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e-ISSN 2528-8075/ VOL 4/No. 3/SEPTIEMBRE – DICIEMBRE/2019/pp. 14-21
Unidad de Cooperación Universitaria. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo. Ecuador
Las nuevas clases de geometría
The new geometry classes
“Fabián Bravo Guerrero”
1
*
Resumen
Tradicionalmente, las clases de geometría han sido difíciles, pero cuando estas clases se desarrollan mecánica y memorísticamente, se
hacen aún más complejas. Los docentes que desarrollan temas teóricos, abstractos y difíciles de entender, que no están relacionados con
ninguna aplicación práctica y son de poco interés, no contribuyen a resolver este problema. Hay nuevas corrientes de pensamiento que
están cambiando la relación entre docentes y estudiantes en el aula, el docente diseña y aplica actividades para que el estudiante
desarrolle su aprendizaje y pase de ser un receptor pasivo para tener un papel activo en el aula. La metodología de investigación-acción
se utilizó para el análisis teórico de las clases tradicionales y nuevas propuestas de clases de geometría. Este artículo tiene como
objetivo describir una experiencia con estudiantes de la carrera de formación docente en Matemáticas y Física, donde se desarrollan
clases creativas de triángulos, con temas novedosos que describen parte de la historia ecuatoriana, se utilizan recursos tecnológicos que
facilitan la comprensión y los problemas de contexto que se analizan dan sentido práctico a la geometría y fomentan la investigación.
Abstract
Traditionally, geometry classes have been difficult, but when these classes are developed mechanically and memoristically, they become
even more complex. Teachers who develop theoretical, abstract and difficult to understand topics, which are not related to any practical
application and are of little interest, do not contribute to solving this problem. There are new currents of thought that are changing the
relationship between teachers and students in the classroom, the teacher designs and applies activities so that the student develops his
learning and goes from being a passive receiver to have an active role in the classroom. The action research methodology was used for
the theoretical analysis of traditional classes and new geometry class proposals. This article aims to describe an experience with
students of the teacher training career in Mathematics and Physics, where creative classes of triangles are developed, with novel themes
that describe part of Ecuadorian history, technological resources are used that facilitate understanding and the context problems that
are analyzed give practical meaning to geometry and encourage research.
Palabras clave/Keywords
Clases de geometría; enseñanza activa; investigación acción; profesores de geometría/Geometry classes; active teaching; action
research; geometry teacher
*Dirección para correspondencia: fabian.bravo@ucuenca.edu.ec
Artículo recibido el 23 - 10 – 2018 Artículo aceptado el 30 - 12 – 2019 Artículo publicado el 30 - 12 - 2019
Conflicto de intereses no declarado.
Fundada 2016 Unidad de Cooperación Universitaria de la Universidad Técnica de Manabí, Ecuador.
1
Universidad de Cuenca, Mg., Cuenca, Ecuador, fabian.bravo@ucuenca.edu.ec
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Las nuevas clases de geometría
Bravo Guerrero
Unidad de Cooperación Universitaria. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo. Ecuador
1. Introducción
La geometría permite al ser humano percibir las formas y el espacio
que lo rodea, en su necesidad de explicar aquello que observa ha creado
un lenguaje que le permite describir y construir su mundo (Vargas &
Gamboa, 2013). Etimológicamente, geometría significa medida de la
tierra (Godino & Ruiz, 2002), en la práctica describe, clasifica y estudia
las propiedades de las figuras, pero, ante todo, da la posibilidad de que
problemas reales y del contexto, relacionados con las formas, sean
modelados e interpretados para su análisis y resolución.
En la clase de geometría se trabaja con figuras, para tener una buena
comprensión de ellas es necesario el uso de representaciones gráficas,
razón por la que debe usarse la pizarra, o diversos recursos didácticos
como material concreto o herramientas tecnológicas que faciliten el
entendimiento de las formas, las relaciones geométricas, y el
razonamiento de forma abstracta (García & López, 2008). De este modo
se desarrollan en el estudiante habilidades de pensamiento lógico,
deductivo y ordenado (Godino & Ruiz, 2002).
Debido a deficiencias en la preparación del docente, en aspectos
pedagógicos y didácticos, la enseñanza de la geometría puede resultar
compleja (Barrantes & Blanco, 2005). El docente con frecuencia utiliza
procedimientos que mucho tiempo atrás aplicó su profesor y viejos
apuntes que tomó durante su formación como profesional, en muchos
casos no ha sido formado como maestro (Bravo, Trelles & Barrazueta,
2017).
Muchas veces al docente le toma tiempo adquirir los conocimientos
y experiencias que necesita para impartir los temas, con lo cual se logra
eficiencia al enseñar, por eso, es reacio a utilizar nuevas tecnologías en
el aula como herramienta para el aprendizaje (Lastra, 2005).
La poca importancia dada a la geometría en las aulas ocasiona
carencias en la formación del estudiante; esto puede constituir un
problema para el posterior aprendizaje de temas encadenados. Según
Blanco & Barrantes (2003) muchos estudiantes llegan a las facultades
con las mismas experiencias, falta de conocimientos, y concepciones
sobre esta materia, que hace unos años.
Este artículo hace un análisis teórico de las clases tradicionales y las
nuevas propuestas centradas en el estudiante. Se describe una
experiencia de aplicación de nuevas clases de geometría a estudiantes de
una carrera de formación docente. Se destaca la importancia de la
aplicación de nuevos paradigmas en aspectos didácticos y disciplinares,
para que mejore la calidad de la enseñanza, y esto repercuta en que los
estudiantes logren aprendizajes de calidad.
1.1. Estado del arte
Se revisaron algunas propuestas novedosas de prácticas utilizadas en
las clases de geometría: en México, García & López (2008) sugieren
trabajar la geometría mediante el método de resolución de problemas, y
como espacio físico un taller donde el trabajo con la geometría implica
la manipulación y construcción de figuras. En Chile, Fabres (2016)
propone la aplicación de actividades basadas en el modelo de desarrollo
de pensamiento geométrico de Van Hiele, adicionalmente sugiere el uso
de materiales concretos y el desarrollo de actividades lúdicas en la clase
de geometría. En Colombia, Riascos & Curbeira (2018) hacen énfasis en
el uso de ambientes tecnológicos, e incentivan a que los estudiantes,
mediante simuladores tengan facilidades para la visualización
tridimensional de sólidos, algo que tradicionalmente ha sido
representado en el plano.
Existen propuestas basadas en la incorporación del concepto de la
etnomatemática, por ejemplo, Micelli & Crespo (2011) estudiaron los
conocimientos ancestrales de geometría en las culturas americanas que
se han plasmado en prendas tejidas; este material puede ser utilizado en
las clases para contextualizar la aplicación de la geometría desde
tiempos pasados. Aroca & Arboleda (2007) analizaron figuras que
utilizan las comunidades indígenas y elaboran una propuesta de
enseñanza de la geometría basada en problematizar y analizar las figuras
geométricas propias de esas culturas.
Sobre los textos de geometría, Bravo, Trelles & Barrazueta (2017)
indican que aún los docentes tienen como costumbre utilizar un único
texto antiguo, sin embargo, existen interesantes propuestas, que
consideran el desarrollo de aplicaciones con temas contextualizados, que
proponen al estudiante un papel activo y actividades de investigación.
En Argentina, Abrate, Delgado & Pochulu (2006) analizaron los
textos de geometría más usados e indican que muchos de ellos inducen a
los estudiantes a la reflexión, aunque no siempre propician la
adquisición de todas las habilidades geométricas; ellos destacan la
importancia de la mediación del docente durante el proceso de
construcción del conocimiento. Bajo los nuevos paradigmas pedagógicos
se realizan diversas e interesantes propuestas didácticas que buscan la
eficiencia educativa y en particular para los estudiantes conseguir
aprendizajes de calidad.
En Ecuador se comienzan a escribir y documentar las experiencias
educativas y propuestas innovadoras que han sido aplicadas en las clases
de geometría. Respecto al uso de las nuevas tecnologías, Collantes
(2017) utilizó “Objetos Virtuales de Aprendizaje” (OVA) como recurso
didáctico para el refuerzo del aprendizaje de la geometría de forma
adicional a las clases. Jácome (2015) planificó una serie de clases de
geometría usando recursos digitales y las colocó en una plataforma
virtual, donde los estudiantes acudían para reforzar los aprendizajes
logrados en sus clases presenciales.
Hernández & Tenelanda (2018) trabajaron en aulas abiertas para
aprender geometría y trigonometría, allí se fomentó la resolución de
problemas y aplicaciones prácticas mediante trabajo colaborativo, y se
promovió el autoaprendizaje mediante el trabajo autónomo. Vaca (2016)
propuso una estrategia didáctica basada en el manejo de materiales
concretos y actividades lúdicas para la clase de geometría, logrando
avances en el proceso educativo.
Ortiz, Pérez & Fernández (2017) aplicaron una estrategia que
favorece el desarrollo de habilidades de pensamiento espacial, con una
propuesta de actividades que propició la resolución de problemas de
forma creativa y reflexiva. La Universidad de Cuenca, en la carrera de
formación docente en Matemáticas y Física desarrolla trabajos de
titulación donde se proponen textos que contienen estrategias didácticas,
y se elaboran materiales concretos que apoyan la labor del docente.
En Ecuador, aunque hay algunos estudios sobre el tema, son pocos
los textos académicos que describen experiencias sobre clases de
geometría.
1.2. La clase de geometría tradicional
El estudio de geometría en la educación básica y de bachillerato,
tradicionalmente se ha enfocado en la memorización de fórmulas para
calcular áreas y volúmenes, de definiciones geométricas, teoremas y
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propiedades, apoyadas en análisis mecánicos, fuera de contexto
(Gamboa & Ballestero, 2010) y complejas deducciones lógicas que
implican dificultades tanto para el docente al enseñar, como para el
estudiante al aprender. La geometría podría ser considerada como un
tema que queda fuera de la secuencia de matemáticas, por lo que en
ocasiones los docentes no le han dado la trascendencia que la asignatura
merece (Abrate, Delgado & Pochulu, 2006).
Un alto porcentaje de profesores de matemáticas ha tenido una
formación sólida en el aspecto disciplinar y conoce bien la matemática,
ya que estudió en una carrera técnica, pero no tuvo formación en el
ámbito educativo (Bravo, Trelles & Barrazueta, 2017); los posteriores
cursos, talleres de capacitación y la experiencia los han formado como
docente. Los temas de geometría que estudió en la universidad eran
acordes y específicos a su formación profesional, adecuados a lo que se
requería para una carrera técnica, pero tenían poco en común con los
temas que debe desarrollar como docente en primaria o secundaria.
El docente tradicional imparte su clase tal cual le enseñaron ya que
no conoce otra forma de desarrollar los temas (Vargas & Gamboa,
2013), sus profesores tampoco eran expertos en el aspecto pedagógico y
aplicaban técnicas tradicionales para dar su clase. La planificación de la
clase muchas veces se enfoca en los contenidos que se tienen que
cumplir, descuidando los aprendizajes o destrezas que se quieren lograr
en los estudiantes (Bravo, Trelles & Barrazueta, 2017). Los profesores
tradicionales se guían por los textos y apuntes utilizados durante su
formación profesional y desarrollan su clase como un conferencista
cuando da una clase magistral (Gutiérrez & Jaime, 1998), se descuida el
aprendizaje del estudiante, hay un desconocimiento de metodologías
para la enseñanza de la geometría (Galindo, 1996). Este profesor es un
experto en desarrollar teoremas y hacer demostraciones, pero se olvida
de la aplicación de estos a la práctica y de demostrar su utilidad para la
vida y los estudios futuros (Gamboa & Ballestero, 2010).
Los métodos tradicionalmente utilizados en la enseñanza de la
geometría, teóricos, repetitivos, memorísticos, enfocados en las
evaluaciones, son responsabilidad de los paradigmas tradicionales a los
que los docentes se apegan. Blanco & Barrantes (2003) mencionan que
“debemos hacer una reflexión crítica sobre el trabajo en los centros de
formación de profesores que posibilite una influencia en la realidad
escolar del nuevo enfoque que sobre la geometría escolar se viene
proponiendo en las propuestas curriculares” (p.249). Para Gutiérrez &
Jaime (1998) los profesores normalmente ponen más énfasis en enunciar
definiciones que en dar a conocer ejemplos y aplicaciones, sin darse
cuenta de que son los últimos los que impactan más en los estudiantes y
producen aprendizajes más duraderos.
El uso de recursos didácticos ha sido muy limitado, ya sea por lo
costoso que puede resultar prepararlos o por desconocimiento por parte
del docente de las posibilidades de su uso, según Gamboa & Ballestero
(2010), “el docente para desarrollar la clase de geometría necesita la
pizarra, la tiza y borrador, material fotocopiado y libro de texto” (p.138),
sin utilizar el gran potencial de los recursos didácticos para facilitar la
comprensión y el aprendizaje de los temas.
El docente se limita al uso del antiguo texto (Abrate, Delgado &
Pochulu, 2006) con desarrollo de temas que no se adaptan al nivel en el
que se enseña, con series de ejercicios que hacen énfasis en la repetición
y la memoria (Barrantes & Blanco, 2005), con muy pocas aplicaciones
prácticas; estos textos fueron escritos acorde a otras épocas. Muchos de
los ejercicios que se desarrollan en la clase y en las evaluaciones son de
invención del profesor, contienen figuras inventadas, ficticias, teóricas,
que no se basan en aplicaciones reales. El uso de recursos tecnológicos
no ha sido considerado para apoyar a la enseñanza y aprendizaje de
temas de geometría, está restringido al manejo de procesadores de texto
u hojas de cálculo para la presentación de reportes e informes (Gonzales,
Trelles & Mora, 2017); las tecnologías de la información y
comunicación están siendo poco aprovechadas en el aula.
Para Trelles, Bravo & Barrazueta (2017), la evaluación
tradicionalmente ha servido “como una simple actividad que persigue
asignar calificaciones a los estudiantes” (p.37) y obtener notas que
permiten al estudiante aprobar el curso; según Blanco & Barrantes
(2003), el examen aún es considerado el elemento más importante de la
evaluación, por encima de las actividades en el aula o los aspectos
actitudinales, y los estudiantes están convencidos de que los exámenes
deben tener problemas idénticos a los desarrollados en clase con otros
datos, esto hace que no se esfuercen para hacer análisis sobre un
problema y aprendan a tomar decisiones.
Muchos son los problemas que enfrentan los estudiantes debido a las
antiguas costumbres de los docentes: les toman lecciones que requieren
memorizar temas, pruebas sorpresa, difíciles evaluaciones que buscan
demostrar que el estudiante no sabe del tema; evaluaciones que formulan
problemas que en ocasiones ni el profesor las puede resolver, que en lo
posterior evita realizar una retroalimentación; la entrega de evaluaciones
calificadas es tardía, entre otros.
Bajo este esquema tradicional, el estudiante ha tenido un papel
pasivo, de oyente, con recelo de participar o preguntar, se queda con las
dudas, solo hace lo que el profesor le indica, estudia lo que el profesor
desarrolló, no tiene incentivos para ampliar los temas o trabajar por su
propia iniciativa (Barrantes & Blanco, 2005). El alumno se esmera en
memorizar de forma repetitiva, en busca de un patrón o una secuencia
(Franchi & Hernández, 2004). En este contexto, Gamboa & Ballestero
(2010) dicen que la geometría es “como una receta de definiciones,
fórmulas y teoremas totalmente alejada de su realidad y donde los
ejemplos y ejercicios no poseen ninguna relación con su contexto”
(p.139). El estudiante al prepararse para una evaluación no encuentra
sentido a los temas desarrollados, se imagina que el tema tiene una
aplicación práctica, por lo tanto, no los apropia. Las autoras Ruiz, Torres
& García, (2018) indican “el paradigma clásico de una educación
tradicional y casi inmutable no resulta muy congruente con los nuevos
escenarios y demandas sociales, y científicas” (p.15).
A pesar de que las prácticas tradicionales están arraigadas, existen
muchas experiencias impulsadas por nuevas concepciones pedagógicas,
donde el papel del estudiante es activo, reflexivo y propositivo, los
temas son desarrollados con la participación de docentes y estudiantes,
se enfatiza en lo prácticos, aplicables y contextualizados que pueden ser
los temas estudiados a la vida real (Bravo, Trelles & Barrazueta, 2017).
1.3. Geometría en la educación ecuatoriana
En la educación ecuatoriana se vive un proceso de transición, el
docente aún desarrolla su clase bajo el paradigma conductista, sin
embargo, el discurso que se maneja en la actualidad es constructivista, es
probable que no exista un real cambio en los conceptos que maneja el
docente, pero se camina en esa nueva dirección (Moreira, 1997). Es
probable que los cambios y actualizaciones curriculares se queden en el
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papel y tarde en trascender al docente, quién finalmente está al frente del
proceso educativo.
Los nuevos paradigmas educativos asignan un rol protagónico al
estudiante, consecuentes con estos nuevos rumbos, en Ecuador la Ley
Orgánica de Educación Intercultural del año 2011 “garantiza la
concepción del educando como centro del proceso educativo”
(Ministerio de Educación, 2011), en ese contexto, el docente tiene un rol
importante, planificar actividades que serán desarrolladas en la clase y
fuera de ella, para que el estudiante pueda lograr esos aprendizajes.
La educación ecuatoriana va en el camino de las nuevas corrientes
educativas. Las políticas del estado que constan en el Plan Nacional del
Buen Vivir (SENPLADES, 2013), incluyen el desarrollo de estudiantes
con capacidad de ser críticos, propositivos y que aporten al desarrollo de
su sociedad y cultura, dando importancia a los componentes de equidad,
interculturalidad, inclusión y cuidado del medio ambiente (Asamblea
Nacional, 2008). En el año 2016 el Ministerio de Educación puso en
vigencia una actualización curricular, que busca que los estudiantes
integren conocimientos, apliquen operaciones complejas, y den sentido a
los aprendizajes, para que los apliquen en actividades de su vida
cotidiana (Ministerio de Educación, 2016a).
Se propone que en el área de matemáticas el estudiante aprenda a
comunicarse en lenguaje matemático y de manera gráfica, enfocado en el
desarrollo del pensamiento lógico y crítico, para interpretar y resolver
problemas de la vida cotidiana. El nuevo currículo para el área de
matemáticas toma como base la perspectiva pragmático constructivista,
fusión de varias corrientes: pragmatistas, constructivistas, socio
históricas, naturalistas entre otras. Bajo este modelo el estudiante logra
aprendizajes significativos cuando aplica conceptos y herramientas para
resolver problemas de la vida real (Ministerio de Educación, 2016b).
Con respecto a la Geometría se menciona que “si bien es muy abstracta,
es fácil de visualizar, por ello la importancia de que el conocimiento que
se deriva de este bloque mantenga una relación con situaciones de la
vida real, para que se vuelva significativo” (Ministerio de Educación,
2016b).
1.4. Temas novedosos de geometría
Los autores Gamboa y Ballestero (2010) recalcan que la importancia
de aprender geometría está asociada a la aplicabilidad de esta, a lo que se
puede utilizar en la vida. En Educación General Básica y en Bachillerato
General Unificado, se trabaja en geometría y medida con formas y
figuras en dos y tres dimensiones que se encuentran en el entorno, para
analizar sus características, propiedades y calcular perímetros, áreas y
volúmenes; temas que están relacionados con las unidades de medida
(Ministerio de Educación, 2016b); mientras, en la universidad, en
aquellas carreras que lo requieran en sus currículos, se realizan tratados
teóricos de las formas, y se realizan deducciones y demostraciones de las
propiedades de las figuras mediante el desarrollo de teoremas. El tratado
de unidades de medida es muy importante, porque las personas lo usan
todo el tiempo, tanto unidades del sistema internacional, como unidades
antiguas que aún son de uso generalizado, y las conversiones de estas.
De forma complementaria se puede enriquecer el desarrollo de los
temas con datos históricos relacionados con la figura, que resalten su
importancia, su trascendencia y aplicaciones que pudieron desarrollarse
a partir de ella. Godino & Ruiz (2002) sugieren realizar construcciones
mediante observaciones dirigidas, acciones sobre objetos reales y
manipulación de material apropiado en situaciones de aprendizaje
diseñadas al efecto, se acercarán los alumnos a las distintas nociones
proyectivas: perspectiva, rectitud, distancia, paralelismo, ángulo,
simetría, etc. La geometría es fácil de visualizar, por ello la importancia
de que el conocimiento que se deriva de este bloque mantenga una
relación con situaciones de la vida real, para que el aprendizaje se vuelva
significativo (Ministerio de Educación, 2016b).
Es posible realizar visitas a lugares donde se observen las figuras
estudiadas y las aplicaciones prácticas, para luego en el aula
problematizar, trabajar en modelación, deducir fórmulas, calcular áreas,
volúmenes, usar medidas del sistema internacional y otras, realizar
conversiones de unidades de medida. Frechet (1955), indica:
(…) cuando un topógrafo quiere estimar el área de un terreno, no
puede pensar en medirlo directamente, es decir, contar el número
de unidades cuadradas que contiene. De hecho, el único método
usable consiste en operar indirectamente, medir, no áreas, sino
longitudes y ángulos y deducir el valor del área gracias a los
teoremas y fórmulas obtenidas por métodos deductivos en
Geometría y Trigonometría (citado en Godino & Ruiz, 2002,
p.575).
Es importante que se investiguen documentos históricos y artículos
publicados que hayan sido seleccionados por el profesor, donde el
estudiante pueda indagar temas relacionados con las figuras geométricas.
Un ejemplo para trabajar con triángulos es averiguar sobre la Misión
Geodésica Francesa, que vino a tierras ecuatorianas en 1735 para realizar
mediciones relacionadas con la forma de la tierra, según menciona
Francou (2013). Al investigar sobre este tema, el estudiante se entera del
contexto histórico de Europa y América, las costumbres de los antiguos
pobladores de estas tierras. La misión realizó mediciones con
instrumentos de la época en base a la medición de una serie de triángulos
con los que pudieron realizar mapas de la región interandina entre
Yaruquí y Tarqui (Espinosa & Lomné, 2013). En la figura 1 pueden
observarse estos triángulos. Este tema puede ser muy interesante para los
estudiantes, ya que relacionan varias asignaturas dentro un solo trabajo
de investigación, y el tema de geometría se vuelve muy interesante y
significativo.
Figura 1. Los triángulos levantados por la misión entre Yaruquí y
Tarqui.
Fuente: La Condamine, 1751 (citado en Francou, 2013).
Realizar dibujos de figuras planas permite al estudiante utilizar
instrumentos como el compás y la regla para conocer los procedimientos
y construir de forma precisa las figuras, de esta manera hay variadas
formas de abordar los temas de geometría que despiertan el interés del
estudiante por la asignatura. Mediante cartulina y tijeras se puede
proceder a construir sólidos, donde se identifiquen las características de
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estas figuras, pero manipulándolas y luego obteniendo medidas, para
resolver aplicaciones de áreas, y volúmenes; esto responde a una
perspectiva constructivista, donde el alumno participa activamente en la
construcción de su conocimiento (Gutiérrez & Jaime, 1996).
Al desarrollar la circunferencia, círculo y esfera, hay una gran
posibilidad para el docente de relacionar la geometría con temas de otras
asignaturas, comprender el significado del número pi, aplicar conceptos
de ángulos y arcos para calcular en la esfera terrestre meridianos y
paralelos, entender los husos horarios y el cambio de hora, comprender
por qué se dan las cuatro estaciones en el año. Como puede observarse
en la figura 2, también es posible asociar la forma del balón de futbol
con un icosaedro truncado y construirlo junto a los estudiantes.
Figura 2. Meridianos y paralelos del globo terráqueo.
Fuente: Suárez (2012). Recuperado de:
https://miguelangelsuarez.files.wordpress.com/2012/07/logitud-y-
latitud1.jpg
Otra posibilidad para desarrollar temas de geometría es el uso de las
tecnologías de la información y comunicación (TIC), es posible
encontrar en la web un sinnúmero de artículos, programas simuladores y
otras aplicaciones que, escogidas, planificadas, y desarrolladas
adecuadamente en el aula, pueden ser muy útiles al docente en la clase
de geometría (Tello & Aguaded, 2009).
Los estudiantes actualmente tienen mucha afinidad con las
tecnologías y se pueden seleccionar actividades que acaparen su interés
y les faciliten los aprendizajes (Cacheiro, 2011; Macías, 2007); dejaría
de ser una limitante la disponibilidad de los laboratorios de informática,
ya que muchas de esas aplicaciones están disponibles para teléfonos
inteligentes. En los profesores todavía hay una resistencia al cambio del
lápiz y papel por las tecnologías digitales, no todos tienen una actitud
favorable para asumirla (Villarraga, Saavedra, Espinosa, Jiménez,
Sánchez & Jefferson, 2012).
El aprendizaje de matemáticas y en particular de geometría ayuda al
estudiante a desarrollar algunas habilidades, a ser lógicos, deductivos,
argumentativos y ordenados (Godino & Ruiz, 2002).
1.5. Las nuevas clases de geometría
Para Gamboa & Ballestero (2010) “La enseñanza de la geometría
debe centrarse en desarrollar en el estudiantado, habilidades para la
exploración, visualización, argumentación y justificación, donde más
que memorizar puedan descubrir, aplicar y obtener conclusiones”
(p.140); para que esto suceda la clase de geometría debe tener en cuenta
varios aspectos: la institución con sus políticas, el aula con su dotación e
infraestructura, el docente con sus metodologías y uso eficiente de
recursos, y el estudiante centro del proceso educativo, todos enfocados
en lograr la máxima calidad de aprendizajes de los estudiantes.
Con respecto al marco legal, en la reforma curricular del Ministerio
de Educación (2016a) se plantea una propuesta más abierta y flexible
con respecto a las anteriores, esta trae un diseño curricular que tiene
componentes imprescindibles y otros deseables, y las unidades
educativas deben acercar el diseño a la realidad de sus contextos, a
través de la negociación de los contenidos, con el objetivo de “acercar la
propuesta a los intereses y necesidades de los estudiantes, a la vez que
permite que esta se adapte de mejor manera a sus diferentes ritmos de
aprendizaje” (p.12). Se tiene la posibilidad de que la institución y el
docente tomen decisiones con respecto al currículo de geometría y hacer
las adaptaciones respectivas.
La infraestructura debe adaptarse a los nuevos tiempos, las aulas
deben tener una forma que facilite el trabajo grupal y participativo;
confort y condiciones adecuadas (ventilación, iluminación, sillas
cómodas, pizarra, marcadores, proyector y otros); acceso a internet para
el uso de recursos disponibles en la web; facilidades para utilizar los
dispositivos electrónicos que poseen los estudiantes. Macías (2007)
menciona que se amplían las posibilidades en cuanto a nuevos ambientes
de aprendizaje y metodologías de enseñanza de las matemáticas
aprovechando el enorme potencial de los recursos electrónicos.
El docente de geometría debe conocer profundamente su disciplina,
y debe saber planificar su clase, dominar estrategias metodológicas y
manejo de recursos didácticos, él tiene un papel fundamental
(Barrazueta, Bravo & Trelles, 2018), ya que es quién organiza los temas,
planifica las actividades, organiza el desarrollo de la clase y evalúa los
aprendizajes alcanzados por los estudiantes; será quién fomente el
desarrollo de metodologías centradas en la actividad y participación de
los estudiantes mediante actividades de trabajo grupal y colaborativo, y
en geometría, los temas se prestan para realizar actividades de este tipo.
Mora (1995) sobre el profesor dice: “de ser el que posee las respuestas,
pasa a diseñador de las actividades de aprendizaje, a ser el que anima y
dirige los trabajos de los estudiantes, el que modera y coordina los
debates” (p.6).
Contrario a la forma tradicional de concebir la evaluación, donde los
resultados finales del aprendizaje se reducen a un número (Blanco &
Barrantes, 2003), hay que entenderla en un contexto más amplio, donde
se evalúa para tomar decisiones acerca del proceso de enseñanza, así
como del aprendizaje: se evalúa de forma diagnóstica al inicio de una
clase para conocer lo que se sabe de un tema; se evalúa durante la clase
para conocer el grado de apropiación de los estudiantes de un tema en
desarrollo y dónde se debe reforzar (Trelles, Bravo & Barrazueta, 2017);
el profesor evalúa cuán eficientes han sido sus actividades, métodos y
recursos usados en clase para perfeccionar su práctica docente; los
estudiantes evalúan su labor entre ellos luego de haber realizado una
actividad grupal; los estudiantes evalúan a sus docentes y autoridades al
final de un período académico; la evaluación tiene una concepción más
amplia y se aplica de forma integral en todas las etapas del proceso
educativo.
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La evaluación sumativa, aquella que “los profesores utilizan
generalmente como instrumento de evaluación, las pruebas, por ser
según ellos, la forma más cómoda de obtener los resultados y muchas
veces sin el diseño adecuado de las mismas” (Moreno & Ortiz, 2008,
p.148), es una más de las posibilidades de evaluación, luego de una
cuidadosa planificación de cómo se va a evaluar, y la elaboración de las
respectivas rúbricas para evitar la subjetividad, a decir de Trelles, Bravo
& Barrazueta (2017) dependerá de los conocimientos y experiencias del
profesor para adaptarlas a cada contexto.
Actualmente existe una mayor oferta de docentes preparados,
graduados de carreras de educación o pedagogía en matemáticas, con
sólidos conocimientos en matemática y en cómo enseñarla (Ribeiro,
Monteiro & Carrillo, 2009). Tienen nuevas competencias en el aspecto
educativo, son capaces de planificar y adaptar sus clases al diseño
propuesto en el currículo oficial, la edad y nivel intelectual de sus
estudiantes (Lobo, 2004). Los docentes programan el trabajo autónomo
para sus estudiantes, diseñan las clases y sus momentos con una gran
variedad de actividades que fomenten la actividad y participación. Son
capaces de diseñar situaciones de aprendizaje constructivo, de diseñar
recursos didácticos que apoyan los temas tratados (Villarroel &
Sgreccia, 2011).
Un profesional preparado para ser docente se ha nutrido de la
experiencia de sus maestros, que le han enseñado a enseñar, le han
contado sus mejores experiencias en práctica educativa. Le han enseñado
algunas dificultades con que se han encontrado en ciertos temas y la
mejor forma de afrontarlos; los métodos y técnicas que mejor les ha
funcionado, artificios y atajos para resolver ciertos problemas. Les han
contado sus experiencias para manejar grupos, situaciones conflictivas
que se les han presentado y cómo manejarlas o solucionarlas, a controlar
problemas disciplinarios, han recibido recomendaciones sobre aspectos
legales, éticos, humanos, han nutrido a sus estudiantes de sus vivencias
en clase y consejos sobre cómo proceder en esos casos. Han aprendido la
evolución de las diferentes corrientes de pensamiento sobre el
aprendizaje y diferentes métodos y técnicas de enseñanza de la
matemática y en particular de la geometría, lo necesario para lograr en
los estudiantes motivación, gusto por la geometría y aprendizajes de
calidad.
2. Materiales y Métodos
Este artículo describe la aplicación de la investigación-acción como
herramienta metodológica. Una primera parte que comprende la revisión
bibliográfica donde se fundamenta teóricamente y se analiza la clase de
geometría, tanto la forma tradicional de desarrollarla, como una
propuesta actual y constructivista. La segunda parte implica llevar al
aula la propuesta de la nueva clase, aquí se describe el desarrollo de las
nuevas clases de geometría; se toma al aula como un espacio para la
investigación y desarrollo profesional (Latorre, 2003), y se estudia la
realidad educativa para mejorar su comprensión y lograr su
transformación (Colmenares & Piñero, 2008).
El ejemplo concreto de aplicación de la nueva clase se realizó con
dos cursos, totalizando 67 estudiantes de la carrera de formación docente
en Matemáticas y Física de la Universidad de Cuenca. El docente
describe la experiencia de aplicación de la nueva clase de geometría
fundamentada en la perspectiva constructivista, se trabaja con
estudiantes que, en el futuro, serán docentes de la asignatura. Se destaca
la importancia que tiene el estudiante y el logro de aprendizajes en este
nuevo esquema, de modo que el docente debe planificar su clase de
geometría en función de incentivar la actividad del estudiante y de
presentar temas contextualizados, para que haya significado en los
aprendizajes.
Al planificar las clases, hay que hacer una cuidadosa selección de
actividades que fomenten en el estudiante la motivación, actividad y
trabajo colaborativo. Se seleccionaron ciertos recursos didácticos, que
ayudan a desarrollar una clase dinámica, práctica y aplicable, donde se
logre comprensión.
Para desarrollar el tema de triángulos, fueron seleccionados varios
artículos académicos sobre la Misión Geodésica Francesa que vino en
1735 a realizar mediciones relacionadas con la forma de la tierra basada
en triangulaciones, sin embargo, estos documentos describen aspectos
contextuales e históricos que permiten al estudiante de forma simultanea
lograr aprendizajes en diferentes disciplinas como Historia, Geografía y
Matemáticas.
En cuanto a la evaluación, fue posible aplicar diversas técnicas, al
inicio de un tema se evaluaron conocimientos previos, como punto de
partida, mediante la formulación de preguntas en una conversación
directa con ellos; se aplicó la técnica de coevaluación, evaluaron a los
compañeros con los que realizaron sus trabajos grupales, esto se realizó
con el manejo de rúbricas; la autoevaluación se realizó mediante
cuestionarios, esto permitió a los estudiantes identificar sus aprendizajes
y sus carencias. También se tomaron pruebas para verificar el logro de
los aprendizajes, fueron diseñados cuestionarios estructurados y sus
respectivas rúbricas. La aplicación de varias técnicas para evaluar los
aprendizajes, permitió hacerla integral.
3. Resultados
El desarrollo del tema de triángulos a partir del uso de artículos
académicos sobre la Misión Geodésica Francesa permitió al estudiante
conocer el contexto histórico en el que se desarrollaron los hechos.
Los documentos consultados permitieron entender las razones por las
que se organizó la misión de europeos que vinieron. Se pudo conocer
que ellos querían adelantarse a otros investigadores en algunas hipótesis
acerca de la forma no esférica de la tierra y querían hacer algunas
mediciones que corroborarían esas conjeturas; razón por la que vinieron
a tierras ecuatoriales; los franceses debieron pedir una autorización a los
españoles para realizar la expedición. Ya en estas tierras debieron tratar
con los indígenas para lograr su propósito, realizar las mediciones y
triangulaciones usando instrumentos y unidades de medida de esa época.
En este tiempo deben haber enfrentado dificultades como escalar a la
cima de montañas y nevados para tener puntos de referencia de sus
mediciones. Finalmente, basados en esas mediciones, logran dibujar una
serie de triángulos que les permitieron cartografiar en detalle el callejón
interandino; con esas medidas obtenidas logran ratificar sus hipótesis
sobre la forma de la tierra.
Los artículos relatan las historias posteriores de los miembros de la
misión, manteniendo el interés del lector y aportando con una gran
cantidad de datos de múltiples disciplinas.
Las actividades seleccionadas para desarrollar las clases fomentaron
en los estudiantes la lectura de documentos académicos, el uso de
técnicas de subrayado, capacidad para organizar la información, la
elaboración de resúmenes, preparación de informes, la presentación de
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Las nuevas clases de geometría
Bravo Guerrero
Unidad de Cooperación Universitaria. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo. Ecuador
diapositivas; todo esto se logró con la participación de los estudiantes,
mediante trabajo colaborativo, en un ambiente de interés, por lo
llamativa que resultó la temática. Los estudiantes se mostraron
motivados ante temas que abarcaban varias disciplinas y se
desarrollaban de una forma no tradicional. El uso de recursos
tecnológicos fue importante, ya que debieron encontrar en la web los
artículos académicos, trabajar en sus redacciones con el procesador de
textos, y preparar presentaciones de diapositivas en PowerPoint.
4. Discusión
La reforma curricular ecuatoriana realizada en el 2016 a la educación
básica y de bachillerato, permite a las instituciones hacer adaptaciones al
currículo con el propósito de acercar la propuesta a los intereses de los
estudiantes, lo que puede hacerla más atractiva y motivadora. En
concordancia con esta actualización, el docente es consciente de que
debe capacitarse y tener un mejor manejo del aspecto disciplinar,
planificación de las clases, estrategias metodológicas, uso de recursos
didácticos, evaluación, que sin duda mejorará la calidad de las clases de
geometría.
Es importante que la asignatura geometría tenga relación con
situaciones de la vida real, para que los aprendizajes sean significativos.
Varias temáticas pasan a ser transversales en la educación actual,
como la incorporación de la investigación a las posibilidades de trabajo
en el aula, el uso de las TIC como un recurso cada vez más accesible y
con variadas posibilidades de aplicación para al aprendizaje.
Lograr que el profesor ponga en contexto histórico la geometría, y
desarrolle ejercicios de aplicación relacionados con el medio, hace que el
aprendizaje tenga sentido para los estudiantes, y que estos se apropien de
temas que le resultan interesantes. Es importante que cuando se estudie
geometría, se tenga una historia que contar, se tenga un contexto que
describir, se tengan aplicaciones prácticas que motiven su estudio y se
logren aprendizajes duraderos.
Las arraigadas prácticas tradicionales, donde el docente es el experto,
las clases son teóricas, aburridas, no tienen aplicación, y el estudiante ha
tenido una posición pasiva.
Las nuevas clases de geometría incorporan novedosas formas de
planificación, organización y ejecución, con el uso de metodologías y
recursos didácticos basados en el constructivismo, con actividades que
generan en el estudiante actividad, participación y colaboración, en un
ambiente motivador, donde construye sus aprendizajes, los comprende,
los interioriza y es capaz de aplicarlos. Esta nueva propuesta para el
tema de geometría es un ejemplo de lo creativas que pueden ser las
clases y cuán interesantes pueden ser para los estudiantes. El reto para el
docente es innovar y ser creativo para evitar la resistencia de los jóvenes
hacia la matemática y específicamente la geometría.
Referencias bibliográficas
Abrate, R., Delgado, G., & Pochulu, M. (2006). Caracterización de las
actividades de Geometría que proponen los textos de Matemática.
Revista Iberoamericana de Educación, 39(1), 1-9.
Aroca, A., & Arboleda, L. C. (2007). Una propuesta de enseñanza de
geometría desde una perspectiva cultural: comunidad indígena
Ika-Sierra Nevada de Santa Marta. (Tesis de maestría).
Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Asamblea Nacional. (2008). Constitución del Ecuador. Quito. Ecuador.
Barrantes, M., & Blanco, L. (2005). Análisis de las concepciones de los
profesores en formación sobre la enseñanza y aprendizaje de la
geometría. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 62,
33-44.
Barrazueta, J.F., Bravo, F., & Trelles, C. (2018). Nueva propuesta para
realizar una planificación microcurricular en el área de
matemáticas. INNOVA Research Journal, 3(9), 76-98.
Blanco, L., & Barrantes, M. (2003). Concepciones de los estudiantes
para maestro en España sobre la geometría escolar y su
enseñanza-aprendizaje. Revista Latinoamericana de Investigación
en Matemática Educativa, 6(2), 107-132.
Bravo, F., Trelles, C. & Barrazueta, J. (2017). Reflexiones sobre la
evolución de la clase de matemáticas en el bachillerato
ecuatoriano. INNOVA Research Journal, 2(7), 1-12.
Cacheiro, M. L. (2011). Recursos educativos TIC de información,
colaboración y aprendizaje. Pixel-Bit. Revista de medios y
educación, 39, 69-81.
Colmenares, A. M., & Piñero, M. L. (2008). La investigación acción.
Una herramienta metodológica heurística para la comprensión y
transformación de realidades y prácticas socio-educativas. Laurus,
14(27), 96-114.
Collantes, I. B. (2017). Diseño de objetos de aprendizaje eXelearning
para geometría básica del Sistema Nacional de Nivelación y
Admisión (Tesis de Máster). Pontificia Universidad Católica del
Ecuador, Ecuador.
Espinosa, C., & Lomné, G. (2013). Ecuador y Francia: diálogos
científicos y políticos (1735-2013). Quito: FLACSO.
Fabres, R. (2016). Estrategias metodológicas para la enseñanza y el
aprendizaje de la geometría, utilizadas por docentes de segundo
ciclo, con la finalidad de generar una propuesta metodológica
atingente a los contenidos. Estudios Pedagógicos, 42 (1), 87-105.
Franchi, L., & Hernández, A. I. (2004). Tipología de errores en el área
de la geometría plana. Educere, 8(24), 63-71.
Francou, B. (2013). La primera Misión Geodésica francesa en el Perú y
la determinación de la forma de la Tierra (1735-1744). Quito:
FLACSO.
Galindo, C. (1996). Desarrollo de habilidades básicas para la
comprensión de la geometría. Revista EMA, 2(1), 49-58.
Gamboa, R., & Ballestero, E. (2010). La enseñanza y aprendizaje de la
geometría en secundaria, la perspectiva de los estudiantes. Revista
Electrónica Educare, 14(2), 125-142.
García, S., & López, O. L. (2008). La enseñanza de la geometría.
México: INEE.
Godino, J. D., & Ruiz, F. (2002). Geometría y su didáctica para
maestros. Granada: Universidad de Granada.
Gonzales, N., Trelles, C., & Mora, J. (2017). Manejo docente de las
tecnologías de la información y comunicación. Cuenca, Ecuador.
INNOVA Research Journal, 2(4), 61-72.
Gutiérrez, A., & Jaime, A. (1996). Uso de definiciones e imágenes de
conceptos geométricos por los estudiantes de Magisterio. En
Giménez, J. et al. (eds.). El proceso de llegar a ser un profesor de
primaria. Cuestiones desde la educación matemática, 143-170.
Granada: Comares.
21 REVISTA RECUS. PUBLICACIÓN ARBITRADA CUATRIMESTRAL. EDICIÓN CONTINUA.UTM - ECUADOR
e-ISSN 2528-8075/ VOL 4/No. 3/SEPTIEMBRE – DICIEMBRE/2019/pp. 14-21
Las nuevas clases de geometría
Bravo Guerrero
Unidad de Cooperación Universitaria. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo. Ecuador
Gutiérrez, A., & Jaime, A. (1998). Geometría y algunos aspectos
generales de la educación matemática. México: Iberoamérica.
Hernández, A., & Tenelanda, S. (2018). Aulas abiertas una estrategia
para aprender trigonometría y geometría analítica. Revista Atlante:
Cuadernos de Educación y Desarrollo, 1-12. Recuperado de:
http://www.eumed.net/2/rev/atlante/2018/02/aprender-
trigonometria-geometria.html
Jácome, M. (Julio, 2015). Diseño e implementación de un Mooc de
Álgebra y Geometría para Profesores en Formación. Jornadas
sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. JAEM,
Cartagena.
Lastra, S. (2005). Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje
de la geometría, aplicada en escuelas críticas (Tesis de Magister).
Universidad de Chile, Santiago.
Latorre, A. (2003). La investigación acción. Conocer y cambiar la
práctica educativa. Barcelona, Graó.
Lobo, N. (2004). Aplicación del modelo propuesto en la Teoría de Van
Hiele para la enseñanza de la geometría. Multiciencias, 4(1), 1-10.
Macías, D. (2007). Las nuevas tecnologías y el aprendizaje de las
matemáticas. Revista Iberoamericana de Educación, 42(4), 1-17.
Micelli, M. L., & Crespo, C. (2011). La geometría entretejida. Revista
Latinoamericana de Etnomatemática: Perspectivas
Socioculturales de la Educación Matemática, 4(1), 4-20.
Ministerio de Educación. (2011). Ley Orgánica de Educación
Intercultural. Quito: Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación. (2016a). Currículo de los niveles de educación
obligatoria. Quito: Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación. (2016b). Introducción Matemática. Quito:
Ministerio de Educación.
Mora, J. A. (1995). Los recursos didácticos en el aprendizaje de la
Geometría. Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, (3),
101-115.
Moreira, M. A. (1997). Aprendizaje significativo: un concepto
subyacente. Actas del Encuentro internacional sobre el
aprendizaje significativo, Burgos, España, 19- 44.
Moreno, I., & Ortiz, J. (2008). Docentes de educación básica y sus
concepciones acerca de la evaluación en matemática. Revista
Iberoamericana de Evaluación Educativa, 1(1), 140-154.
Ortiz, W., Pérez, Á., & Fernández, K. (2017). Estrategia didáctica para
el desarrollo de las habilidades del pensamiento geométrico
espacial. Opuntia Brava, 9(3), 105-116.
Riascos, Y., & Curbeira, D. (2018). La enseñanza de la Geometría en
Colombia desde la perspectiva de Ciencia, Tecnología y Sociedad.
Revista Metropolitana de Ciencias Aplicadas, 1(2), 53-61.
Ribeiro, C. M., Monteiro, R., & Carrillo, J. (2009). ¿Es el conocimiento
matemático del profesorado específico de su profesión? Discusión
de la práctica de una maestra. Educación Matemática, 22(2), 123-
138.
Ruiz, L., Torres, G., & García, D. (2018). Desafíos de la Educación
Superior. Consideraciones sobre el Ecuador. INNOVA Research
Journal, 3(2), 8-16.
SENPLADES. (2013). Plan Nacional del Buen Vivir. Quito: Secretaría
Nacional de Planificación y Desarrollo.
Suárez, M. A. (2012). Tema 1 "el Planeta Tierra". Blog De Miguel
Ángel Suárez. Recuperado de:
https://miguelangelsuarez.files.wordpress.com/2012/07/logitud-y-
latitud1.jpg
Tello, J., & Aguaded, J. I. (2009). Desarrollo profesional docente ante
los nuevos retos de las tecnologías de la información y la
comunicación en los centros educativos. Píxel-Bit Revista de
Medios y Educación, (34), 31-47.
Trelles, C., Bravo, F., & Barrazueta, J. (2017). ¿Cómo evaluar los
aprendizajes en matemáticas? INNOVA Research Journal, 2(6),
35-51.
Vaca, J. J. A. (2016). Desarrollo de una estrategia didáctica que facilite
el interaprendizaje de Geometría en estudiantes del nivel de
educación básica media en la Unidad Educativa Pujilí del cantón
Pujilí. (Master's Thesis, Pontificia Universidad Católica del
Ecuador Sede Ambato).
Vargas, G., & Gamboa, R. (2013). El modelo de Van Hiele y la
enseñanza de la geometría. Uniciencia, 27(1), 74-94.
Villarraga, M. E., Saavedra, F., Espinosa, Y., Jiménez, C., Sánchez, L.,
& Jefferson, S. (2012). Acercando al profesorado de matemáticas
a las TIC para la enseñanza y aprendizaje. EDMETIC, Revista de
Educación Mediática y TIC, 1(2), 65-88.
Villarroel, S., & Sgreccia, N. (2011). Materiales didácticos concretos en
Geometría de primer año de Secundaria. Números. Revista de
Didáctica de las matemáticas, (78), 73-94.
