Publicación Cuatrimestral. Vol. 2, Año 2017, N
o
1 (31-44).
SOLUCIÓN ANALÍTICA AL PROBLEMA NO HOMOGÉNEO DEL
LÁTIGO
MSc. Juan Sabas Salas*; MSc. Glay Cedeño C.; MSc. Victor García P .; MSc. Luis
Cobacango L .; MSc. Willam Moreano G .; MSc. José Guanoluiza C .; MSc. Jofre
Veliz V .; MSc. Luis Zambrano V .; MSc. Maritza Vélez P
Universidad Técnica de Manabí. Instituto de Ciencias Básicas. Departamento de Matemáticas. Portoviejo
Manabí-Ecuador.
*Autor para la correspondencia. Email: jsabas@utm.edu.ec
Recibido: 10-01-2017 / Aceptado: 19-4-2017
RESUMEN
Debido a la complejidad del método de solución de superposición de ondas, encontrar soluciones analíticas
en las ecuaciones diferenciales parciales se hace complicado. En este artículo presentamos un método teórico
de solución al problema general de propagación unidimensional de ondas que permiten dividir el problema
en otros de menor complejidad. Aplicando el método de separación de variables de Fourier y la Transformada
de Laplace se obtiene detalladamente la solución analítica al problema no homogéneo del látigo.
Palabras clave: Ecuación de onda, Transformada de Laplace, Solución analítica.
ANALYTIC SOLUTION TO THE NON-HOMOGENEOUS WHIP
PROBLEM
ABSTRACT
Because of the complexity of the wave overlay solution method, finding analytical solutions in partial differential
equations becomes complicated. In this article we present a theoretical method of solution to the general
problem of unidimensional propagation of waves which allows the division of the problem into other smaller
complexities. Applying the Fourier method of separation of variables and the Laplace transform gives the
analytical solution to the non-homogeneous problem of the whip
Key words: wave equation, analytical solution, Laplace Transform.
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas más interesantes del que se ocuparon los científicos del Siglo XVIII,
y que se presenta con relativa frecuencia en los problemas físicos relacionados con
Artículo de Investigación
Ciencias Matemáticas
MSc. Juan Sabas Salas y col.
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procesos oscilatorios, fue el que se conoce con el nombre de “El problema de la cuerda
vibrante o Ecuación de Onda".
La ecuación de la cuerda vibrante es la primera ecuación diferencial parcial que se descubre
en la mecánica y este problema refleja perfectamente la interrelación que siempre ha
existido entre la matemática y la física. El problema de la cuerda vibrante consiste en
considerar una cuerda elástica de longitud L con los extremos fijos por conveniencia, en los
puntos (0; 0) y (L; 0) del eje de abscisas, cuando la cuerda es apartada de su posición de
equilibrio esta adopta la forma de una función continua de ecuación, y = f(x) y se suelta.
¿Cuál es el movimiento descrito por la cuerda Si los desplazamientos de la cuerda se hallan
siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular en cualquier
momento al eje de abscisas?. Dicho movimiento vendrá descrito por una función u (x; t) que
representa el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x ( 0 x ) y el
tiempo t (t ). El problema planteado es obtener u (x; t) a partir de f(x).
El primer matemático que elaboró un modelo apropiado fue Jean Le Rond D'Alembert, bajo
diversas hipótesis referentes fundamentalmente a que las “vibraciones sean pequeñas",
demostró en (D'Alembert 1747) que la función U(x,t) satisface el problema de valor inicial:
Y cuya solución viene dada por:
Esta solución consiste en la superposición de dos ondas viajeras a través de la cuerda en
direcciones opuestas. Para D’Alembert la función de condición inicial f(x) debe ser una
función analítica de clase
cuya gráfica es una curva sin picos, es decir con primera
derivada continua en 0 x la cuerda con configuración inicial en forma de triángulo no
es considerada “
representa el conjunto de funciones que admiten n derivadas
continuas en
“ en 1749, el matemático Leonhar Euler presentó su solución (Euler
1749) y coincidió en gran parte con la solución de D’Alembert, pero añadiendo un carácter
más general a la solución y admitiendo que la función f(x) podría presentar puntos no
diferenciables ó incluso discontinuidades finitas, es decir continua a tramos. De hecho,
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estas diferencias pueden considerarse como una de las primeras manifestaciones escritas
sobre los problemas que ha llevado consigo la definición de la noción de función. Daniel
Bernoulli presentó otra solución a la ecuación de la cuerda, de la forma: (Bernoulli 1753)
Donde los coeficientes b
k
dependen de las condiciones iniciales. Así, según Bernoulli la
cuerda oscila simultáneamente con varias frecuencias, mediante la superposición de ondas
senoidales y cosenoidales, planteando de esta manera la posibilidad de desarrollar
funciones en series trigonométricas. Esta solución es mucho más significativa desde el
punto de vista físico que la de D’Alembert y explica los distintos armónicos que se producen
en la vibración de las cuerdas de los instrumentos musicales; sucede que Bernoulli además
de ser matemático, también se dedicaba a la física y a la música. Aun siendo correcta la
solución de Bernoulli, generó varias críticas por parte de D’Alembert y Euler, que se
rehusaban a admitir que una función general pudiera ser expresada en términos de series
infinitas de funciones trigonométricas. A pesar de todas las críticas, Bernoulli estaba en lo
correcto y su propuesta de desarrollar en series trigonométricas funciones arbitrarias, sería
retomada más tarde por Fourier y Dirichlet, en cuyos trabajos constan las bases analíticas
que demuestran la posibilidad de dichas expansiones.
El matemático y físico francés Jean Fourier 1822, publicó su libro Théorie Analytique de la
Chaleur. Fourier fue pionero en el estudio de la transferencia del calor en sólidos y fue quien
dedujo la denominada ecuación del calor, y bien la expansión en series trigonométricas no
fue una idea original, el verdadero mérito de él ha sido encontrar el modelo matemático
correcto para la conducción del calor, desarrollar el método de separación de variables para
resolver una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) y encontrar su solución
analítica mediante la aplicación de series trigonométricas (Dyn McKean 1972).
2. METODOLOGIA
La función U (x,t), que describe las oscilaciones de la cuerda de longitud L, que se
encuentra fija en un extremo (x=0) y libre en el otro extremo (x=L) , son gobernadas por el
problema P1. Ecuación de onda unidimensional no homogéneo con condiciones iniciales
no homogéneas, fija en el extremo x=0 y libre en extremo x=L (problema del látigo
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P1
El problema P1 se descompone en dos problemas. P2 y P3--
El problema P2 se descompone en P4 y P5--
y el problema P3 se descompone
en P5 y P6--
La suma de las soluciones analítica de P4, P5, P6 y P7 constituyen la solución analítica del
problema del látigo.
2.1 Solución analítica al problema no homogéneo del látigo.
Supongamos la solución del problema de la ecuación de onda no homogéneo P1 de la
siguiente manera:
De esta igualdad se deducen las ecuaciones:
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Considerando las condiciones de borde se tiene:
Tomando en cuenta las condiciones iniciales se tiene:
El problema P1 se ha descompuesto en dos problemas de menor dificultad P2 y P3 es
decir:
La función
satisface el problema de onda no homogéneo con condiciones de borde
homogéneas y condiciones iniciales no homogéneas:
P2
La función
satisface el problema de onda homogéneo con condiciones iniciales
homogéneas y en el extremo libre tiene condición de borde no homogéneas.
P3
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Para buscar la solución analítica P2 se descompone en dos problemas P4 y P5 es decir:
Supongamos la solución analítica al problema P2 de la siguiente manera:
--
Las funciones
satisfacen las ecuaciones:
Considerando las condiciones de borde se tiene:
Sustituyendo las condiciones iniciales se tiene:
Donde satisface el problema de onda no homogéneo con condiciones iniciales y de
borde homogéneos:
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P4
Satisface el problema de onda homogéneo con condiciones iniciales no
homogéneas y condiciones de borde homogéneas.
P5
Solución a P4
Consideremos la solución de P4 en forma de desarrollo de Fourier con respecto a la variable
x, manteniendo a t como parámetro, es decir:
P4.1 V(x,t) =
Las funciones
determinan de forma unívoca la función V (x, t) solución de P4. Por
otro lado tenemos:
P4.2
Reemplazando P4.2 en P4 se tiene:
De esta igualdad y de las condiciones de borde de P4. Se deduce el problema de Cauchy.
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P4.3
Aplicamos la Trasformada de Laplace a P4.3 para obtener solución analítica de P4 se tiene.
P4.4
=
Reemplazando P4.4 en P4.1 se tiene:
P4.5
La función V(x,t) representada por P4.5 constituye la solución analítica del problema P4.
Para obtener solución analítica a P5
Buscamos solución no trivial de P5 que satisfacen las condiciones:
Separando variables, es decir:
y reemplazando en
P5 se tiene (Haberman 1998):
El primer miembro de esta ecuación depende de x y el segundo depende de t. Por lo tanto,
cada miembro es constante. Sea la constante y se obtienen las ecuaciones:
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Usando las condiciones de borde. X (0) = X (L) = 0 se obtienen soluciones no triviales.
; Para
y k positivo.
La ecuación:
tiene solución general
Para cada entero positivo k las solucions de ()
son de la forma.
Con
constantes reales. La
solución de () se puede escribir de la forma
por las condiciones
iniciales se tiene.
es decir:
Son las series de Fourier de f(x) y g(x) . con coeficientes de Fourier .
La solucion analitica al problema P5 de la cuerda unidimensional con condiciones iniciales
dadas (D'Alembert 1747)
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=
Para buscar la solución analítica a P3 se descompone en los problemas P6 y P7 es decir:
Buscamos la solución analítica a P3
P3
Para obtener solución analítica a P3 tenemos que descomponer:
P3.1
Donde
satisface el problema:
P6
Separando variables se tiene:
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Sustituyendo en P6.2
Al sustituir en P6.1 tenemos la
ecuación.
Con solución
De esta forma se ha obtenido la función analítica solución a P6
Por P3.1 se tiene:
Como
es solución de P3 se tiene:
Usando las condiciones iniciales y de borde para para W(x.t) se tiene:
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De estas ecuaciones y P3 se deduce que
satisface la ecuación de onda homogénea
con condición de borde homogéneas y velocidad inicial no homogénea.
P7
Separando variables se tiene la solución analítica de P7:
De esta manera hemos obtenido la solución analítica al problema del látigo:
+
+
Teorema.
Dadas f,g :
R tales que f,g
y
Para
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Entonces la serie:
Converge uniformemente y absolutamente a la solucion del problema:
Ecuación de onda homogénea con condiciones iniciales no homogénea (Dyn McKeon,
1972). Este Teorema de la convergencia uniforme y absoluta justifica los cálculos realizados
en este trabajo.
3. CONCLUSIÓN
Debido a la dificultad de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para obtener
solución analítica y al análisis numérico, los métodos de solución exacta se dificultan. En
este artículo se presenta un método para obtener solución analítica al problema del látigo
descomponiéndolo en 6 problemas de menor dificultad según el siguiente diagrama:
4. REFERENCIAS
Bernoulli Daniel. (1753). Réflexions et èclarcissements sur les nouvelles vibrations des cordes
exposées dans les mèmoires de l´Académie (Hist. de l'Acad. de Berlin) 9,147-195.
D'Alembert Jean Le Rond. (1747). Cordes vibrantes. (Hist. de l'Acad. de Berlin) 3,214,219.
Dym McKean. (1972). Fourier Series and Integrals. Academic Press New York.
Euler Leonhar. (1748). nouvelles vibrations des cordes. (Mora Acta Erud) 512-527
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Fourier Joseph Jean Baptiste. (1822). Théorie Analytique de la Chaleur (Firmin Didot, Père et Fìls,
Paris).
Haberman R. (1998). Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall, Upper Saddle
River, NJ.
Tyler McMillan Alain Goriely. (2003). Whip waves. Physica D 184, 192–225.
