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BASES DE LA CIENCIA
Revista Científica
Facultad de Ciencias Básicas
Revista de la Facultad de Ciencias Básicas
Bases de la Ciencia
Ciencias Matemáticas
EL TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ A PARTIR DEL TEOREMA DE KREIN-MILMAN
THE RIESZ REPRESENTATION THEOREM DERIVED FROM THE KREIN-MILMAN THEOREM
O TEOREMA DE REPRESENTAÇÃO DE RIESZ DERIVADO DO TEOREMA DE KREIN-MILMAN
Autores:
# Carlos Eduardo Cova Salaya
1,2,∗
carlos.cova@espoch.edu.ec
1
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo , Riobamba,
Ecuador
2
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela
* Autor para correspondencia.
Editor Académico
Benjamin De Zayas Nuñez
Citación sugerida: Cova Salaya, C.E. (2025). El teorema
de representación de Riesz a partir del teorema de
Krein-Milman. Revista Bases de la Ciencia, 10(2), 39-55. DOI:
10.33936/revbasdelaciencia.v10i2.7528
Recibido: 18/05/2025
Aceptado: 15/08/2025
Publicado: 20/08/2025
Resumen
A partir del teorema de Krein-Milman (en su versión baricéntrica), es posible demostrar el
teorema de representación de Riesz. Sin embargo, la prueba clásica de la versión baricéntrica del
teorema de Krein-Milman depende a su vez del teorema de representación de Riesz, lo que
genera una dependencia circular. Mediante caracterizaciones de la convergencia de redes en
la topología Lévy sobre el espacio
orba
+
=
µ : A → R
+
| µ es aditiva, positiva y exteriormente regular
,
donde
A
es un álgebra de conjuntos del espacio normal y Hausdorff
Ω
, que contiene a los
abiertos de
Ω
; establecemos los resultados necesarios para demostrar la versión baricéntrica
del teorema de Krein-Milman sin apelar al teorema de representación de Riesz. Como
consecuencia, obtenemos una demostración del teorema de representación de Riesz que depende
únicamente de la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman, eliminando así la
circularidad en el razonamiento clásico.
Palabras clave: Teorema de Krein-Milman, Teorema de Representación de Riesz, Topología
Lévy, Medidas exteriores regulares, Versión baricéntrica.
Abstract
From the Krein-Milman theorem (in its barycentric version), one can derive a proof of the
Riesz representation theorem. However, the classical proof of the barycentric version of the
Krein-Milman theorem itself depends on the Riesz representation theorem, creating a circular
dependency. Using characterizations of net convergence in the Lévy topology on the space
orba
+
=
µ : A → R
+
| µ is additive, positive and outer regular
,
where
A
is an algebra of sets of the normal Hausdorff space
Ω
, containing the open sets of
Ω
; we establish the necessary results to prove the barycentric version of the Krein-Milman
theorem without relying on the Riesz representation theorem. As a consequence, we obtain a
proof of the Riesz representation theorem that depends solely on the barycentric version of the
Krein-Milman theorem, thereby removing the circularity in the classical reasoning.
Keywords: Krein-Milman theorem, Riesz representation theorem, Lévy topology, Outer
regular measures, Barycentric version.
Resumo
A partir do teorema de Krein-Milman (em sua versão baricêntrica), é possível demonstrar o
teorema de representação de Riesz. Contudo, a prova clássica da versão baricêntrica do teorema
de Krein-Milman depende por sua vez do teorema de representação de Riesz, o que gera uma
dependência circular. Mediante caracterizações da convergência de redes na topologia de Lévy
sobre o espaço
orba
+
=
µ : A → R
+
| µ é aditiva, positiva e externamente regular
,
onde
A
é uma álgebra de conjuntos do espaço normal e Hausdorff
Ω
, que contém os abertos de
Ω
; estabelecemos os resultados necessários para demonstrar a versão baricêntrica do teorema
de Krein-Milman sem recorrer ao teorema de representação de Riesz. Como consequência,
obtemos uma demonstração do teorema de representação de Riesz que depende exclusivamente
da versão baricêntrica do teorema de Krein-Milman, eliminando assim a circularidade no
raciocínio clássico.
Palavras chave: Teorema de Krein-Milman, Teorema de Representação de Riesz, Topologia
de Lévy, Medidas externamente regulares, Versão baricêntrica.
# revista.bdlaciencia@utm.edu.ec 39
ISNN 2588-0764 Vol. 10. Núm. 2 (39-55): mayo-agosto, 2025 DOI: 10.33936/revbasdelaciencia.v10i2.7528
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1. Introducción
En Phelps 2001 se demuestra la equivalencia entre el teorema de Krein-Milman (2.4) y su versión baricentrica. La
prueba de este resultado está basada en el siguiente lema:
Si
K
es un conjunto compacto no-vacío en un espacio localmente convexo y Hausdorff
X
. Entonces
x ∈ Co(K)
si y solo si existe
una medida boreliana y regular µ de probabilidad en K, tal que x es su baricentro.
La demostración de este lema utiliza el teorema de representación de Riesz en
C(K)
. A partir de la versión baricentrica
del teorema de Krein-Milman podemos deducir el teorema de representación de Riesz. Pero en este momento, el
teorema de Krein-Milman no implica el teorema de representación de Riesz, ya que este último fue utilizado para
probar la equivalencia entre el primero y su versión baricentrica, como observamos antes. Nuestro objetivo, para
obtener el teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman, es establecer el lema mencionado,
sin ninguna dependencia del teorema de representación de Riesz.
2. Preliminares
Los conceptos y resultados presentados en esta sección son clásicos y fundamentales en la literatura especializada.
Para un tratamiento riguroso de estos temas, el lector interesado puede referirse a (Boyd & Vandenberghe, 2004;
Dunford & Schwartz, 1957; Guerra & Jiménez, 2010; Hiriart-Urruty & Lemaréchal, 2001; Phelps, 2001; Rockafellar,
1970; Rudin, 2012) para espacios localmente convexos y normados. Para medida e integración a (Aliprantis & Border,
2006; Bogachev, 2007; Cohn, 2013; Conway, 1990; Dunford & Schwartz, 1957; Folland, 1999; Panchapagesan, 1991;
Rudin, 1987, 2012). Para puntos extremales a (Aliprantis & Border, 2006; Bogachev, 2007; Conway, 1990; Dunford &
Schwartz, 1957; Guerra & Jiménez, 2010; Megginson, 1998; Phelps, 2001; Rudin, 2012).
2.1. Espacios localmente convexos y normados
En toda esta sección X denotará un espacio vectorial sobre K, con K igual a C ó R.
Definición 2.1. Sea X un espacio vectorial.
(c)
Sea
K
un subconjunto no-vacío de
X
. Un elemento
x ∈ X
se llama un punto extremal de
K
si
x = λy + (
1
− λ)z
con
y, z ∈ K y 0 < λ < 1 implica que x = y = z.
El conjunto de los puntos extremales de K lo denotamos por EXT(K). (Es posible que EXT(K) sea vacío).
Definición 2.2. Sea X un espacio vectorial.
1. Si A ⊆ X, el menor conjunto convexo en X que contiene a A se llama la cápsula convexa de A y se denota Co(A).
2.
Si
X
es vectorial topológico y
A ⊆ X
, el menor conjunto convexo y cerrado que contiene a
A
se llama la cápsula convexa
cerrada de A y se denota Co(A).
Teorema 2.3. Sea A un conjunto en un espacio vectorial X. Entonces:
(i) Co(A) =
(
n
∑
i=1
λ
i
x
i
: n ∈ N, λ
i
≥ 0, x
i
∈ A y
n
∑
i=1
λ
i
= 1
)
.
(ii) Si A
i
es convexo para i = 1, . . . , n, entonces Co
n
[
i=1
A
i
!
=
(
n
∑
i=1
λ
i
x
i
: λ
i
≥ 0, x
i
∈ A
i
y
n
∑
i=1
λ
i
= 1
)
.
(iii) Si X es vectorial topológico, entonces Co(A) = Co(A).
(iv)
Si
X
es vectorial topológico y
K
i
es convexo y compacto en
X
, para
i =
1,
. . .
,
n
. Entonces,
Co
n
[
i=1
K
i
!
es compacto y
además Co
n
[
i=1
K
i
!
= Co
n
[
i=1
K
i
!
.
Teorema 2.4 (de Krein-Milman). Sea
X
un espacio localmente convexo y Hausdorff. Si
K
es compacto y convexo no–vacío en
X, entonces K coincide con la cápsula convexa cerrada de sus puntos extremales. Esto es, K = Co
(
EXT(K)
)
.
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El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
2.2. Medida e integración
Definición 2.5. Sea A un álgebra de Ω. Definimos los siguientes conjuntos:
(i) ba(A) = {µ : A → K : µ aditiva y acotada}, µ acotada en el siguiente sentido:
sup{|µ(A)| : A ∈ A} < +∞ .
(ii) ba
+
(A) = {µ ∈ ba(A) : µ ≥ 0}.
(iii) ca(A) = {µ ∈ ba(A) : µ σ–aditiva}.
(iv) ca
+
(A) = {µ ∈ ca(A) : µ ≥ 0}.
Definición 2.6. Sea
S
un espacio compacto y Hausdorff y sea
Σ
una
σ
-álgebra de conjuntos de
S
que contiene los abiertos de
S
.
Si µ : Σ → [0, +∞] es σ-aditiva, decimos que µ es regular si
µ(E) =
´
ınf{µ(V) : V abierto en S y E ⊆ V} = sup{µ(K) : K compacto en S y K ⊆ E}, ∀E ∈ Σ.
Denotamos rca
+
(Σ) =
{
µ ∈ ca
+
(Σ) : µ regular
}
.
Teorema 2.7. Sea
µ ∈ ba(A)
(resp.
ca(A)
) donde
A
es un álgebra (resp.
σ
-álgebra) de
Ω
. Entonces para las operaciones de
adición y multiplicación escalar definidas conjunto por conjunto, ellos son espacios vectoriales. Si
∥µ∥
∞
= sup{∥µ(A)∥ : A ∈
A}, µ ∈ ba(A), entonces ∥ · ∥
∞
es una norma y ba(A) (resp. ca(A)) es un espacio de Banach con respecto a ∥ · ∥
∞
.
Definición 2.8. Sea
Ω
un espacio topológico. Una medida
µ : B(Ω) → [
0, 1
]
con
µ(Ω ) =
1 se llama una medida boreliana
de probabilidad en Ω. Cuando Ω es compacto y Hausdorff, y además µ es regular, se dice que µ es una medida boreliana y
regular de probabilidad en Ω.
Teorema 2.9. Sea
Ω
un espacio topológico y sean
C
b
(Ω) = { f : Ω → K : f continua y acotada}
y
∥ f ∥
∞
= sup{| f (w)| :
w ∈ Ω}, f ∈ C
b
(Ω). Entonces:
(i) (C
b
(Ω), ∥ · ∥
∞
) es un espacio de Banach.
(ii)
Si
Ω = S
es compacto y Hausdorff, entonces
C
b
(S) = C(S) = { f : S → K : f continua}
y así
C(S)
con
∥ · ∥
∞
es un
espacio de Banach.
Teorema 2.10 (de representación de Riesz en
C(S)
,
S
compacto y Hausdorff). Sea
S
compacto y Hausdorff y sea
Λ : C(S) → K
un funcional lineal y positivo. Entonces existe una única medida
µ
boreliana y regular en
S
tal que
Λ( f ) =
Z
S
f dµ para todo f ∈ C(S).
2.3. Los puntos extremales de B
C(S)
∗
, S compacto y Hausdorff
Lema 2.11. Sea
K
un conjunto compacto y no vacío en un espacio localmente convexo y Hausdorff
E
, y supongamos que
Co(K)
es compacto. Entonces EXT
Co(K)
⊆ K.
Lema 2.12. Sea
S
compacto y Hausdorff y sea
X
un subespacio vectorial cerrado de
C(S)
. Para cada
s ∈ S
, sea
δ
s
el funcional
sobre
C(S)
tal que
δ
s
( f ) = f (s)
,
f ∈ C(S)
. Entonces, cada punto extremal de la bola unitaria cerrada
B
X
∗
de
X
∗
es de la
forma αδ
s
para algún α ∈ C con |α| = 1 y algún s ∈ S.
Teorema 2.13 (Descripción de EXT(B
C(S)
∗
)). Si S es compacto y Hausdorff, entonces
EXT(B
C(S)
∗
) = {αδ
s
: α ∈ C, |α| = 1 y s ∈ S}.
El teorema anterior, permite identificar
S
con el subconjunto
{δ
s
: s ∈ S}
de
EXT(B
C(S)
∗
)
mediante la aplicación
s → δ
s
. El próximo resultado dice que esta aplicación es un homeomorfismo, cuando su rango se dota de la topología
débil* de C(S)
∗
.
Teorema 2.14 (Identificación topológica de
S
en
B
C(S)
∗
). Sea
T : S → EXT(B
C(S)
∗
)
la aplicación dada por
T(s) = δ
s
. Si
ˆ
S = {δ
s
: s ∈ S}
, entonces
T : (S
,
τ) −→
ˆ
S, σ(C(S)
∗
, C(S))
ˆ
S
es un homeomorfismo, donde
τ
es la topología compacta y
Hausdorff de S.
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Por último, como una aplicación de los dos teoremas anteriores, se tiene el siguiente resultado; que motiva el estudio
presentado en la próxima sección.
Teorema 2.15. Sea S compacto y Hausdorff, y sea P = {x
∗
∈ C(S)
∗
: ∥x
∗
∥ = x
∗
(1) = 1}. Entonces:
(i) P es compacto en la topología débil
∗
de C(S)
∗
.
(ii) P es un subconjunto convexo de C(S)
∗
y cada elemento de P es un funcional positivo.
(iii) (a) EXT(P) = {δ
s
: s ∈ S}.
(b) EXT(P) con la topología débil
∗
de C(S)
∗
es homeomorfo con S, y en consecuencia débil
∗
-compacto.
(iv)
Para cada
x
∗
∈ P
existe una única medida
µ
x
∗
boreliana y regular de probabilidad en
P
, tal que
f (x
∗
) =
Z
P
f dµ
x
∗
para
todo
f ∈ C(S)
(aquí
f ∈ C(S)
como elemento del dual de
C(S)
∗
con la topología débil
∗
). Además,
µ
x
∗
es soportada por
EXT(P) en el siguiente sentido:
µ
x
∗
(P \ EXT(P)) = 0.
2.4. La versión baricentrica del teorema de Krein-Milman
Utilizando el teorema de representación de Riesz, se caracteriza la cápsula convexa cerrada de un compacto
K
no
vacío en un espacio localmente convexo y Hausdorff
X
, en términos de baricentros de medidas borelianas y regulares
de probabilidad en K. Este resultado se utiliza para dar la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman.
Definición 2.16. Sean
K
un subconjunto no vacío y compacto de un espacio localmente convexo y Hausdorff
X
, y
µ
una medida
boreliana y regular de probabilidad en
K
. Decimos que un elemento
x
en
K
es el baricentro de
µ
si
x
∗
(x) =
Z
K
x
∗
dµ
para todo
x
∗
∈ X
∗
.
En términos de la definición anterior, podemos enunciar (iv) del teorema 2.15 en la siguiente forma.
Teorema 2.17. Sea
P = {x
∗
∈ C(S)
∗
: ∥x
∗
∥ = x
∗
(
1
) =
1
}
. Entonces cada
x
∗
∈ P
es el baricentro de una medida boreliana y
regular de probabilidad µ
x
∗
en P, la cual es soportada por EXT(P).
Lema 2.18 (Caracterización de
Co(K)
en términos de baricentros). Sea
K
un compacto no vacío en un espacio localmente
convexo y Hausdorff
X
. Entonces
x ∈ Co(K)
si y sólo si existe una medida boreliana y regular de probabilidad en
K
, tal que
x
es
el baricentro de esta medida. (Proposición 1.2 en (Phelps, 2001))
Teorema 2.19 (La versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman). Las siguientes proposiciones son equivalentes:
(i)
Teorema de Krein-Milman. Sea
K
un conjunto convexo y compacto no vacío en un espacio localmente convexo y
Hausdorff X. Entonces K = Co
(
EXT(K)
)
.
(ii)
Versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman. Sea
K
como en (i). Entonces cada
x ∈ K
es el baricentro de una
medida boreliana y regular de probabilidad en K, la cual es soportada por la clausura de los puntos extremales de K.
Demostración.
(i)⇒(ii)
Sea
K
un conjunto convexo y compacto no vacío en un espacio localmente convexo y Hausdorff
X
. Si
x ∈ K
, de (i) se sigue que
x ∈ K = Co(EXT(K)) = Co
EXT(K)
. Como
EXT(K)
es compacto, pues es cerrado
y está contenido en
K
, del lema 2.18 se tiene que existe una medida
µ
boreliana y regular de probabilidad en
EXT(K) tal que
x
∗
(x) =
Z
EXT(K)
x
∗
dµ, ∀x
∗
∈ X
∗
. (2.1)
Definiendo
ˆ
µ
en
B(K)
por
ˆ
µ(A) = µ
A ∩ EXT(K)
,
A ∈ B(K)
;
ˆ
µ
es una medida boreliana y regular de
probabilidad en
K
tal que
ˆ
µ
K \ EXT(K)
= µ(∅) =
0. De esto y la identidad
(2.1)
se sigue que
x
∗
(x) =
Z
K
x
∗
d
ˆ
µ, ∀x
∗
∈ X
∗
.
Así
x
es el baricentro de una medida
ˆ
µ
boreliana y regular de probabilidad en
K
, la cual es soportada por
EXT(K).
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El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
(ii)⇒(i)
Sea
K
un conjunto convexo y compacto no vacío en un espacio localmente convexo y Hausdorff
X
. Si
x ∈ K
, por hipótesis
x
es el baricentro de una medida
µ
boreliana y regular de probabilidad en
K
, la cual es
soportada por EXT( K). Así, µ(K) = 1 y µ
K \ EXT(K)
= 0; y en consecuencia,
µ
EXT(K)
= µ(K) − µ
K \ EXT(K)
= µ(K) = 1.
Por lo tanto EXT( K) ̸= ∅ y además compacto. Se sigue del lema 2.18 que
x ∈ Co
EXT(K)
= Co(EXT(K)).
Esto prueba que K ⊆ Co(EXT(K)) y en consecuencia K = Co(EXT( K)).
2.5. Deducción del teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman.
A partir de la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman podemos deducir el teorema de representación de
Riesz para funcionales lineales y positivos en C(S)
∗
, con S compacto y Hausdorff.
En efecto, en el teorema 2.15 vimos que el conjunto
P = {x
∗
∈ C(S)
∗
: ∥x
∗
∥ = x
∗
(
1
) =
1
} = {x
∗
∈ C(S)
∗
: ∥x
∗
∥ =
1
y x
∗
positivo}
es convexo y compacto en la
topología débil* del espacio localmente convexo y Hausdorff C(S)
∗
.
De la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman, cada
x
∗
∈ P
es el baricentro de una medida
µ
x
∗
boreliana y
regular de probabilidad en
P
, la cual es soportada por
EXT(P)
. También, en 2.15 teníamos que hay un homeomorfismo
Φ : S → EXT(P), y en consecuencia EXT(P) = EXT(P). Así, tenemos que
f (x
∗
) =
Z
EXT(P)
f dµ
x
∗
(2.2)
para todo f ∈ C(S) = (C(S)
∗
, σ(C(S)
∗
, C(S)))
∗
.
Si definimos
ˆ
µ
x
∗
(A) = µ
x
∗
(Φ(A))
,
A ∈ B(S)
, tenemos que
ˆ
µ
x
∗
es una medida boreliana y regular de probabilidad
en S, y la identidad (2.2) es equivalente a x
∗
( f ) =
Z
S
f d
ˆ
µ
x
∗
, ∀ f ∈ C(S).
En general, si
x
∗
∈ C(S)
∗
es positivo y no nulo, entonces
x
∗
/∥x
∗
∥
está en
P
y por tanto existe una medida
ˆ
µ
x
∗
boreliana y regular de probabilidad en S tal que
x
∗
( f )
∥x
∗
∥
=
Z
S
f d
ˆ
µ
x
∗
, ∀ f ∈ C(S). (2.3)
Luego,
µ
x
∗
= ∥x
∗
∥
ˆ
µ
x
∗
es una medida boreliana y regular en
S
, y la identidad
(2.3)
se transforma en
x
∗
( f ) =
Z
S
f dµ
x
∗
, ∀ f ∈ C(S).
Para ver que
µ
x
∗
es única, supongamos que
ν
es una medida boreliana y regular en
S
tal que
x
∗
( f ) =
Z
S
f dν
,
∀ f ∈
C(S)
. Si
K
es compacto en
S
; dado
ϵ >
0, por la regularidad de
µ
x
∗
y
ν
, existe un abierto
U
en
S
con
K ⊆ U
tal
que
µ
x
∗
(U) < µ
x
∗
(K) + ϵ y ν(U) < ν(K) + ϵ
. Por el lema de Urysohn, existe
f ∈ C(S)
con 0
≤ f ≤
1 tal que
f (K) = {
1
} y f (S \ U) = {
0
}
, y en consecuencia
µ
x
∗
(K) ≤
Z
S
f dµ
x
∗
=
Z
S
f dν ≤ ν(U) < ν(K) + ϵ
. Como
ϵ >
0 es
arbitrario, concluimos que
µ
x
∗
(K) ≤ ν(K)
. De manera análoga
ν(K) ≤ µ
x
∗
(K)
, y en consecuencia
µ
x
∗
(K) = ν(K)
para todo compacto K en S. Se sigue de la regularidad de µ
x
∗
y ν que µ
x
∗
= ν.
Así queda establecido el teorema de representación de Riesz para funcionales lineales positivos en
C(S)
, con
S
compacto y Hausdorff.
Desafortunadamente el teorema 2.19, que se usó en la discusión anterior, fue deducido del lema 2.18; en cuya
demostración se utiliza el teorema de representación de Riesz (Proposición 1.2 en (Phelps, 2001)). Por lo tanto, en esta
discusión el teorema de representación de Riesz no es efectivamente una consecuencia del teorema de Krein-Milman.
Así, para obtener el teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman, tenemos que establecer
el lema 2.18 sin ninguna referencia al teorema de representación de Riesz.
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BASES DE LA CIENCIA
Revista Científica
Facultad de Ciencias Básicas
Revista de la Facultad de Ciencias Básicas
Bases de la Ciencia
Masani 2006 dio las herramientas necesarias para definir una topología en la colección de las medidas borelianas y
regulares en
S
, tal que la subcolección de las medidas borelianas y regulares de probabilidad forman un compacto, y
la convergencia es caracterizada por la convergencia débil* en
C(S)
∗
. El objetivo de las siguientes secciones es el
de definir esta topología y caracterización de la convergencia para establecer el lema 2.18 sin ninguna referencia al
teorema de representación de Riesz.
3. Conjuntos de frontera µ-negligible
Si
Ω
es un espacio normal y Hausdorff, y
A
es un álgebra de
Ω
que contiene a los abiertos de
Ω
, entonces para cada
µ ∈ ba
+
(A)
demostramos que
A
∂
µ
= {A ∈ A : µ(∂A) =
0
}
es un álgebra contenida en
A
y que las funciones en
C
b
(Ω) pueden aproximarse por sucesiones de funciones A
∂
µ
− simples.
También probamos que para una cierta topología de
℘(Ω)
, la colección
τ
µ
= τ ∩ A
∂
µ
, donde
τ
es la topología de
Ω
, es
densa.
Los conjuntos A
µ
, A
θ
µ
, τ
µ
y τ
µ,ν
Antes de comenzar la sección, fijaremos la notación a usar:
• Ω es un espacio normal y Hausdorff, con topología τ.
• C
τ
es la colección de los conjuntos cerrados de Ω.
• K es la colección de los conjuntos compactos de Ω.
• A denotará un álgebra de Ω conteniendo los abiertos en Ω, esto es τ ⊆ A.
• A(τ) denotará el álgebra generada por τ.
Recordemos de la definición 2.5 que ba(A) = {µ : A −→ K | µ aditiva y acotada} y
ba
+
(A) = {µ ∈ ba(A) | µ ≥ 0}.
Para µ, ν ∈ ba
+
(A), sean:
• A
µ
= {A ∈ A | µ(A) = 0} y A
∂
µ
= {A ∈ A | µ(∂A) = 0}.
• τ
µ
= τ ∩ A
∂
µ
= {U ∈ τ | µ(∂U) = 0} y τ
µ,ν
= τ
µ
∩ τ
ν
.
Para A, B ⊆ Ω, sea I(A, B) = {C ⊆ Ω | A ⊆ C ⊆ B}, y nótese que I(A, B) = ∅ si A ̸⊆ B.
Definición 3.1. Sea B = {I(C, U) : C ∈ C
τ
y U ∈ τ}, y observemos que
I(C
1
,
U
1
)
\
I(C
2
,
U
2
) = I(C
1
∪ C
2
,
U
1
∩ U
2
)
, esto es,
B
es cerrado por intersecciones finitas. Además,
I(∅
,
Ω) = ℘(Ω)
, la
clase de todos los subconjuntos de Ω. Así, B es una base para una topología τ
℘(Ω)
en ℘(Ω).
Lema 3.2. Sean U ∈ τ y C ∈ C
τ
con C ⊆ U. Entonces, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta:
(i) I(C, U) contiene algún abierto y cerrado en Ω.
(ii) Existe una familia {U
r
: 0 < r < 1} de conjuntos abiertos en Ω tal que
C ⊆ U
r
⊆ U
r
⊆ U y ∂U
r
̸= ∅ para
0
< r <
1. Además,
∂U
r
∩ ∂U
r
′
= ∅
para
r ̸= r
′
. Por consiguiente,
{U
r
: 0 < r < 1} y {∂U
r
: 0 < r < 1} tienen la cardinalidad de R.
Demostración.
Como
C
y
D = Ω \ U
son cerrados y disjuntos, por el lema de Urysohn, existe una función
f ∈ C
b
(Ω)
tal que
0 ≤ f ≤ 1, f (C) = {1} y f (D) = {0}.
Para r ∈ [0, 1], sea
U
r
= f
−1
(r, 1]
,
que es abierto en Ω, pues f es continua y (r, 1] es abierto en [0, 1] (en la topología relativa a la de R).
Además,
C ⊆ f
−1
(r, 1]
= U
r
⊆ U
r
⊆ f
−1
[r, 1]
⊆ f
−1
(0, 1]
⊆ U.
44
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Bases de la Ciencia
El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
caso 1: Si ∂U
r
= ∅ para algún r ∈ (0, 1), entonces
U
r
= U
r
∪ ∂U
r
= U
r
.
Por tanto, U
r
es abierto y cerrado en Ω, y así (i) es cierta.
caso 2:
Si
∂U
r
̸= ∅
para todo
r ∈ (
0, 1
)
. Sean
r
,
r
′
∈ (
0, 1
)
con
r ̸= r
′
, y sin pérdida de generalidad supongamos
que r < r
′
. Entonces
U
r
′
= f
−1
(r
′
, 1]
⊆ f
−1
[r, 1]
= U
r
.
Sabemos que un conjunto abierto y su frontera son disjuntos. Por lo tanto,
∂U
r
′
⊆ U
r
′
⊆ U
r
y ∂U
r
∩ U
r
= ∅
implica que
∂U
r
′
∩ ∂U
r
= ∅.
Esto completa la demostración.
Teorema 3.3 (τ
℘(Ω)
-densidad de τ
µ
en ℘(Ω)). Si µ ∈ ba
+
(A), entonces τ
µ
es τ
℘(Ω)
-denso en ℘(Ω).
Demostración. Basta probar que τ
µ
intersecta cada elemento de B en la definición 3.1.
Si
I(C
,
U) ∈ B
, por el lema 3.2,
I(C
,
U)
contiene algún conjunto
A
abierto y cerrado en
Ω
, o una familia no numerable
{U
r
: 0 < r < 1} de conjuntos abiertos en Ω cumpliendo las condiciones en (ii) del lema 3.2.
Primer caso: Si existe A abierto y cerrado, entonces ∂A = ∅ y por tanto A ∈ τ
µ
. Así, I(C, U) ∩ τ
µ
̸= ∅.
Segundo caso: Los conjuntos
{∂U
r
:
0
< r <
1
}
son mutuamente disjuntos. Como
µ
es finitamente aditiva, para toda
familia finita J de r
′
s en (0, 1):
∑
r∈J
µ(∂U
r
) = µ
[
r∈J
∂U
r
≤ µ(Ω) < +∞. (3.1)
Por tanto,
∑
0<r<1
µ(∂U
r
) = sup
(
∑
r∈J
µ(∂U
r
) : J ⊆ (0, 1) y finito
)
≤ µ(Ω) < +∞.
Del problema resuelto 6.8 de Panchapagesan 1991,
µ(∂U
r
) =
0 salvo para un conjunto a lo sumo numerable de
r
′
s ∈ (0, 1). Así, existe algún U
r
∈ τ
µ
. Luego U
r
∈ I(C, U) ∩ τ
µ
.
En cualquier caso, I(C, U) ∩ τ
µ
̸= ∅, lo cual demuestra el teorema.
Corolario 3.4 (τ
℘(Ω)
-densidad de τ
µ,ν
en ℘(Ω)). Sean µ, ν ∈ ba
+
(A). Entonces τ
µ,ν
es τ
℘(Ω)
-denso en ℘(Ω).
Proposición 3.5.
A
∂
µ
es una álgebra de
Ω
, para cualquier
µ ∈ ba
+
(A)
. En consecuencia,
A
∂
µ
es una subálgebra de
A
que
contiene a τ
µ
, y por tanto A es τ
℘(Ω)
-denso en ℘(Ω).
Teorema 3.6 (de aproximación). Si
f ∈ C
b
(Ω)
, entonces existe una sucesión
(s
n
)
n
de funciones
A
∂
µ
-simples tal que
l
´
ım
n→∞
∥s
n
− f ∥
∞
= 0.
Demostración.
Si
f
es real, ya que es acotada, existen
a
,
b ∈ R
tales que
a ≤ f (w) ≤ b
para todo
w ∈ Ω
. Para cada
r ∈ R, sea
C
r
= f
−1
(−∞, r].
Es claro que C
r
es cerrado en Ω y además C
r
= ∅ para r < a, y C
r
= Ω para r ≥ b.
Si r
1
< r
2
, tenemos que
C
r
1
= f
−1
(−∞, r
1
] ⊆ f
−1
(−∞, r
2
) ⊆ f
−1
(−∞, r
2
] = C
r
2
,
por lo que, de la continuidad de f ,
C
r
1
⊆
˚
C
r
2
⊆ C
r
2
.
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Ya que ∂C
r
2
= ∂
˚
C
r
2
es disjunto con
˚
C
r
2
, deducimos que
∂C
r
1
∩ ∂C
r
2
= ∅.
Como µ es positiva, acotada y finitamente aditiva, se tiene que
∑
r∈[a,b]
µ(∂C
r
) ≤ µ
[
r∈[a,b]
∂C
r
≤ µ
[
r∈[a,b]
C
r
= µ
f
−1
[a, b]
= µ(Ω) < +∞
(ver
(3.1)
en la demostración del teorema 3.3), y así concluimos que
µ(∂C
r
) =
0 salvo un número a lo sumo numerable
de r’s en [a, b], que denotaremos E = {r
1
, . . . , r
n
, . . .}.
Como [a, b] es compacto, dado k ∈ N existe un cubrimiento finito
t
i
−
1
2
k+1
, t
i
+
1
2
k+1
, i = 1, . . . , n(k)
de
[a
,
b]
con
a < t
1
< · · · < t
n(k)
< b
; y por ser
E
a lo sumo numerable, podemos escoger
r
(k)
0
= a < r
(k)
1
< · · · <
r
(k)
n(k)
= b tales que
r
(k)
i
− r
(k)
i−1
<
1
2
k
y r
(k)
i
/∈ E, i = 1, . . . , n(k).
Así, C
r
(k)
i
∈ A
∂
µ
para i = 1, . . . , n(k) y además
Ω = f
−1
[a, b] =
n(k)
[
i=2
f
−1
r
(k)
i−1
, r
(k)
i
i
∪ f
−1
h
a, r
(k)
1
i
.
Como C
r
(k)
i
= f
−1
−∞, r
(k)
i
i
= f
−1
a, r
(k)
i
i
, tenemos que
f
−1
r
(k)
i−1
, r
(k)
i
i
= C
r
(k)
i
\ C
r
(k)
i−1
y luego
Ω = C
r
(k)
1
∪
n(k)
[
i=2
C
r
(k)
i
\ C
r
(k)
i−1
donde, por la proposición 3.5, cada C
r
(k)
i
\ C
r
(k)
i−1
está en A
∂
µ
.
Si
A
(k)
1
= C
r
(k)
1
y A
(k)
i
= C
r
(k)
i
\ C
r
(k)
i−1
, i = 2, . . . , n(k),
entonces
n
A
(k)
i
: i = 1, . . . , n(k)
o
es una A
∂
µ
-partición de Ω y
s
k
=
n(k)
∑
i=1
r
(k)
i
χ
A
(k)
i
es una función A
∂
µ
-simple y real, definida sobre Ω.
Ahora, dado ϵ > 0 y tomando k
0
∈ N tal que
1
2
k
0
< ϵ, tenemos que para todo w ∈ Ω
|s
k
(w) − f (w)| <
1
2
k
≤
1
2
k
0
< ϵ si k ≥ k
0
.
Por tanto
l
´
ım
k→∞
∥s
k
− f ∥
∞
= 0.
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Bases de la Ciencia
El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
Para
f ∈ C
b
(Ω)
cualquiera, sean
f
1
= Re f
y
f
2
= Im f
. Por el caso anterior, existen sucesiones
s
(1)
n
n
,
s
(2)
n
n
de
funciones A
∂
µ
-simples, reales y definidas sobre Ω tales que
l
´
ım
n→∞
∥s
(i)
n
− f
i
∥
∞
= 0, i = 1, 2.
Luego, si s
n
= s
(1)
n
+ is
(2)
n
para n ∈ N, (s
n
)
n
es una sucesión de funciones A
∂
µ
-simples definidas sobre Ω y
l
´
ım
n→∞
∥s
n
− f ∥
∞
= 0.
4. La Regularidad Exterior de µ ∈ ba
+
(A)
Para
µ ∈ ba
+
(A)
, introducimos el concepto de regularidad exterior en términos de los valores de
µ
en los conjuntos
abiertos y caracterizamos este concepto. Usando los resultados 3.3 y 3.4 de la sección anterior establecemos un
teorema de identidad, el cual jugará un papel fundamental en la siguiente sección.
Los conjuntos orba
+
(A) y rba
+
(A)
Notación 4.1. Usaremos las siguientes notaciones:
orba
+
(A) = {µ ∈ ba
+
(A) : µ exteriormente regular} y rba
+
(A) = {µ ∈ ba
+
(A) : µ regular}.
Si
ba(A) = {µ : A → K : µ aditiva y acotada}
, es bien conocido (ver 2.7 ) que
ba(A)
es un espacio de Banach cuando
la adición vectorial y la multiplicación por escalares se definen conjunto por conjunto y la norma se da por
∥µ∥
∞
= sup{|µ(E)| : E ∈ A} (4.1)
Proposición 4.2. ba
+
(A) es un cono convexo cerrado en el espacio de Banach ba(A).
Por la proposición 17.24 de (Panchapagesan, 1991), tenemos el siguiente resultado.
Lema 4.3. Para cada µ ∈ ba(A), la variación total ν(µ) es aditiva en A. Además, para cada E ∈ A
sup{|µ(A)| : A ∈ A y A ⊆ E} ≤ ν(µ)(E) ≤ 4 sup{|µ(A)| : A ∈ A y A ⊆ E} (4.2)
En consecuencia ν(µ) es acotada.
Por la ecuación
(4.2)
del lema anterior, es claro que la norma
∥ · ∥
∞
definida en
ba(A)
por la identidad
(4.1)
es
equivalente a la norma de la variación total dada por
|µ| = ν(µ)(Ω)
. Por lo tanto,
(ba(A)
,
| · |)
es también un espacio
de Banach, homeomorfo con (ba(A), ∥ · ∥
∞
) bajo la aplicación identidad.
Proposición 4.4. Se tiene que:
(i) orba
+
(A) es un subcono convexo cerrado del cono ba
+
(A) en el espacio de Banach ba(A).
(ii) Para todo r > 0, las truncaciones
¯
B
r
= orba
+
(A) ∩
¯
B(0, r) son conjuntos convexos y cerrados de la bola
¯
B(0, r).
Proposición 4.5. Sea µ ∈ bat
+
(A). Entonces µ es exteriormente regular sobre A si y sólo si
µ(A) = sup{µ(C) : C ∈ C
r
y C ⊆ A} para todo A ∈ A.
Proposición 4.6. Sea µ ∈ ba
+
(A). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) µ ∈ orba
+
(A).
(ii) Para cada A ∈ A, µ(A) = l
´
ım
U∈D
A
µ(U), donde D
A
= {U ∈ τ : A ⊆ U} es dirigido por la relación U ≤ V si V ⊆ U.
(iii)
Para cada
A ∈ A
,
µ(A) = l
´
ım
C∈E
A
µ(C)
, donde
E
A
= {C ∈ C
τ
: C ⊆ A}
es dirigido por la relación
C
1
⊆ C
2
si
C
1
⊆ C
2
.
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Bases de la Ciencia
La proposición anterior, que es válida en cualquier espacio topológico
Ω
, puede ser fortalecida cuando
Ω
es normal y
Hausdorff, mediante el teorema 3.3 y el corolario 3.4 de la sección anterior, si µ se restringe a C
τ
.
Teorema 4.7. Sean µ ∈ orba
+
(A) y C ∈ C
τ
. Si ν ∈ ba
+
(A) entonces
l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ
µ(U) = µ(C) = l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ,ν
µ(U)., donde D
C
= {U ∈ τ : C ⊆ U} es dirigido por U ≤ V si V ⊆ U.
Demostración.
Por la proposición anterior,
µ(C) = l
´
ım
U∈D
C
µ(U)
. Luego, dado
ϵ >
0 existe
U
0
∈ D
C
tal que
µ(U) <
µ(C) + ϵ, para todo U ∈ D
C
con U ⊆ U
0
.
Por el teorema 3.3,
τ
µ
∩ I(C
,
U
0
) ̸= ∅
y por tanto existe
U
1
∈ τ
µ
tal que
C ⊆ U
1
⊆ U
0
. Luego, para todo
U ∈ D
C
∩ τ
µ
con U ⊆ U
1
tenemos que µ(C) ≤ µ(U) ≤ µ( U
1
) < µ(C) + ϵ. En consecuencia, µ(C) = l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ
µ(U).
De manera análoga y usando el corolario 3.4 en lugar del teorema 3.3, deducimos el segundo resultado.
Teorema 4.8 (de identidad). Si
µ ∈ orba
+
(A)
y
ν ∈ ba
+
(A)
, entonces
µ
está determinada por su restricción a
τ
µ,ν
. En
consecuencia, si µ, ν ∈ orba
+
(A) entonces µ
|
τ
µ,ν
= ν
|
τ
µ,ν
=⇒ µ = ν.
Demostración. Sean µ ∈ orba
+
(A) y ν ∈ ba
+
(A). Por el teorema anterior,
µ(C) = l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ,ν
µ(U), ∀C ∈ C
r
. (4.3)
Pero, por la proposición 4.5;
µ(A) = sup{µ(C) : C ⊆ A y C ∈ C
r
}
,
∀A ∈ A
. De esto y la identidad
(4.3)
se sigue
que µ está determinada por µ
|
τ
µ,ν
. Si ν ∈ orba
+
(A) y µ
|
τ
µ,ν
= ν
|
τ
µ,ν
, entonces
µ(C) = l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ,ν
µ(U) = l
´
ım
U∈D
C
∩τ
µ,ν
ν(U) = ν(C), ∀C ∈ C
r
.
De la proposición 4.5 concluimos que µ = ν.
Corolario 4.9. Supongamos que τ ⊆ F, donde F es una clase de subconjuntos de Ω. Si
λ : F → [0, +∞) es una función de conjuntos, entonces puede existir a lo sumo un µ ∈ orba
+
(A) tal que µ
|
τ
µ
= λ
|
τ
µ
.
5. La Regularización Exterior de µ ∈ ba
+
(A)
El objetivo de este sección es probar que para cada
µ ∈ ba
+
(A)
, donde
A
es un álgebra de un espacio
Ω
normal
y Hausdorff, conteniendo los abiertos de
Ω
, existe una única
¯
µ ∈ orba
+
(A(τ))
tal que
¯
µ = µ
sobre la colección
{A ∈ A(τ) :
¯
µ(∂A) =
0
}
. A
¯
µ
la llamaremos la regularización exterior de
µ
. Cuando
Ω = S
es compacto y Hausdorff,
se tiene la existencia de una única
¯
µ ∈ rca
+
(B(S))
tal que
¯
µ = µ
sobre
{A ∈ B(S) ∩ A :
¯
µ(∂A) =
0
}
. En este caso a
¯
µ
la llamaremos la regularización de µ.
Lema 5.1. Si
C ∈ C
τ
y
U
1
,
U
2
∈ τ
son tales que
C ⊆ U
1
∪ U
2
, entonces existen
C
1
,
C
2
∈ C
τ
tales que
C
1
⊆ U
1
,
C
2
⊆ U
2
y
C
1
∪ C
2
= C.
Utilizando el lema anterior se prueba la siguiente proposición.
Proposición 5.2. Sea µ ∈ ba
+
(A). Si µ
∗
(U) = sup{µ(C) : C ⊆ U y C ∈ C
τ
} para U ∈ τ, entonces:
(i) µ
∗
(U) ⊆ [0, +∞).
(ii) µ
∗
(∅) = 0.
(iii) µ
∗
es monótona. Esto es, U
1
, U
2
∈ τ y U
1
⊆ U
2
=⇒ µ
∗
(U
1
) ≤ µ
∗
(U
2
).
(iv) µ
∗
es finitamente subaditiva en τ. Esto es, µ
∗
n
[
i=1
U
i
!
≤
n
∑
i=1
µ
∗
(U
i
).
Definición 5.3 (La medida externa µ
∗
inducida por µ). Sean µ ∈ ba
+
(A) y µ
∗
como en la proposición 5.2. Definimos la
medida externa µ
∗
inducida por µ en ℘(Ω) por µ
∗
(E) =
´
ınf{µ
∗
(U) : E ⊆ U y U ∈ τ}.
Proposición 5.4 (propiedades de µ
∗
). Sea µ ∈ ba
+
(A) y sea µ
∗
la medida externa inducida por µ en ℘(Ω). Entonces:
48
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Revista de la Facultad de Ciencias Básicas
Bases de la Ciencia
El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
(i) µ
∗
está bien definida y µ
∗
(℘(Ω)) ⊆ [0, µ(Ω)].
(ii) µ
∗
(∅) = 0.
(iii) µ
∗
es monótona.
(iv) µ
∗
es finitamente subaditiva.
(v) µ
∗
(·) = µ
∗
(·) ≤ µ(.) en τ.
(vi) µ(·) ≤ µ
∗
(·) en C
τ
.
(vii) µ
∗
es claramente regular, en el siguiente sentido: µ
∗
(E) =
´
ınf{µ
∗
(U) : E ⊆ U y U ∈ τ}.
(viii) Para todo A ∈ A, µ
∗
◦
A
≤ µ(A) ≤ µ
∗
(
¯
A).
(ix) Si A ∈ A y µ
∗
(∂A) = 0, entonces µ
∗
(A) = µ(A) y µ(∂A) = 0.
Definición 5.5 (los conjuntos
µ
∗
-medibles). Sea
M
µ
∗
= {E ⊆ Ω : µ
∗
(B) = µ
∗
(B ∩ E) + µ
∗
(B \ E)
,
∀B ∈ ℘(Ω)}
. Los
miembros de M
µ
∗
serán llamados los conjuntos µ
∗
-medibles. Sea
¯
µ = µ
∗
|
M
µ
∗
.
Proposición 5.6 (Propiedades de M
µ
∗
y
¯
µ). Sea µ ∈ ba
+
(A) y sea µ
∗
la medida externa inducida por µ. Entonces:
(i) M
µ
∗
es un álgebra que contiene a A(τ) .
(ii) Si E ⊆ Ω y µ
∗
(∂E) = 0, entonces E ∈ M
µ
∗
.
(iii) Si A ∈ A y µ
∗
(∂A) = 0, entonces A ∈ M
µ
∗
y
¯
µ(A) = µ(A).
(iv)
¯
µ ∈ orba
+
(M
µ
∗
).
Utilizando las proposiciones anteriores podemos establecer el primero de los dos teoremas principales de la sección.
Teorema 5.7 (La regularización exterior de µ ∈ ba
+
(A)). Sea µ ∈ ba
+
(A). Entonces:
(i) Existe una única
¯
µ ∈ orba
+
(A(τ)) tal que A ∈ A(τ) y
¯
µ(∂A) = 0 =⇒
¯
µ(A) = µ(A).
(ii) Esta única
¯
µ es obtenida de µ vía: µ
∗
(V) = sup{µ(C) : C ∈ C
τ
y C ⊆ V}, ∀V ∈ τ y
¯
µ(A) =
´
ınf{µ
∗
(V) : V ∈ τ y A ⊆ V}, ∀A ∈ A(τ)
(iii)
¯
µ
◦
A
≤ µ(A) ≤
¯
µ
(
¯
A
)
, para todo A ∈ A.
A
¯
µ se le llama la regularización exterior de µ.
Demostración.
(i)
Sean
M
µ
∗
y
¯
µ
como en la definición 5.5. De la proposición 5.6 se tiene que
M
µ
∗
es un álgebra que contiene a
A(τ),
¯
µ ∈ orba
+
(M
µ
∗
) y además A ∈ A y
¯
µ(∂A) = 0 =⇒ A ∈ M
µ
∗
y
¯
µ(A) = µ(A).
Considerando
¯
µ restringida a A(τ), tenemos que
¯
µ ∈ orba
+
(A(τ)) es tal que
A ∈ A(τ) y
¯
µ(∂A) = 0 =⇒
¯
µ(A) = µ(A).
Así
¯
µ
|
τ
¯
µ
= µ
|
τ
¯
µ
y del corolario 4.9, concluimos que esta
¯
µ es única.
(ii) Es obvio, ya que la
¯
µ en (i) es dada por 5.2 y 5.3.
(iii)
De 5.4(viii) se tiene que para todo
A ∈ A
,
µ
∗
◦
A
≤ µ(A) ≤ µ
∗
(
¯
A
)
y de la definición 5.5 se sigue que
¯
µ
◦
A
≤ µ(A) ≤
¯
µ
(
¯
A
)
para todo A ∈ A.
Con el propósito de especializar el teorema anterior cuando
Ω
es un espacio compacto y Hausdorff, se tiene el
siguiente lema.
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Revista Científica
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Bases de la Ciencia
Lema 5.8. Supongamos que S es un espacio compacto y Hausdorff. Entonces:
(i) Cada µ ∈ orba
+
(A) es σ-aditiva y regular, donde A es un álgebra de conjuntos en S, conteniendo los abiertos de S.
(ii)
Sea
µ ∈ ba
+
(A)
con
A
como en (i). Si
µ
∗
,
¯
µ
y
M
µ
∗
son como en la proposición 5.6 (ya que
S
es normal y Hausdorff),
entonces
µ
∗
es una medida exterior en
℘(S)
,
M
µ
∗
es una
σ
-álgebra conteniendo a
B(S)
y
¯
µ
es
σ
-aditiva y regular en
M
µ
∗
.
Teorema 5.9 (La regularización de
µ ∈ ba
+
(A)
). Sea
S
un espacio compacto y Hausdorff, y sea
A
un álgebra de conjuntos
en S conteniendo a los abiertos en S. Sea µ ∈ ba
+
(A). Entonces:
(i) Existe una única
¯
µ ∈ rca
+
(B(S)) tal que A ∈ A ∩ B(S) y
¯
µ(∂A) = 0 =⇒
¯
µ(A) = µ(A).
(ii) Esta
¯
µ es obtenida de µ vía: µ
∗
(V) = sup{µ(C) : C ∈ C
τ
y C ⊆ V}, ∀V ∈ τ y
¯
µ(A) =
´
ınf{µ
∗
(V) : V ∈ τ y A ⊆ V}, ∀A ∈ B(S).
(iii)
¯
µ satisface:
¯
µ
◦
A
≤ µ(A) ≤
¯
µ
(
¯
A
)
para todo A ∈ A.
Demostración.
(i)
Sean
M
µ
∗
y
¯
µ
como en la definición 5.5. De la proposición 5.6 y el lema 5.8 se tiene que
M
µ
∗
es una
σ
-álgebra
conteniendo a B(S) y
¯
µ ∈ rca
+
(M
µ
∗
) tal que
A ∈ A y
¯
µ(∂A) =
0
=⇒ A ∈ M
µ
∗
y
¯
µ(A) = µ(A)
. Considerando
¯
µ
restringida a
B(S)
, tenemos que
¯
µ ∈ rca
+
(B(S))
es tal que
A ∈ A ∩ B(S) y
¯
µ(∂A) =
0
=⇒
¯
µ(A) = µ(A)
. Así
¯
µ
|
τ
¯
µ
= µ
|
τ
¯
µ
y del corolario 4.9
concluimos que
¯
µ es única.
(ii) y (iii) son probadas exactamente igual que en 5.7(ii),(iii).
6. La topología Lévy en orba
+
(A)
En el cono
orba
+
(A)
definimos una topología
τ
l
, llamada la topología Lévy y describimos
τ
l
en términos de la
convergencia de redes, la cual facilita la verificación de que
τ
l
es compatible con las operaciones del cono
orba
+
(A)
y
que las truncaciones B(0, r) ∩ orba
+
(A) y las superficies {µ ∈ orba
+
(A) : ∥µ∥
∞
= r} son τ
l
-cerrados para r > 0.
Aunque la topología
τ
l
puede ser definida en
orba
+
(A)
para cualquier espacio topológico
Ω
, la hipótesis de que
Ω
es
normal y Hausdorff nos permite asegurar que τ
l
es Hausdorff.
Definición 6.1. Si µ ∈ orba
+
(A), para cada A ∈ A
∂
µ
y cada ϵ > 0 sea
N(µ; A, ϵ) = {ν ∈ orba
+
(A) : |ν(A) − µ(A)| < ϵ}.
Proposición 6.2. Sea B(µ) =
n
N(µ; A, ϵ) : A ∈ A
∂
µ
y ϵ > 0
o
para cada µ ∈ orba
+
(A).
Sea N ( µ) la colección de todas las intersecciones finitas de los miembros de B(µ).
Sea
τ
l
=
V ⊆ orba
+
(A) : ∀µ ∈ V, ∃V(µ) ∈ N (µ)/V(µ ) ⊆ V
. Entonces
τ
l
es una topología en
orba
+
(A)
, y además
cada V ∈ N (µ) es una vecindad de µ.
Definición 6.3. La topología τ
l
definida en la proposición 6.2 se llama la topología de Lévy en orba
+
(A).
Nota 6.1. La topología de la convergencia puntual
τ
A
en
orba
+
(A)
(i.e.
µ
α
→ µ
en
τ
A
⇔ µ
α
(A) → µ(A)
,
∀A ∈ A)
dada por la convergencia puntual en
A
es más fina que la topología
τ
l
(ver la proposición 6.7 más adelante), y
claramente, como
A
∂
µ
varía con
µ
, la topología
τ
l
no es invariante por traslación como la topología de la convergencia
puntual τ
A
.
Teorema 6.4. τ
l
es Hausdorff.
Nota 6.2. Como en el teorema 6.4 usa en su demostración el teorema de identidad, este es el lugar donde la hipótesis
de que Ω sea normal y Hausdorff se necesita para la validez del teorema.
Proposición 6.5 (Convergencia en la topología Lévy). Una red
(µ
α
)
α
es
τ
l
-convergente a
µ
en
orba
+
(A)
si y solo si
l
´
ım
α
µ
α
(A) = µ(A) para todo A ∈ A
∂
µ
.
50
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Bases de la Ciencia
El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
Demostración. Supongamos que l
´
ım
α
µ
α
= µ en τ
l
. Si A ∈ A
∂
µ
, dado ϵ > 0 existe α
0
tal que
µ
α
∈ N(µ
;
A
,
ϵ)
,
∀α ≥ α
0
. Es decir
|µ
α
(A) − µ(A)| < ϵ
,
∀α ≥ α
0
. Por lo cual,
l
´
ım
α
µ
α
(A) = µ(A)
para cada
A ∈ A
∂
µ
.
Recíprocamente, supongamos que
l
´
ım
α
µ
α
(A) = µ(A)
para cada
A ∈ A
∂
µ
. Si
V ∈ N (µ)
, existen
A
1
,
. . .
,
A
n
∈ A
∂
µ
y
ϵ
1
,
. . .
,
ϵ
n
>
0 tales que
V =
n
\
i=1
N(µ
;
A
i
,
ϵ
i
)
. Por hipótesis, para
ϵ = m
´
ın{ϵ
i
: i =
1,
. . .
,
n}
existen
α
i
tal
que
|µ
α
(A
i
) − µ(A
i
)| < ϵ
,
∀α ≥ α
i
, para
i =
1,
. . .
,
n
. Sea
α
0
> α
i
,
i =
1,
. . .
,
n
. Entonces, es claro que
µ
α
∈
n
\
i=1
N(µ; A
i
, ϵ) ⊆ V, ∀α ≥ α
0
y por tanto, µ
α
→ µ en τ
l
.
Utilizando la proposición anterior, se puede probar que las operaciones de adición y multiplicación por escalares
no-negativos son τ
l
-continuas en orba
+
(A).
Teorema 6.6. Las siguientes aplicaciones son continuas:
(i)
(orba
+
(A), τ
l
) × (orba
+
(A), τ
l
) → (orba
+
(A), τ
l
)
(µ, ν) → µ + ν
(ii)
[0, +∞) × (orba
+
(A), τ
l
) → (orba
+
(A), τ
l
)
(a, µ) → aµ
Teorema 6.7 (Sobre las truncaciones y las superficies). Se tiene que:
(i)
La topología
τ
l
en
orba
+
(A)
es más débil que la topología de la convergencia uniforme en
A
. Es decir, si
sup{|µ
α
(A) −
µ(A)| : A ∈ A} → 0 entonces µ
α
→ µ en τ
l
.
(ii) Sea (µ
α
)
α∈D
una red en orba
+
(A) que converge a µ en τ
l
. Entonces
∥µ∥
∞
= l
´
ım
α∈D
∥µ
α
∥
∞
≤ sup{∥µ
α
∥
∞
: α ∈ D} ≤ +∞.
(iii) Para todo r > 0, las truncaciones B(0, r) ∩ orba
+
(A) y las superficies {µ ∈ orba
+
(A) : ∥µ∥
∞
= r} son τ
l
-cerrados.
Demostración.
(i) Como A
∂
µ
⊆ A, (i) es evidente por la proposición 6.5.
(ii) Por la proposición 6.5, para U ∈ τ
µ
⊆ A
∂
µ
tenemos que l
´
ım
α∈D
µ
α
(U) = µ(U), y así
|µ(U)| = l
´
ım
α∈D
|µ
α
(U)| ≤ sup{∥µ
α
∥
∞
: α ∈ D}. Como Ω ∈ τ
µ
, deducimos que
∥µ∥
∞
= µ(Ω) = l
´
ım
α∈D
µ
α
(Ω) = l
´
ım
α∈D
∥µ
α
∥
∞
≤ sup{∥µ
α
∥
∞
: α ∈ D}
, ya que
µ
,
µ
α
son no-negativas y así
monótonas.
(iii) Sea (µ
α
)
α
una red en B(0, r) ∩ orba
+
(A) tal que µ
α
→ µ en orba
+
(A), en la topología τ
l
.
De (ii) se sigue que
∥µ∥
∞
= l
´
ım
α
∥µ
α
∥
∞
≤ r
, y así
µ ∈ B(
0,
r) ∩ orba
+
(A)
. Esto prueba que
B(
0,
r) ∩ orba
+
(A)
es τ
l
-cerrado.
De manera análoga, se tiene que {µ ∈ orba
+
(A) : ∥µ∥
∞
= r} es τ
l
-cerrado.
Nota 6.3. El resultado (iii) en el teorema anterior será fortalecido en la sección 8, cuando
Ω = S
es un espacio
compacto y Hausdorff.
7. El espacio dual de B(Ω
0
, Σ)
Si
Ω
0
es un conjunto no-vacío y
Σ
es un álgebra de conjuntos de
Ω
0
, sea
B(Ω
0
,
Σ)
el espacio de todas las funciones
complejas que son límite uniforme de sucesiones de funciones
Σ
-simples. Entonces cada miembro de
B(Ω
0
,
Σ)
es
acotado y luego,
(B(Ω
0
,
Σ)
,
∥ · ∥
∞
)
es un espacio de Banach. En esta sección demostramos que su dual es
ba(Σ)
, en
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el sentido de que existe un isomorfismo isométrico
Φ
de
B(Ω
0
,
Σ)
∗
sobre
ba(Σ)
tal que si
x
∗
∈ B(Ω
0
,
Σ)
∗
entonces
x
∗
( f ) =
Z
Ω
0
f dΦ(x
∗
), ∀ f ∈ B(Ω
0
, Σ).
Recordemos que una función
s : Ω
0
→ K
se llama
Σ
-simple si
s
toma un número finito de valores
α
1
,
. . .
,
α
n
en
K
tal
que
s
−1
(α
i
) ∈ Σ
para todo
i =
1,
. . .
,
n
. equivalentemente,
s
es de la forma
s =
n
∑
i=1
α
i
χ
E
i
donde
E
i
∈ Σ
,
E
i
∩ E
j
= ∅
para i ̸= j, y Ω
0
=
n
S
i=1
E
i
.
Definición 7.1. Si
f : Ω
0
→ K
es una función, decimos que
f
es
Σ
-medible si
f
−1
(B) ∈ Σ
para todo conjunto boreliano
B
en
K.
Definición 7.2. Sea
B(Ω
0
,
Σ)
la colección de todas las funciones
f : Ω
0
→ K
para las cuales existe una sucesión
(s
n
)
n
de
funciones Σ-simples tal que s
n
→ f uniformemente en Ω
0
.
Se tienen los siguientes resultados.
Proposición 7.3. Cada función escalar Σ-medible y acotada en Ω
0
pertenece a B(Ω
0
, Σ).
Proposición 7.4. Si
(Ω
0
,
τ
0
)
es un espacio topológico y
τ
0
⊆ Σ
, con
Σ
un álgebra de conjuntos de
Ω
0
. Entonces
C
b
(Ω
0
) ⊆
B(Ω
0
, Σ).
Proposición 7.5. Sean
Ω
0
y
Σ
como en la proposición 7.4. Entonces
C
b
(Ω
0
)
es cerrado en
B(Ω
0
,
Σ)
con la topología de la
convergencia uniforme en Ω
0
.
Teorema 7.6 (Sobre el dual de
B(Ω
0
,
Σ)
). Sean
Ω
0
un conjunto no-vacío y
Σ
un álgebra de
Ω
0
. Para cada
f ∈ B(Ω
0
,
Σ)
,
sea ∥ f ∥
∞
= sup{| f (w)| : w ∈ Ω
0
}. Entonces:
(i) B(Ω
0
, Σ) es un espacio de Banach con respecto a la norma ∥ · ∥
∞
.
(ii)
El dual
B(Ω
0
,
Σ)
∗
de
B(Ω
0
,
Σ)
es isométricamente isomorfo con el espacio de Banach
ba(Σ)
, dotado de la norma
|µ| = ν(µ)(Ω
0
)
, y para el isomorfismo
Φ(x
∗
) = µ
x
∗
∈ ba(Σ)
,
x
∗
∈ B(Ω
0
,
Σ)
∗
se tiene la identidad
x
∗
( f ) =
Z
Ω
0
f dµ
x
∗
, ∀ f ∈ B(Ω
0
, Σ).
8. Sobre la convergencia y la compacidad en la topología Lévy
Utilizando los resultados de la sección 7 y el teorema de aproximación 3.6, damos una caracterización de la
convergencia en el espacio
orba
+
(A)
con la topología Lévy en términos de funcionales lineales y positivos en
C
b
(Ω)
∗
, donde Ω es un espacio normal y Hausdorff y A es un álgebra de Ω conteniendo los abiertos de Ω.
Cuando
Ω = S
es un espacio compacto Hausdorff, utilizando el teorema 5.9 sobre la regularización de
µ
en
ba
+
(A)
,
donde
A
es un álgebra de
S
conteniendo los abiertos de
S
y contenida en
B(S)
la
σ − álgebra
de Borel en
S
, probamos
que en el espacio orba
+
(A) = rca
+
(A) con la topología Lévy, las truncaciones y las superficies son compactos.
Estos dos resultados serán utilizados en la próxima sección para dar una prueba alterna del lema 2.18 que da la
equivalencia entre el teorema de Krein-Milman y su versión baricéntrica, sin hacer referencia alguna al teorema de
representación de Riesz.
Lema 8.1. Sea
(µ
α
)
α
una red en
orba
+
(A)
y sea
x
∗
µ
α
el funcional asociado con
µ
α
en
B(Ω
,
A)
∗
(ver el teorema 7.6(ii)). Si
x
∗
µ
α
|
C
b
(Ω)
converge a algún
x
∗
µ
con
µ ∈ orba
+
(A)
en la topología
σ(C
b
(Ω)
∗
,
C
b
(Ω))
, entonces
µ
α
converge a
µ
en la topología
τ
l
.
Demostración.
En virtud de la proposición 6.5, basta ver que
l
´
ım
α
µ
α
(E) = µ(E)
,
∀E ∈ A
∂
µ
. Como
µ ∈ orba
+
(A)
y
µ(∂E) = 0, es claro que µ
E
≤ µ
◦
E
+ µ(∂E) = µ
◦
E
≤ µ(E) y por tanto
µ
E
= µ(E) = µ
◦
E
. (8.1)
52
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El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
Como
µ
es exteriormente regular, por la proposición 4.5;
µ
◦
E
= sup
µ(C) : C ⊆
◦
E y C ∈ C
τ
. Por definición,
µ
E
=
´
ınf
{
µ(U) :
¯
E ⊆ U ∈ τ
}
. En consecuencia, dado
ϵ >
0 existen conjuntos
C ∈ C
τ
y
U ∈ τ
tales que
C ⊆
◦
E ⊆ E ⊆ E ⊆ U y
µ
◦
E
< µ(C) +
ϵ
4
y µ(U) < µ
E
+
ϵ
4
. (8.2)
Luego, de las ecuaciones
(8.1)
y
(8.2)
,
µ(U − C) <
ϵ
2
. Ahora, como
C ⊆
◦
E ⊆ E ⊆ U
y
Ω
es normal; por el lema de
Urysohn, existen
g
,
h ∈ C
b
(Ω)
tales que 0
≤ g
,
h ≤
1,
g
|
C
=
1,
g
|
Ω\
◦
E
=
0
y h
|
¯
E
=
1,
h
|
Ω\U
=
0. Como
µ
y
µ
α
son
positivas, es claro que los funcionales x
∗
µ
, x
∗
µ
α
son positivos, ya que
x
∗
µ
( f ) =
Z
Ω
f dµ ≥
0
y x
∗
µ
α
( f ) =
Z
Ω
f dµ
α
≥
0 para todo
f ≥
0 en
B(Ω
,
A)
. Pero, por la proposición 7.4,
C
b
(Ω) ⊆ B(Ω
,
A)
y así
x
∗
µ
,
x
∗
µ
α
son funcionales lineales positivos en
C
b
(Ω)
. En consecuencia,
χ
C
≤ g ≤ χ
◦
E
≤ χ
E
≤
χ
E
≤ h ≤ χ
U
y esto implica que
µ(C) ≤ x
∗
µ
(g) ≤ µ
◦
E
= µ(E) = µ
E
≤ x
∗
µ
(h) ≤ µ(U). (8.3)
De esto se sigue que
0 ≤ x
∗
µ
(h) − x
∗
µ
(g) ≤ µ(U) − µ(C) = µ(U \ C) ≤
ϵ
2
, (8.4)
y por consiguiente
x
∗
µ
(g) ≤ µ(E) ≤ x
∗
µ
(g) +
ϵ
2
. (8.5)
También, como g ≤ χ
E
≤ h, tenemos que
x
∗
µ
α
(g) ≤ µ
α
(E) ≤ x
∗
µ
α
(h), ∀α ∈ D. (8.6)
De las ecuaciones (8.4), (8.5) y (8.6) se sigue que
x
∗
µ
α
(g) − x
∗
µ
(g) −
ϵ
2
≤ µ
α
(E) − µ(E)
≤ x
∗
µ
α
(h) − x
∗
µ
(g)
= x
∗
µ
α
(h) − x
∗
µ
(h) + x
∗
µ
(h) − x
∗
µ
(g)
< x
∗
µ
α
(h) − x
∗
µ
(h) +
ϵ
2
.
(8.7)
Ahora, por hipótesis,
x
∗
µ
α
( f ) → x
∗
µ
( f )
para todo
f ∈ C
b
(Ω)
, y luego para
g
,
h ∈ C
b
(Ω)
existe
α
0
tal que
|x
∗
µ
α
(g) −
x
∗
µ
(g)| <
ϵ
2
y |x
∗
µ
α
(h) − x
∗
µ
(h)| <
ϵ
2
, ∀α ≥ α
0
. Como (x
∗
µ
α
− x
∗
µ
)(g) y (x
∗
µ
α
− x
∗
µ
)(h) son reales,
−
ϵ
2
< x
∗
µ
α
(g) − x
∗
µ
(g) <
ϵ
2
y −
ϵ
2
< x
∗
µ
α
(h) − x
∗
µ
(h) <
ϵ
2
, ∀α ≥ α
0
. (8.8)
Utilizando las inecuaciones en (8.8) en las inecuaciones (8.7) tenemos que
−ϵ < µ
α
(E) − µ(E) < ϵ , ∀α ≥ α
0
. Es decir, l
´
ım
α
µ
α
(E) = µ(E) y esto completa la demostración.
Lema 8.2. Sea
(µ
α
)
α
una red en
orba
+
(A)
tal que
µ
α
→ µ ∈ orba
+
(A)
en la topología
τ
l
. Entonces
x
∗
µ
α
→ x
∗
µ
en la topología
σ(C
b
(Ω)
∗
, C
b
(Ω)), donde x
∗
µ
α
, x
∗
µ
se dan como en el teorema 7.6(ii), y se consideran sus restricciones a C
b
(Ω).
Los dos lemas anteriores conforman el siguiente teorema.
Teorema 8.3. Sea
Ω
un espacio normal y Hausdorff y sea
A
un álgebra de conjuntos en
Ω
tal que
τ ⊆ A
. Si
(µ
α
)
α
es una red en
orba
+
(A)
. Entonces
µ
α
→ µ ∈ orba
+
(A)
en la topología
τ
i
si y sólo si
x
∗
µ
α
|
C
b
(Ω)
→ x
∗
µ
|
C
b
(Ω)
en la
σ(C
b
(Ω)
∗
, C
b
(Ω))-topología, donde x
∗
µ
α
y x
∗
µ
son como en el teorema 7.6(ii).
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ISNN 2588-0764 Vol. 10. Núm. 2 (39-55): mayo-agosto, 2025 DOI: 10.33936/revbasdelaciencia.v10i2.7528
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BASES DE LA CIENCIA
Revista Científica
Facultad de Ciencias Básicas
Revista de la Facultad de Ciencias Básicas
Bases de la Ciencia
Cuando
Ω = S
es un espacio compacto y Hausdorff; el siguiente teorema nos dice que las truncaciones
¯
B(
0,
r) ∩
rca
+
(A)
y las superficies
{µ ∈ rca
+
(A) : ∥µ∥
∞
=
1
}
son
τ
l
− compactas
. La demostración de este teorema se
fundamenta en la regularización de µ ∈ ba
+
(A) (ver el teorema 5.9).
Teorema 8.4 (
τ
l
-compacidad de las truncaciones y superficies en
rca
+
(A)
). Sea
S
un espacio compacto y Hausdorff y
sea A un álgebra de conjuntos en S satisfaciendo τ ⊆ A ⊆ B(S), donde τ es la topología de S. Entonces:
(i) orba
+
(A) = rca
+
(A).
(ii) Para r > 0, la truncación
¯
B(0, r)
\
rca
+
(A) es τ
l
− compacto.
(iii) Para r > 0, la superficie {µ ∈ rca
+
(A) : ∥µ∥
∞
= r} es τ
l
− compacto.
El teorema anterior se utilizará en la próxima sección para deducir el teorema de representación de Riesz a partir de
la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman.
9. Resultado principal: El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman.
Utilizando el teorema 8.4 damos una demostración del lema 2.18, la cual no hace referencia alguna al teorema de
representación de Riesz. Así, podemos establecer la equivalencia entre el teorema de Krein-Milman y su versión
baricéntrica, independientemente del teorema de representación de Riesz, y luego, como se vio en 2.5, deducimos el
teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman. En esta forma, efectivamente el teorema
de representación de Riesz es una consecuencia del teorema de Krein-Milman.
Lema 9.1 (=Lema 2.18). Sea
X
un espacio localmente convexo y Hausdorff, y sea
K
un compacto no-vacío en
X
. Entonces
x ∈ Co(K)
si y sólo si existe una medida boreliana y regular
µ
de probabilidad en
K
tal que
x
es el baricentro de
µ
, i.e.
x
∗
(x) =
Z
K
x
∗
dµ, ∀x
∗
∈ X
∗
.
Demostración.
Sean
x
,
(x
α
)
α
y
(µ
α
)
α
como en la demostración del lema 2.18. Ahora, sin usar el teorema de
representación de Riesz y utilizando el teorema 8.4, probaremos que existe una medida boreliana y regular
µ
de probabilidad en K tal que x es su baricentro.
Claramente (µ
α
)
α
es una red en rca
+
(B(K)) con µ
α
(K) = 1 para todo α, por lo que
(µ
α
)
α
⊆ {µ ∈ rca
+
(B(K)) : ∥µ∥
∞
=
1
}
, el cual, por el teorema 8.4(iii), es
τ
l
-compacto. Por tanto, existen una subred
(µ
β
)
β
de (µ
α
)
α
y µ ∈ rca
+
(B(K)) con µ(K) = 1 tal que µ
β
→ µ en la topología τ
l
.
Por el teorema 8.3, esto es equivalente a
x
∗
µ
β
→ x
∗
µ
en la topología
σ(C(K)
∗
,
C(K))
, con
x
∗
µ
β
y
x
∗
µ
como en el teorema
7.6. Así
Z
K
f dµ
β
→
Z
K
f dµ, ∀ f ∈ C(K), y en particular,
Z
K
x
∗
dµ
β
→
Z
K
x
∗
dµ, ∀x
∗
∈ X
∗
; (9.1)
ya que x
∗
|
K
∈ C(K) para todo x
∗
∈ X
∗
. Por otro lado, x
α
→ x y luego x
β
→ x. Así
x
∗
(x
β
) =
Z
K
x
∗
dµ
β
→ x
∗
(x). (9.2)
De esto y de la convergencia en
(9.1)
, concluimos que
x
∗
(x) =
Z
K
x
∗
dµ
,
∀x
∗
∈ X
∗
. Es decir,
x
es el baricentro de
µ ∈ rca
+
(B(K)) con µ(K) = 1.
La prueba del recíproco es exactamente igual a la dada en el lema 2.18, ya que esta es independiente del teorema de
representación de Riesz.
Como hemos obtenido el lema 2.18 (=lema 9.1) independientemente del teorema de representación de Riesz, el
teorema 2.19 que da la equivalencia entre el teorema de Krein-Milman y su versión baricéntrica, de hecho puede
considerarse probado sin ninguna referencia al teorema de representación de Riesz.
Con la conclusión anterior y con la demostración hecha en 2.5, tenemos el resultado principal de este trabajo.
Teorema 9.2. El teorema de Krein-Milman implica el teorema de representación de Riesz.
Demostración. La demostración es similar a la dada en la subsección 2.5.
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Revista de la Facultad de Ciencias Básicas
Bases de la Ciencia
El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman
10. Declaración de conflicto de interés de los autores
El autor declara no tener conflicto de intereses.
11. Referencias
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//doi.org/10.1007/3-540-29587-9
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Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/
CBO9780511804441
Cohn, D. L. (2013). Measure Theory (2nd). Birkhäuser. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6956-8
Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis (2nd). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5200-9
Dunford, N., & Schwartz, J. T. (1957). Linear operators. 1. General theory. Interscience Publ.
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Hiriart-Urruty, J.
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Masani, P. (2006). The outer regularization of finitely-additive measures over normal topological spaces. Measure
Theory Oberwolfach 1981: Proceedings of the Conference Held at Oberwolfach, Germany, June 21–27, 1981, 116
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Megginson, R. E. (1998). An Introduction to Banach Space Theory. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0603-3
Panchapagesan, T. (1991). Medida e Integración. Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Mérida, Venezuela.
Phelps, R. (2001). Lectures on Choquet’s Theorem. Springer Berlin Heidelberg. https://books.google.com.ec/books?id=
CxXcWPyHMkwC
Rockafellar, R. T. (1970). Convex Analysis. Princeton University Press.
Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill.
Rudin, W. (2012). Análisis funcional. Reverte.
12. Contribución de Autores
Autor Contribución
Carlos Eduardo Cova Salaya Redacción, selección del tema, revisión bibliográfica
# revista.bdlaciencia@utm.edu.ec 55
ISNN 2588-0764 Vol. 10. Núm. 2 (39-55): mayo-agosto, 2025 DOI: 10.33936/revbasdelaciencia.v10i2.7528
