Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, 2019, Ecuador (p. 51-72)  
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A  
LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-2016  
1
*
2
3
Dr. Isidro Amaro , Dr. Ernesto Ponsot , Ph.D. Zenaida Castillo , M.Sc. Wilfre Machado  
Universidad de Investigación de Tecnología Experimental Yachay. Escuela de Ciencias Matemáticas y  
Computacionales. Ecuador.  
*
Autor para correspondencia: eponsot@yachaytec.edu.ec  
Recibido: 26-02-2019 / Aceptado: 20-05-2019 / Publicación: 30-05-2019  
Editor Académico: Dr. Luis Sánchez  
RESUMEN  
Se presentan algunos aspectos teóricos sobre la relación entre las técnicas clásicas de MANOVA y Biplot, que son la base  
de la gráfica MANOVA-Biplot. Se aplica esta técnica a un conjunto de datos referentes al uso del suelo en las tres regiones  
definidas por el Ecuador. Se indagan sus diferencias con el propósito de lograr una caracterización sintética que sirva para  
compararlas estadísticamente y que sea de utilidad al proceso de toma de decisiones. La región oriental está caracterizada  
por el uso de su suelo preponderantemente en montes, bosques naturales y artificiales, la región costera por cultivos  
permanentes, transitorios y barbechos, y la región de la sierra por los restantes pastos, descansos, páramos y otros. Se  
presenta una ilustración de los resultados que muestra el gran valor de síntesis que tiene la técnica estadística propuesta,  
incluido el código R que la produce.  
Palabras clave: Regiones del Ecuador, usos del suelo, MANOVA, Biplot.  
THEORETICAL ASPECTS OF THE MANOVA-BIPLOT AND THEIR  
APPLICATION TO LAND USES IN THE ESPAC-2016  
ABSTRACT  
Some theoretical aspects about the relationship between the classic techniques of MANOVA and Biplot, which are the  
basis of the MANOVA - Biplot graph are presented. This technique is applied to a set of data concerning to land uses in  
the the three major regions defined by Ecuador. Their differences are investigated in order to achieve a synthetic  
characterization that can be used to compare them statistically and to improve appropriately the decision process. The  
eastern region is characterized by the use of its soil predominantly in mountains, natural and artificial forests, the coastal  
region by permanent crops, transients and fallows, and The Sierra region by the permanent and transient crops and fallows.  
An illustration about the results showing the great synthesis value that the proposed technique has, including the R code  
that produces it is also presented.  
Key words: Regions of Ecuador, land uses, MANOVA, Biplot.  
ASPECTOS TEÓRICOS DA MANOVA-BIPLOT E SUA APLICAÇÃO AOS  
USOS DA TERRA NA ESPAC-2016  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
RESUMO  
Alguns aspectos teóricos são apresentados sobre a relação entre as técnicas clássicas de MANOVA e Biplot, que são a  
base do gráfico MANOVA - Biplot. Aplicando essa técnica a um conjunto de dados referentes aos usos da terra nas três  
principais regiões definidas pelo Equador, suas diferenças são investigadas para obter uma caracterização sintética que  
possa ser usada para compará-las estatisticamente e melhorar adequadamente o processo de decisão. . A região leste é  
caracterizada pelo uso de seu solo predominantemente em montanhas, florestas naturais e artificiais, enquanto a região  
costeira por culturas permanentes, transiente e favelas, e a região da serra pelos pastos remanescentes, quebras, terras  
estéreis e outras. É apresentada uma ilustração dos resultados que mostram o grande valor de síntese que a técnica  
estatística proposta possui, incluindo o código R que a produz.  
Palavras-chave: Regiões do Equador, usos do solo, MANOVA, Biplot.  
Citación sugerida: Amaro, I., Pensot, E., Castillo, Z., Machado, W. (2019). Aspectos teóricos del Manova-Biplot y su  
aplicación a los usos del suelo en la ESPAC-2016. Revista Bases de la Ciencia, 4(2), 51-72. DOI:  
https://doi.org/10.33936/rev_bas_de_la_ciencia.v4i2.1668  
Recuperado  
de:  
https://revistas.utm.edu.ec/index.php/Basedelaciencia/article/view/1668  
Orcid IDs:  
Isidro Amaro: https://orcid.org/0000-0003-2402-910X  
Ernesto Ponsot: https://orcid.org/0000-0001-5221-1799  
Zenaida Castillo: https://orcid.org/0000-0002-4424-8652  
Wilfre Machado: https://orcid.org/0000-0002-3797-2159  
Luis Sánchez: https://orcid.org/0000-0002-1850-0631  
5
2
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
1
. INTRODUCCIÓN  
El Manova-Biplot es una técnica estadística multivariante utilizada en situaciones experimentales  
donde se dispone de varias variables respuesta y se quiere buscar las diferencias entre varios grupos.  
Fue denominada Manova-Biplot por Gabriel (1972, 1995), aunque también se le conoce como Biplots  
Canónicos según Vicente-Villardón (1992) y Gower Y Hand (1996). El Manova-Biplot para diseños  
de dos vías fue introducido por Amaro et al. (2004).  
Esta útil herramienta, además de permitir la interpretación de las diferencias-semejanzas entre grupos,  
que es el objetivo principal del Análisis de Varianza Multivariante (MANOVA, por sus siglas en  
inglés), también ofrece la posibilidad de visualizar las relaciones entre las variables, y las relaciones  
entre grupos y variables, al mismo tiempo que proporciona medidas de calidad de representación  
tanto para variables como para medias de grupos, lo que facilita significativamente la interpretación  
de los resultados. Una descripción más detallada de la teoría de los métodos Biplot puede encontrarse  
en Nieto et al. (2014). Algunos usos recientes del MANOVA-Biplot se discuten en Iñigo et al. (2004),  
Varas et al. (2005), Iñigo et al. (2014), García-Talegón et al. (2016) e Iñigo et al. (2017).  
En este trabajo se presentan algunos aspectos teóricos de la relación entre MANOVA y Biplot, que  
es la base para la construcción del MANOVA-Biplot como técnica conjunta, así como para probar  
sus propiedades estadísticas. Se propone usar estos principios en la construcción de regiones elípticas  
de confianza, en lugar de las clásicas regiones circulares. La teoría propuesta se soporta con programas  
elaborados en R (R Core Team 2017). Se presenta como ilustración de la técnica, un estudio de las  
características de las regiones que componen el Ecuador en términos del uso de su suelo. Estas  
características tienen implicaciones en el proceso de decisiones sobre qué usos incentivar. También  
influyen en las políticas de apoyo a la economía productiva que potencian la calidad de vida de los  
habitantes.  
Específicamente, a partir de los datos contenidos en la Encuesta de Superficie y Producción  
Agropecuaria Continua (ESPAC 2016), elaborada por el Instituto Nacional de Estadística y Censos  
(INEC) del Ecuador (INEC 2017), se emplea la técnica MANOVA-Biplot para construir una gráfica  
sintética de las variables (usos de suelo) y grupos (regiones). Un análisis de la gráfica generada  
permite apreciar las calidades de representación y la variabilidad explicada. Se describen las  
características resaltantes de las regiones examinadas, mostrando la gran valía de la técnica estadística  
para sintetizar la información contenida en 3567 registros de la región Sierra, 2069 de la región Costa  
y 931 de la región Oriental.  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
2
. Metodología  
En esta sección se describen los principales elementos teóricos que han sido utilizados para el estudio  
propuesto. Se exponen las características del MANOVA y su relación con el MANOVA-Biplot, en  
la construcción automática de elipses de confianza, para el análisis de un conjunto de datos  
multivariantes.  
2
.1. Análisis de Varianza Multivariante (MANOVA)  
Cuando se dispone de un conjunto de p variables de respuestas independientes observadas para n  
individuos, como herramienta de análisis simultaneo del conjunto, el MANOVA propone el modelo  
lineal:  
풀 = 푿푩 + 푬  
(1)  
En (1), 풀(푛푥푝) = [푦 ] es la matriz de datos, cuyas columnas se forman con las variables de  
푖푗  
respuesta observadas, 푿(푛푥푚) = [ꢀ푖푗] es la matriz de diseño, decidida por el investigador,  
푩(푚푥푝) = [훽 ] la matriz de parámetros a estimar y 푬  
= [휖 ], la matriz de desviaciones  
푖푗  
푖푗  
(푛푥푝)  
aleatorias  
.
Supóngase además que las filas de E se distribuyen como normales independientes, esto es  
흐 ~푁 (ퟎ, 횺) con 흐 = [휖 휖 … 휖 ]′ para i = 1, 2, …, n y 횺  
su matriz de varianzas y  
푖푗  
푝
푖
푖1  
푖1  
푖푝  
(푝푥푝)  
covarianzas (Cuadras 2014, 265).  
Se puede demostrar que si X es una matriz de rango completo por columnas, el estimador de  
mínimos cuadrados ordinarios de  
ꢁ −1  
̂ ̂  
es 푩 = (푿 푿) 푿′풀 y  
횺 = ꢂ푹 (ꢃ ꢄ ꢅ)ꢆ con 푹 =  
0
B
⁄
0
−1  
풀′ꢂ푰 ꢄ 푿(푿′푿) 푿′ꢆ풀  
Una vez ajustado, este modelo es útil para probar hipótesis lineales del tipo:  
퐻 : 푪푩푴 = ꢇ  
0
(2)  
con C y  
M matrices de dimensiones apropiadas y rango completo, compuestas por constantes  
conocidas  
.
5
4
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
Se busca la caracterización de grupos a partir de variables que se encuentran identificadas como  
pertenecientes a dichos grupos a priori. En particular, si se ordenan los elementos de datos en  
función de los grupos de pertenencia, el procedimiento supone la matriz de diseño en la forma  
siguiente:  
ꢋ ꢇ ⋯ ꢇ  
ꢋ ꢇ ⋯ ꢇ  
⋮ ⋱ ⋮  
ꢋ ꢇ ⋯ ꢇ  
ꢇ ꢋ ⋯ ꢇ  
ꢇ ꢋ ⋯ ꢇ  
ꢊ
ꢉ
ꢉ
ꢉ
ꢉ
ꢉ
ꢎ
ꢍ
ꢍ
ꢍ
ꢍ
ꢍ
ꢍ
ꢍ
⋮
푿 = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  
ꢉ
ꢉ
ꢇ ꢋ ⋯ ꢇ  
ꢉ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ꢍ  
ꢉꢇ ꢇ ⋯ ꢋꢍ  
ꢉꢇ ꢇ ⋯ ꢋꢍ  
ꢉ
ꢈ
ꢍ
⋮ ⋱ ⋮  
ꢌ
⋮
ꢇ ꢇ ⋯ ꢋ  
Esto es, con unos en las filas que se correspondan con el j-ésimo grupo, representados estos últimos  
por las columnas de X para j = 1, 2, · · ·, m. Nótese también que con la configuración mostrada, la  
matriz X resulta de rango completo por columnas  
.
2
.2. MANOVA-Biplot  
El MANOVA-Biplot combina criterios de métodos multivariantes clásicos para construir una mejor  
técnica que permite analizar matrices de datos, proporcionando ejes con máximo poder discriminante  
y representaciones simultáneas de poblaciones y variables en el mismo sistema de referencia.  
Amaro et al. (2004) desarrollaron la teoría necesaria para la construcción del MANOVA- Biplot en  
̂
푩
el contexto MANOVA de dos vías. A partir de  
,
utilizando la descomposición en valores singulares  
̂
푩
de la matriz 푪  
,
el método procura obtener la representación de variables y grupos en una misma  
figura, determinando las calidades de representación de ambos conjuntos en el menor número de ejes  
posibles, de preferencia, dos ejes.  
̂
Suponiendo el modelo presentado en (1) y la hipótesis propuesta en (2), un Biplot para la matriz 푫 =  
−1  
̂
푩푴 = 푪(푿′푿) 푿′풀푴 se puede construir a partir de la descomposición en valores singulares  
푪
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
1
generalizada como:  
ꢏ
ꢏ
−
−
2
̂
푫
푾
2
푹0 = 푼횫 푽′  
(3)  
휆
ꢁ
−1  
donde 푾 = 푪(푿 푿) 푪′, 푹0 es la matriz de suma de cuadrados y productos dentro de grupos (no  
singular) y 횫 es la matriz diagonal de los valores propios de la matriz correspondiente.  
휆
La relación entre MANOVA y Biplot se produce debido a que los λ’s que aparecen en la  
descomposición (3), son los mismos valores singulares de la matriz 푯푹 0− 1, utilizados en  
MANOVA, con  
−
1
̂
̂
푯 = 푫′푾 푫  
푴 풀´푿(푿′푿)−1푪′푾 푪  
ꢁ
−1  
(
푿 푿)−1푿′풀푴  
ꢁ
=
=
푴 풀´푿(푿′푿)−1푪 ꢂ푪 푿 푿)−1푪 ꢆ 푪 푿′푿)−1푿′풀푴  
( (  
ꢁ ꢁ −1  
ꢁ
ꢁ
Esto se demuestra en el siguiente teorema  
:
Teorema 1. Los valores propios incluidos en 횫 de (3) son también valores propios de la matriz  
휆
푯푹 −0 1.  
Demostración: De la descomposición (3), considerando  
vector propio se tiene que:  
λ el valor propio correspondiente al  
풗
ꢁ
1
ꢑ
1
ꢑ
1
1
ꢑ ̂  
−
−
−
−
푫
̂
푫
{
ꢐ푾 ꢑ  
푹 ꢒ ꢐ푾  
푹 ꢒ ꢄ ꢓ푰} 풗 = ꢇ  
0
0
Dado que 푾 y 푹0 son matrices simétricas:  
ꢏ
ꢏ
−
2
ꢏ
ꢏ
2
−
2
−
−
̂
2
̂
푫
{
푹0 푫′푾 푾  
푹0 ꢄ ꢓ푰} 풗 = ꢇ  
ꢏ
ꢏ
−
−
2
−1  
2
̂
̂
푫
{
푹0 푫′  
푾
푹0 ꢄ ꢓ푰} 풗 = ꢇ  
1
Se utiliza la definición de raíz cuadrada de una matriz como 푨1/ꢑ = 푼√푫푼−1 donde D es la matriz diagonal  
con los valores singulares de A, ordenados de mayor a menor y U contiene los vectores singulares.  
5
6
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
ꢏ
2
ꢏ
2
ꢏ
2
ꢏ
2
0
−
−
−
−1  
̂
̂
푫
{
푹0 푫′  
푾
푹0 ꢄ ꢓ푹 푹 } 풗 = ꢇ  
0
ꢏ
−
ꢏ
2
ꢏ
−
2
−1  
2
̂
̂
푫
푹 {푫′  
푾
푹0 ꢄ ꢓ푹 } 풗 = ꢇ  
0
0
ꢏ
ꢏ
ꢏ
2
−
−
−
2
−1  
2
̂
̂
푫
푹 {푫′  
푾
푹0 ꢄ ꢓ푹 푹 } 풗 = ꢇ  
0
0
0
ꢏ
ꢏ
2
−
−
2
−1  
̂
푫
̂
푹 ꢔ푫′  
푾
ꢄ ꢓ푹 ꢕ푹 풗 = ꢇ  
0
0
0
ꢏ
2
−
−1  
̂
푫
̂
푫′  
⇔
ꢔ
푾
ꢄ ꢓ푹 ꢕ푹 풗 = ꢇ  
0
0
−
1
̂
Donde 푫 = 푪(푿′푿) 푿′풀푴, luego:  
ꢏ
2
−
ꢂ푯 ꢄ ꢓ푹 ꢆ푹 풗 = ꢇ  
0
0
1
ꢑ
0
−ퟏ  
ퟎ
ꢂ푯 ꢄ ꢓ푹 ꢆ푹 푹 풗 = ꢇ  
0
ꢏ
2
0
[
푯푹 −ퟎ ퟏ ꢄ ꢓ푰]푹 풗 = ꢇ  
En consecuencia, λ es un valor propio de 푯푹 0− 1.  
En la literatura clásica de MANOVA, ver por ejemplo Mardia et al. (1979) y Morrison (1978)  
,
H
es la matriz de sumas de cuadrados y productos entre grupos. Adicionalmente, los λ son  
también utilizados en las cuatro pruebas de hipótesis de la técnica, a saber: Lambda de Wilks,  
Prueba de Lawley-Hotelling, Prueba de Pillai y la prueba de Roy o de la mayor raíz.  
2
.3. Construyendo elipses de confianza  
El procedimiento consiste en ubicar los centroides de grupos en la matriz 푷 = (푿 푿)−1/ꢑ푼푫  
es una matriz cuadrada que contiene tantas filas como grupos haya definido el investigador  
m). Su j-ésima columna representa la coordenada en el eje j para j = 1, 2, · · · , m.  
ꢁ
.
P
(
Por otra parte, el procedimiento entrega las coordenadas de las variables en la matriz  
푸 =  
es  
1
0
/ꢑ  
푽, usando las definiciones previas. Análogamente a lo que sucede con la matriz  
푹
P
,
Q
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
57  
Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
una matriz cuadrada que contiene tantas filas como variables (p). Su j-ésima columna  
representa la coordenada en el eje j para j = 1, 2, · · ·, p.  
En el contexto bidimensional (considerando solo los dos primeros ejes), para lograr una región  
de confianza alrededor de los centroides de grupos, en contraposición a la clásica región  
circular, Amaro et al. (2008) proponen regiones elípticas del (1 − α)% de confianza,  
construidas usando la matriz de dispersión de dichos centroides 푺(ꢑ푥ꢑ), como sigue:  
−
1
ꢑ
(
풙 ꢄ 풑 )′푺 (풙 ꢄ 풑 ) = 휒  
푖
,
ꢖ = ꢋ,ꢗ, … , 푘  
푖
푖
푖
(ꢑ,훼)  
ꢑ
Donde  
distribución  
izquierdo de la ecuación, representa una elipse rotada y trasladada, cuyo despliegue gráfico  
p
i
es la i-ésima fila de la matriz  
P
y
휒(  
es el valor crítico de nivel  
ꢘ
de una  
ꢑ,훼)  
휒
-cuadrada con dos grados de libertad. La forma cuadrática, dispuesta al lado  
−
1
ꢑ
aprovecha los valores y vectores propios de la matriz 푺 /휒  
(ꢑ,훼)  
para la determinación de  
sus semiejes principales y el ángulo de rotación.  
3
. Aplicación a los usos del suelo en la ESPAC 2016  
En esta sección se exponen los resultados obtenidos mediante la aplicación de las  
técnicas de MANOVA-Biplot y elipses de confianza, en lugar de las clásicas regiones de  
confianza circulares, sobre el conjunto de los datos recabados en la Encuesta de Superficie  
y Producción Agropecuaria Continua (ESPAC 2016), elaborada por el Instituto Nacional  
de Estadística y Censos (INEC) del Ecuador (INEC, 2016).  
3
.1. Descripción de los datos  
Desde el punto de vista computacional, la metodología se basa en los archivos  
de datos de la ESPAC 2016, elaborada por el INEC en dicho año. Utilizando el  
capítulo 3 de la encuesta, dedicado al uso de la tierra, a partir de los archivos CSV  
disponibles, se migró a una base de datos PostgreSQL sobre la cual se aplicaron  
los factores de expansión, se agregaron variables, se depuraron valores faltantes  
y relativizaron las cantidades en hectáreas de las variables. El procesamiento estadístico de  
los datos se realizó en R (R Core Team 2017) y el código programado se presenta como  
Anexo. La definición de las variables se muestra en la tabla 1.  
5
8
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
Tabla 1. Variables del estudio.  
Variable  
cultiv  
Significado  
Suelo destinado a cultivos  
Suelo en descanso  
Agregación  
Cultivos permanentes, transitorios y barbechos  
descan  
pasto  
No  
Suelo destinado a pastos  
Suelo de páramos  
Pastos naturales y cultivados  
param  
montbos  
otros  
No  
Suelo destinado a montes y bosques  
Suelo destinado a otros usos  
Montes, bosques naturales y bosques artificiales  
No  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC 2016.  
La figura 1 muestra por regiones, las proporciones de registros contenidos en la muestra,  
así como las proporciones del área total cubierta, en cada caso. La región Sierra es aquella  
con mayor número de puntos muestrales con 3567 (54,32 %), le sigue la región Costa con  
2
069 (31,51 %) y finalmente la Región Oriental con 931 (14,18 %). Por otra parte, en cuanto  
a la superficie total cubierta por la encuesta, la mayor proporción corresponde a la región  
Costa (39,05 %) por ejemplo. Esto sugiere un menor parcelamiento (y por lo tanto, parcelas  
de mayor tamaño) en dicha región, cuando se la compara con las restantes.  
La tabla 2 contiene las cifras absolutas y relativas totales de usos de suelo por regiones,  
incluidas en la ESPAC 2016. Nótese en la tabla 2 que el uso del suelo predominante en la  
región oriental es montes y bosques con un 78,27 %, mientras que en las regiones Sierra y  
Costa alcanza apenas al 38,72 % y 28,31 % respectivamente. La región que destina mayor  
superficie al cultivo es la Costa, mientras que aquella que destina mayor superficie a los  
pastos es la Sierra.  
Las áreas destinadas a descanso son relativamente pequeñas en las tres regiones, por lo cual  
es de suponer que el Ecuador está haciendo un uso extensivo e intensivo de sus tierras  
cultivables.  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
Figura 1. Proporción de elementos en la muestra y cobertura por regiones.  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC2016.  
Tabla 2. Cifras absolutas y relativas totales de usos de suelo por regiones.  
Sierra  
N°  
Costa  
N°  
Oriental  
N°  
Uso del  
Suelo  
%
13,09  
1,45  
%
33,80  
1,35  
%
4,00  
Cultiv  
Descan  
Pasto  
495.938  
54.824  
1.632.432  
65.384  
150.032  
5.732  
451.575  
10.802  
0,15  
1.235.610  
361.994  
32,61  
9,55  
1.411.680  
4.996  
29,23  
0,10  
12,05  
0,29  
Param  
montbos  
Otros  
1.467.340  
173.801  
38,72  
4,59  
1.367.320  
348.065  
4.829.877  
28,31  
7,21  
2.933.670  
196.384  
3.748.195  
78,27  
5,24  
Total  
3.789.507  
100,00  
100.00  
100.00  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC 2016.  
6
0
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
La figura 2 muestra gráficos de caja para cada variable (en términos relativos  
dentro de cada región), categorizadas por regiones. De la figura se aprecia claramente que  
las variables descansos, páramos y otros usos, resultan representadas muy marginalmente  
en la muestra, mientras que las variables cultivos, pastos, montes y bosques resultan  
ampliamente representadas.  
Los cultivos son predominantes en la región Costa, los pastos en la región Sierra  
y los montes y bosques, en la región Oriental. No obstante, los pastos muestran  
una variabilidad similar en las tres regiones, mientras que las otras dos variables  
importantes varían de forma sustantivamente diferente por regiones.  
4
. DISCUSIÓN  
Una vez obtenidos y depurados los datos de la ESPAC 2016 que se refieren a los usos del  
suelo en el Ecuador, se aplicaron las técnicas MANOVA-Biplot con regiones elípticas de  
confianza, con los resultados que se discuten a continuación.  
En la tabla 3 se presentan los valores propios, inercias e inercias acumuladas para el Biplot.  
Allí puede verse que la inercia acumulada casi alcanza el 100% en los dos primeros ejes.  
Por otra parte, en la figura 3 se muestra el MANOVA-Biplot para los grupos, representados  
por las regiones y las variables seleccionadas, consideradas para el análisis como  
proporciones de uso del suelo, en cada registro de la encuesta (ver las tablas 1 y 2), en lugar  
de las cifras absolutas (reportadas en hectáreas). Para diferenciar cada variable en términos  
absolutos de aquella considerada en términos relativos (o proporciones), a los nombres de  
dichas variables les antecede la letra “p".  
En la figura 3 se puede observar que las tres regiones (Sierra, Costa y Oriente) están  
claramente diferenciadas en cuanto a las variables de uso del suelo, ya que sus elipses de  
confianza no se interceptan. La variable que más contribuye a la diferencia de los tres grupos  
es el porcentaje de cultivos (pcultiv), porque al proyectar las elipses de confianza de los  
grupos sobre el vector que representa a esa variable, las proyecciones son disjuntas.  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Figura 2. Boxplot de regiones y variables.  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC2016.  
Tabla 3. Valores propios, inercias e inercias acumuladas.  
EJE  
Valores propios  
3,680 * 10-1  
2,118 * 10-1  
2,500 * 10-6  
Porcentaje de inercia  
Inercia acumulada  
75,128  
1
2
3
75,128  
24,870  
0,030  
99,998  
100,000  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC 2016.  
Por otra parte, la variable que más influye en la separación de los grupos Sierra y Oriente  
es el porcentaje de montes, bosques naturales y artificiales (pmonbos) pues el vector que la  
representa es casi paralelo a la recta que pasa por los centroides de dichos grupos.  
6
2
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
Figura 3. MANOVA-Biplot de grupos y variables.  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC2016.  
En la figura 3, el primer eje es el que ofrece mayor discriminación entre grupos y  
explica el 75.13 % de la variabilidad (inercia), mientras que en conjunto con el segundo eje,  
se explica prácticamente el 100 %.  
En la figura aparece la región oriental situada a la izquierda con altos valores para la variable  
pmontbos y la región Costa situada a la derecha con altos valores para la variable pcultiv.  
La tabla 4 contiene las calidades de representación de los grupos. Dichas calidades explican  
casi el 100 % de la variabilidad en los dos primeros ejes, por lo que la diferencia entre ellos  
puede interpretarse correctamente en las dos dimensiones que se presentan en la figura 3  
.
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Tabla 4. Calidades de representación para los grupos.  
Grupo  
Sierra  
Eje 1 (%)  
6,03  
Eje 2 (%)  
93,97  
Total (%)  
100.00  
Costa  
81,74  
18,26  
100.00  
Oriental  
86,39  
13,61  
100.00  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC 2016.  
La tabla 5 contiene las calidades de representación de las variables. Aquellas que pueden  
ser correctamente interpretadas a partir de la figura 3 son pcultiv y pmontbos, pues tienen  
una alta calidad de representación. Sobre las restantes no se logra una calidad de  
representación lo suficientemente elevada como para interpretarlas correctamente en dos  
dimensiones.  
Tabla 5. Calidades de representación para las variables.  
Variable  
pcultiv  
Eje 1 (%)  
67,22  
1,12  
Eje 2 (%)  
23,07  
14,33  
36,29  
20,32  
23,15  
1,56  
Total (%)  
90,28  
15,45  
36,37  
20,87  
93,66  
2,47  
pdescan  
ppasto  
0,08  
pparam  
pmontbos  
potros  
0,55  
70,51  
0,91  
Fuente: Elaboración propia a partir de la ESPAC 2016.  
Con respecto a los supuestos de la técnica, en esta oportunidad se presenta una forma de  
representación gráfica (Biplot) que, aun cuando está relacionada con el MANOVA (que  
exige normalidad de los errores), utiliza argumentos de naturaleza puramente algebraica.  
Esto implica que la técnica es robusta frente a variaciones en la normalidad de los datos. En  
cuanto a la construcción de elipses de confianza, éstas si requieren del supuesto de  
normalidad, sin embargo, al tratarse de formas cuadráticas derivadas de centroides (o  
medias), con base en el Teorema del Límite Central puede suponerse el requisito satisfecho  
al menos de forma asintótica, con lo cual puede tenerse una confianza razonable en el  
resultado, en vista de que la muestra utilizada es suficientemente grande. En futuras  
6
4
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
investigaciones, se propone estudiar la construcción de intervalos de confianza boostrap y  
no-paramétricos, que pueden también resultar apropiados en este contexto  
.
5
.- Conclusiones  
Se han desarrollado algunos aspectos inéditos de la teoría que soporta la técnica MANOVA-  
Biplot, principalmente en cuanto a la relación entre ambos conceptos (MANOVA y Biplot)  
y la elaboración de elipses de confianza, en lugar de las acostumbradas regiones de  
confianza circulares.  
La propuesta de utilizar elipses de confianza en el Biplot muestra su valor en la aplicación  
a los datos del uso del suelo en la ESPAC 2016, ya que al tratarse de un conjunto voluminoso  
de datos, las regiones de confianza circulares resultan tan pequeñas que son inútiles para el  
análisis, debido a la disminución en la varianza de las medias a medida que aumenta el  
tamaño de la muestra.  
Se puede apreciar cómo la región oriental está caracterizada por el uso de su suelo  
preponderantemente en montes, bosques naturales y artificiales, la región costera por  
cultivos permanentes, transitorios y barbechos y la región de la sierra por los restantes  
pastos, descansos, páramos y demás. Este resultado puede ser de ayuda considerable para la  
planificación productiva del uso del suelo en Ecuador, considerando las vocaciones de las  
regiones y pensando específicamente en las industrias, forestal, agrícola y pecuaria,  
respectivamente.  
El análisis de los datos estudiados confirma las bondades y beneficios del MANOVA-Biplot  
respecto a otras técnicas estadísticas multivariantes, tales como el MANOVA, el Análisis  
de Variables Canónicas o el Análisis Factorial, sobre todo en cuanto a aspectos como la  
representación en el mismo gráfico de los centroides de los grupos, de las variables y de las  
regiones de confianza elípticas; y el uso de medidas de las calidades de representación que  
juegan un papel muy importante en la interpretación de los resultados, sobre todo por parte de  
investigadores de áreas aplicadas.  
6
.- Referencias  
Amaro, I. R., Vicente-Villardón, J. L. & Galindo-Villardón, M. P. (2004). Manova-biplot para arreglos de tratamientos  
con dos factores basado en modelos lineales generales multivariantes. Interciencia, 29(1), 26-32.  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
65  
Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
Amaro, I. R., Vicente-Villardón, J. L. & Galindo-Villardón, M. P. (2008), Contribuciones al Manova-biplot: regiones de  
confianza alternativas. Revista Investigación Operacional, 29(3), 231-241.  
Cuadras, C. M. (2014). Nuevos Métodos de Análisis Multivariante. Barcelona, España: CMC Editions.  
Gabriel, K.R. (1972): Analysis of meteorological data by means of canonical decomposition and Biplots. Journal of  
Applied Meteorology, 11, 1071-1077.  
Gabriel, K. R. (1995): MANOVA Biplots for two-way contingency tables. En: Recent Advances in Descriptive  
Multivariate Analysis. (W. KRZANOWSKI, ed.). Clarendon Press, Oxford, 227-268.  
García-Talegón, J., Iñigo, A. C. & Vicente-Palacios, V. (2016), A laboratory simulation of desalting on calcareous  
building stone with wet sepiolite. Environmental Earth Sciences, 925(75), 1-15.  
Gower, J. C. y Hand, D. J. (1996): Biplots. Chapman and Hall, London.  
Iñigo, A. C., García-Talegón, J. & Vicente-Tavera, S. (2014), Canonical biplot statistical analysis to detect the magnitude  
of the effects of phosphates crystallization aging on the color in siliceous conglomerates. Research and  
Application, 39(1), 82-87.  
Iñigo, A. C., García-Talegón, J. Vicente-Tavera, S., Casado-Marín, S. & Martín-Gonzales, S. (2017), Multivariate  
analyses of soluble salts responsible for pathologies in granites of the roman aqueduct of Segovia, Spain.  
International Journal of Conservation Science, 8(1), 59-66.  
Iñigo, A. C., Vicente-Tavera, S. & Rives, V. (2004), Manova-biplot statistical analysis of the effect of artificial ageing  
(
freezing/thawing) on the colour of treated granite stones. Color Research and Applications, 29(2), 115-120.  
INEC (2017), Encuesta de Superficie y Producción Agropecuaria Continua ESPAC 2016: Informe Ejecutivo, Instituto  
Nacional de Estadística y Censos, Quito, Ecuador. Recuperado de: www.ecuadorencifras.gob.ec.  
Mardia, K. V., Kent, J. T., Bibby, J.M. (1979). Multivariate Analysis. Academic press. London, RU.  
Morrison, D. F. (1978). Multivariate Statistical Methods. McGraw-Hill. Londres, RU.  
Nieto, A. B., Galindo, M. P., Leiva, V. & Vicente-Galindo, P. (2014). A methodology for biplots based on bootstrapping  
with R. Revista Colombiana de Estadística, 37(2), 367-397.  
R Core Team. (2017). R: A Language and Environment for Statistical Computing, R. Vienna, Austria: Foundation for  
Statistical Computing. Recovered from: https://www.R-project.org/  
Varas, M. J., Vicente-Tavera, S., Molina, E. & Vicente-Villardón, J. L. (2005). Role of canonical biplot method in the  
study of building stones: an example from Spanish monumental heritage. Environmetrics pp. 1-15.  
Vicente-Villardón, J. L. (1992). Una alternativa a las técnicas factoriales basada en una generalización de los métodos  
Biplot. Tesis Doctoral. Universidad de Salamanca.  
6
6
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
A. Código R  
library(MASS)  
library(ggplot2)  
library(PostgreSQL)  
source(“./MyLib.R")  
#
Leyendo los datos  
drv <- dbDriver("PostgreSQL")  
con <- dbConnect(drv, dbname = "ESPAC", host = "localhost",  
port = 5432, user = "postgres", password = "")  
dat <- dbGetQuery(con, "SELECT * FROM region_fin_p")  
dat_a <- dbGetQuery(con, "SELECT*FROM region_fin_nn")  
dbDisconnect(con)  
dbUnloadDriver(drv)  
head(dat)  
dim(dat); dat_a  
r <- sum(dat_a$n); s <- nrow(dat_a)  
a <- matrix (0, r, s); k <- 1  
for (j in 1: s) {  
for (i in 1: dat_a$n[j]) {  
a[k,j] <- 1  
k <- k + 1  
}
}
head(a); dim(a)  
x <- as.matrix(dat[,2:7])  
head(x)  
nv <- as.vector(dat_a$n); nv  
label1 <- as.vector(dat_a$region)  
label2 <- as.vector(attributes(x)$dimnames[[2]])  
n <- nrow(x); nuvar <- ncol(x); mg <- ncol(a)  
cat("n", n, "nuvar", nuvar, "mg”, mg,’\n’)  
x2 <- x; J <- matrix(1,n,n); I <- diag(1,n,n)  
x1 <- (I-(1/n) *J) %*% x  
head(x1)  
#
A continuación se hace la estandarización de la matriz x  
X <- (I-(1/n) *J) %*% x  
S <- diag((1/n) * (t(x) %*% x))  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
X <- x %*% solve(sqrt(diag(S)))  
head(x)  
#
.................Cálculo de (inv(A’A))A’X).......  
dim(x)  
d <- t(a) %*% a  
b <- solve(d) %*% t(a) %*% x  
nt <- sum(nv); b; d  
#
……………Cálculo del vector x’…..  
F <- t(nv) %*% b  
f; nv  
v <- as.vector(rep (1, mg)); v  
#
..........Cálculo de la matriz y  
y <- b-v %*% f; y  
va <- cov(x1); va  
#
…Cálculo de la matriz E.…matriz de sumas de cuadrados y productos ‘dentro de’  
E <- t(x) %*% x-t(b) %*% t(a) %*% a %*% b; e  
b1 <- solve(d) %*% t(a) %*% x1  
e1 <- t(x1) %*% x1-t(b1) %*% t(a) %*% a %*% b1  
x1_cov <- cov(x1)  
ho <- t(b1) %*% d %*% b1  
eo <- e1  
meo <- (1/(n-1)) * x1_cov  
mo <- ho %*% solve(eo)  
ev <- eigen(mo, symmetric=FALSE)  
v <- ev$vectors; dj <- ev$values  
norm(mo %*% v-diag(dj) %*% v)  
dm <- solve(diag(sqrt(diag(x1_cov))))  
ca <- dm %*% meo %*% v  
ca <- ca*ca; ho; e1; meo; mo; dm  
cat (’Las calidades de representación son:\n’); ca  
#
........Descomposición en valores singulares de Y  
e_inv <- solve(e)  
e_inv_raiz <- raizMat(e_inv)  
SVD <- svd(raizMat(d) %*% y %*% e_inv_raiz, nuvar, nuvar)  
u <- SVD$u; l <- diag(SVD$d); m <- SVD$v  
u; l; m  
#
…Proyección de los individuos  
6
8
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
ind <- x %*% e_inv_raiz %*% m  
...... Cálculo de Inercias.  
#
iner <- (100/sum(diag(l)^2)) * diag(l)^2  
inercia <- cumsum(iner)  
cat (’Inercia absorbida\n’); iner  
cat (’Inercia acumulada\n’); inercia  
cat (’P y Q\n’);  
#
Marcadores P y Q del biplot  
p <- raizMat(solve(d)) %*% u %*% l  
q <- raizMat(e) %*% m  
p; q  
#
***************programa KRAZNOSWKI  
gama <- (mg-1) / (n-mg)  
ese <- as.vector(c(nuvar-1, mg))  
eses <- min(ese)  
cat(’eses’, eses,’\n’)  
tita <- matrix(0, eses,1)  
ll <- diag(l)  
for (j in 1: eses) {  
tita[j] <- 1 + (1/(mg-1)) * ll[j]  
}
cat(’tita\n’); tita  
#
************ Cálculo de las varianzas  
var <- matrix (0, mg,2)  
for (i in 1:mg) {  
for (k in 1:2) {  
sumakra <- 0  
for (j in 1: eses) {  
if (j != k) {  
sumakra <- sumakra +  
((tita[k]*(tita[j]-gama*tita[k]) /  
(gama*(tita[j]-tita[k])^2))*p[i, j]^2)  
}
}
var [i, k] <- 1/nv[i] + ((1/2)*p[i, k]^2+sumakra)/(n-mg)  
}
}
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
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Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
var  
************* Cálculo de las covarianzas  
#
gamatita <- -((tita[1]*tita[2]*(1+gama)) / ((n-mg)*gama*(tita[1]-tita[2])^2))  
mcov <- as.vector(c(rep (0,3)))  
for (i in 1:3) {  
mcov[i] <- gamatita*p[i,1]*p[i,2]  
}
mcov  
#
#
**************** Gráfica de las ELIPSES  
*********** Calidad de Representación **********  
qs <- q^2  
cat(’q al cuadrado\n’); qs  
qr <- matrix(0, nuvar, nuvar)  
su <- as.vector(c(rep (0, nuvar)))  
for (i in 1:nuvar) {  
for (k in 1:nuvar) {  
su[i] <- qs[i, k] + su[i]  
}
for (j in 1: nuvar) {  
qr [i, j] <- qs [i, j]/su[i]  
}
}
cat (’La calidad de representación para las variables es:\n’)  
qr*100  
sum (qr[1,1:3]); sum (qr[2,1:3]); sum (qr[3,1:3])  
sum (qr[,1]); sum (qr[,2]); sum (qr[,3])  
ps <- p^2  
cat (’p al cuadrado\n’); ps  
pqr <- matrix(0,3,3)  
sup <- as.vector(c(rep (0,3)))  
for (i in 1:3) {  
for (k in 1:3) {  
sup[i] <- ps[i, k] + sup[i]  
}
for (j in 1:3) {  
pqr [i, j] <- ps[i, j] / sup[i]  
}
7
0
ASPECTOS TEÓRICOS DEL MANOVA-BIPLOT Y SU APLICACIÓN A LOS USOS DEL SUELO EN LA ESPAC-  
016  
2
}
cat (’La calidad de representación para los grupos es:\n’)  
pqr * 100  
neje <- 2  
#
.... Reescalado ....  
escala <- ‘s’  
if (escala == ’s’) {  
scp <- sum(p^2)  
scq <- sum(q^2)  
scp <- scp/mg  
scq <- scq/nuvar  
scf <- sqrt(sqrt(scq/scp))  
p <- p*scf # 1◦ y 2◦ columnas, coordenadas de los grupos G  
q <- q/scf; # 1◦ y 2◦ columnas, coordenadas de los vectores V  
ind <- ind*scf  
}
#
Representación Gráfica  
p_graf <- as.data.frame(cbind(X=p[,1], Y=p[,2]))  
q_graf <- as.data.frame(cbind(X=q[,1], Y=q[,2]))  
p_graf; q_graf  
ls <- max(max(p_graf), max(q_graf)) + 0.5  
li <- min(min(p_graf), min(q_graf)) - 0.5  
grf <- ggplot(NULL) +  
geom_point(aes (x = X, y = Y), data=p_graf,  
colour="red", shape=21, size=1) +  
geom_segment(aes(x = 0, y = 0, xend = q_graf$X, yend = q_graf$Y),  
arrow=arrow (length = unit (0.2, "cm"))) +  
geom_text(aes(x = X, y = Y, label=label1), data=p_graf,  
col="red", hjust=1.5, vjust=-1) +  
geom_text(aes(x = X, y = Y, label=label2), data=q_graf,  
hjust=-0.5, vjust=1, size=3) +  
scale_x_continuous("Eje 1", limits = c (li, ls)) +  
scale_y_continuous("Eje 2", limits = c (li, ls)) +  
geom_segment(aes(x = 0, y = li, xend = 0, yend = ls)) +  
geom_segment(aes(x = li, y = 0, xend = ls, yend = 0))  
for (i in 1:3) {  
chi2 <- qchisq(0.05, 2, lower.tail = FALSE)  
Publicación Cuatrimestral. Vol. 4, No 2, Mayo/Agosto, Año 2019, Ecuador (p. 51-72)  
71  
Dr. Isidro Amaro, Dr. Ernesto Ponsot, Ph.D. Zenaida Castillo, M.Sc. Wilfre Machado  
MD <- matrix(c(var[i,1], mcov[i], mcov[i], var[i,2]), 2, 2)  
MD_Inv <- solve(MD)  
MD_f <- MD_Inv/chi2  
MD_ev <- eigen(MD_f, symmetric=F)  
angulo <- (180/pi) * acos(MD_ev$vectors[1,1])  
ejes <- sqrt(1/MD_ev$values)  
area <- pi*ejes[1]*ejes[2]  
cat("´ Angulo ", angulo, "\n")  
cat("Ejes ", ejes, "\n")  
cat("´ Area ", area, "\n")  
if (ejes[1] > ejes[2]) {  
eli <- elipseDat(ejeMay=ejes[1], ejeMen=ejes[2],  
centro=c(p_graf$X[i], p_graf$Y[i]), a=angulo)  
}
else {  
eli <- elipseDat(ejeMay=ejes[2], ejeMen=ejes[1],  
centro=c(p_graf$X[i], p_graf$Y[i]), a=angulo)  
}
grf <- grf +  
geom_path(data=eli, aes(x,y), col = ’green’)  
}
tiff ("Plot2.tif", width = 6, height = 6, units = ’in’, res = 300)  
grf  
dev.off ()  
7
2