4 = 10.
Así, por la ecuación (1),
x
3
x
4
x
2
x
1
—
⪰
u
x
Paso 4. Según la observación 2:
• Determinar los conjuntos dominantes: A = [f ≻
x
g] = {s ∈ S : f (s) ≻
x
g(s)} =
{s
3
, s
4
} y B = [g ≻
x
f] = {s
1
, s
2
}.
• Usando la relación posibilista asociada a ⪰
u
s
, se tiene que A ⋍ B, debido a que s
1
∈ B
y s
4
∼
u
s
s
1
.
• Finalmente, por la definición 6, f ⋍ g.
En este caso, la política f es indiferente a la política g.
4. LA DOMINANCIA ESTRICTA DE PARETO Y LA REGLA DE DOMINANCIA
PLAUSIBLE MÚLTIPLE
Sean un perfil u
s
= (⪰
1
s
, ⪰
2
s
, · · · , ⪰
n
s
) sobre S y un perfil u
x
= ( ⪰
1
x
, ⪰
2
x
, · · · , ⪰
n
x
) sobre X. Para
cada i = 1, · · · , n sea ⊵
i
= RDP (⪰
i
x
, ⊒
i
) donde ⊒
i
es el levantamiento posibilista asociado a ⪰
i
s
.
Considere ⊵ la relación de agregación obtenida según el algoritmo de la definición 7. En el siguiente
ejemplo se muestra que, si la función de agregación en el algoritmo es la función de rango de Borda,
entonces ⊵ no satisface la dominancia estricta de Pareto.
10 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
Ejemplo 4. Considere N = {1, 2, 3, 4}, S, X, ⪰
i
s
, ⪰
i
x
y las políticas f y g como en el ejemplo 3.
Para cada i ∈ N , se compara f y g con ⊵
i
= RDP (⪰
i
x
, ⊒
i
). Si i = 1 , la relación ⪰
1
x
está dada
por: x
3
≻
1
x
x
4
≻
1
x
x
2
≻
1
x
x
1
. Los conjuntos dominantes están dados por: A
1
= [ f ≻
1
x
g] = {s
3
, s
4
}
y B
1
= [g ≻
1
x
f] = {s
1
, s
2
}. Como s
4
≻
1
s
s para todo s ∈ B
1
, entonces A
1
⊐
1
B
1
. Por la
definición 6, f ▷
1
g. Para i = 2, x
2
≻
2
x
x
4
≻
2
x
x
3
≻
2
x
x
4
, entonces A
2
= [f ≻
2
x
g] = {s
3
, s
4
} y
B
2
= [g ≻
1
x
f] = {s
1
, s
2
}. Luego, f ▷
2
g. Cuando i = 3, x
1
≻
3
x
x
3
≻
3
x
x
4
≻
3
x
x
2
. Los conjuntos
dominantes están dados por A
3
= [f ≻
3
x
g] = {s
2
, s
3
} y B
3
= [g ≻
1
x
f] = {s
1
, s
4
}, de manera que
f ▷
3
g. Finalmente, si i = 4, las consecuencias están ordenadas como: x
4
≻
4
x
x
2
≻
4
x
x
3
≻
4
x
x
1
. De
manera que, A
4
= [f ≻
4
x
g] = {s
1
, s
4
} y B
4
= [g ≻
1
x
f] = {s
2
, s
3
}. Así, f ▷
4
g. Teniendo que para
todo i ∈ N, f ▷
i
g. Sin embargo, por el ejemplo 3, usando la función de agregación de Borda, f ⋍ g.
Luego, ⊵ no satisface la dominancia estricta de Pareto.
A continuación se demuestra el resultado principal de este trabajo. El teorema establece que si se
considera la función de agregación de Borda inalcanzable y todos los individuos clasifican de igual
manera a las consecuencias, entonces la relación obtenida por la regla de dominancia plausible múl-
tiple satisface la dominancia estricta de Paréto.
Teorema 1. Sean u
s
= (⪰
1
s
, · · · , ⪰
n
s
) ∈ P
n
s
y u
x
= (⪰
1
x
, · · · , ⪰
n
x
) ∈ P
n
x
. Suponga que: Para todo
i ∈ N = {1 , · · · , n},
1. ⪰
i
x
=⪰
x
donde ⪰
x
es un preorden total sobre X;
2. ⊒
i
es el levantamiento posibilista asociado a ⪰
i
s
;
3. ⊵
i
= RDP (⪰
x
, ⊒
i
);
4. ⪰
s
es la relación de agregación obtenida para la función de Borda inalcanzable asociada a u
s
;
5. ⊒ es el levantamiento posibilista asociado a ⪰
s
;
6. ⊵= RDP (⪰
x
, ⊒).
Si f ▷
i
g para todo i ∈ N, entonces f ▷ g, donde ▷
i
y ▷ son la parte estricta de ⊵
i
y ⊵, respecti-
vamente.
Demostración 1. Sean f, g ∈ X
S
tales que f ▷
i
g para todo i ∈ N. Se quiere demostrar que f ▷ g.
Por la definición 6,
f ▷ g ⇔ A = [f ≻
x
g] ⊐ [g ≻
x
f] = B
donde ⊐ es la parte estricta de ⊒. Por la definición 5,
f ▷ g ⇔ ∀b ∈ B, ∃a
∗
∈ A : a
∗
≻
s
b
donde ≻
s
es la parte estricta de ⪰
s
. Como ⪰
s
es la relación de agregación que se obtiene usando la
función de Borda inalcanzable para u
s
, por la definición 2, se tiene que
f ▷ g ⇔ ∀b ∈ B, ∃a
∗
∈ A : B
I
(a
∗
) > B
I
(b) (7)
Así, para demostrar que f ▷ g basta con demostrar la parte derecha o recíproco de la expresión (7).
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 11
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
Como para cada i ∈ N , f ⊵
i
g, por la definición 6, el hecho que ⪰
i
x
=⪰
x
y las definiciones 5 y 2, se
tiene que:
f ▷
i
g ⇔ [f ≻
i
x
g] ⊐
i
[g ≻
i
x
f]
⇔ A = [f ≻
x
g] ⊐
i
[g ≻
x
f] = B
⇔ ∀b ∈ B, ∃a
i
∈ A : a
i
≻
i
s
b
⇔ ∀b ∈ B, ∃a
i
∈ A : N
i
(a
i
) > N
i
(b)
donde N
i
es la función de rango por niveles asociada a ⪰
i
s
. Así,
f ▷
i
g ⇔ ∀b ∈ B, ∃a
i
∈ A : N
i
(a
i
) > N
i
(b). (8)
Ahora bien, como B es finito, sea b
∗
∈ B tal que
B
I
(b
∗
) ≥ B
I
(b), ∀b ∈ B. (9)
Para cada i ∈ N y x ∈ S, considere
U
i
(x) = {s ∈ S : N
i
(x) > N
i
(s)}.
Note que, para cada a
i
encontrado en (8), se tiene que
U
i
(b
∗
) ⊆ U
i
(a
i
).
En efecto, si s ∈ U
i
(b
∗
), entonces N
i
(s) < N
i
(b
∗
). Por otro lado, por la ecuación (8), N
i
(a
i
) >
N
i
(b
∗
). De manera que, N
i
(a
i
) > N
i
(s). Así, s ∈ U
i
(a
i
). De manera que,
∑
s∈U
i
(a
i
)
N
i
(s) >
∑
s∈U
i
(b
∗
)
N
i
(s) (10)
Como (10) es cierta, para cada a
i
encontrada en (8), entonces
n
∑
i=1
∑
s∈U
i
(a
i
)
N
i
(s) >
n
∑
i=1
∑
s∈U
i
(b
∗
)
N
i
(s) ⇔ B
I
(a
i
) =
n
∑
i=1
I(a
i
) >
n
∑
i=1
I(b
∗
) = B
I
(b
∗
).
Tomando a
∗
como a
i
de los obtenidos en (8), se tiene que
B
I
(a
∗
) > B
I
(b
∗
)
pero, por (9)
B
I
(a
∗
) > B
I
(b), ∀b ∈ B (11)
Así, se cumple la parte derecha de (7). Luego, f ▷ g.
12 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
5. CONCLUSIONES
En un problema de decisiones múltiples, la regla de dominancia plausible puede ser implementada
obteniendo la propiedad de dominancia estricta de Pareto, siempre que:
1. Todos los individuos consideren los mismos estados del mundo S y conjunto de consecuencias
X;
2. las consecuencias sean igualmente clasificadas para todos los individuos, es decir, ⪰
i
x
=⪰
x
;
3. El perfil sobre los estados del mundo es agregado a partir de la función de agregación de Borda
inalcanzable.
Si se considera la función de agregación de Borda, la dominancia estricta de Pareto no se cumple.
6. DECLARACIÓN DE CONFLICTO DE INTERÉS DE LOS AUTORES
Los autores declaran no tener conflicto de intereses.
7. AGRADECIMIENTOS
Se agradece al Vicerrectorado de Investigación de la Universidad Yachay Tech ya que ha financiado
parcialmente este trabajo a través del proyecto Bienestar Social y Justicia en la Toma de Decisiones
código MATH22-04.
8. REFERENCIAS
Barberà, S., Bossert, W., y Pattanaik, P. K. (2004). Ranking sets of objects. En Handbook of utility
theory (pp. 893–977). Springer.
Camacho, F., y Pérez, R. P. (2021). Decision-making through dominance plausible rule: New cha-
racterizations. Mathematical Social Sciences, 113, 107–115.
Camacho, F., y Pino Pérez, R. (2011). Dominance plausible rule and transitivity. Journal of Applied
Non-Classical Logics, 21(3-4), 355–373.
Camacho, F., y Pérez, R. P. (2016). Racionalidad en las desiciones cualitstivas. Universidad de los
Andes.
Dubois, D., Fargier, H., y Perny, P. (2003). Qualitative decision theory with preference relations and
comparative uncertainty: An axiomatic approach. Artificial Intelligence, 148(1-2), 219–260.
Dubois, D., Fargier, H., y Prade, H. (1997). Decision-making under ordinal preferences and compa-
rative uncertainty. En (p. 157–164). San Francisco, CA, USA: Morgan Kaufmann Publishers
Inc.
Publicación Cuatrimestral. Vol. 8, No. 3, Septiembre/Diciembre, 2023, Ecuador (p. 1 -14) 13
Oscar Toasa, Franklin Camacho, Jahn Leal
Dubois, D., Fargier, H., Prade, H., y Perny, P. (2002). Qualitative decision theory: from savage’s
axioms to nonmonotonic reasoning. Journal of the ACM (JACM), 49(4), 455–495.
Fishburn, P. C. (1970). Utility theory for decision making (Inf. Téc.). Research analysis corp McLean
VA.
Gilboa, I. (2009). Theory of decision under uncertainty (Vol. 45). Cambridge university press.
Kitzberger, P. (2003). La concepción de la política en la obra de vilfredo pareto.
Leal, J. (2016). Tesis de doctorado: Teoría de elección social y decisiones múltiples. Universidad de
los Andes.
Martínez Panero, M., y cols. (2004). Generalizaciones y extensiones de la regla de votación de borda.
Savage, L. J. (1972). The foundations of statistics. Courier Corporation.
CONTRIBUCIÓN DE AUTORES
Autor Contribución
Oscar Fabian Toasa Diaz Metodología, revisión, búsqueda bibliográfica y diseño del artículo.
Franklin José Camacho Análisis, revisión y redacción.
Jahn Franklin Concepción, análisis, revisión y redacción.
14 ISNN 2588-0764 REVISTA BASES
DE LA CIENCIA
