UN ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE

Resumen

En este artículo se presentan los polinomios de Laguerre complejo L(α−k)(z), junto con algunas expresiones que resultan k

a partir de ellos, que aparecen utilizando definiciones mencionadas en el texto. Además, se realiza una revisión de las

propiedades de los polinomios de Laguerre y su convergencia en media, estudiada por varios autores a lo largo de la

historia. La convergencia de los polinomios de Laguerre empieza con los estudios de Pollard, que plantea que para que se

Rb PN p
cumpla limN−→∞ a f(x) − 0 anPn(x) dF(x) = 0, entonces p = 2, luego Askey y Wainger plantean una función

de Laguerre Lαn (x) = xα/2 rn exp(−x/2)Lαn (x) que converge si 4/3 < p < 4. En la siguiente investigacion, Muckenhoupt

indica que en los polinomios de Laguerre, los términos no convergerán a 0 en la media si p no está entre 4/3 y 4, pero esta

vez probando que p es un número fijo que satisface 1 ≤ p ≤ 4/3 o 4 ≤ p ≤ ∞. Luego, el mismo Muckenhoupt generaliza

los resultados de Askey y Wainger para la convergencia media con 1 < p < ∞. Los resultados mejoran en términos de las

funciones de peso, su investigación se basa en desigualdades que requerían una función de ponderación mayor en el lado

derecho que en el izquierdo: R ∞ |Sα(f, x)U(x)|pdx ≤ C R ∞ |f(x)V (x)|pdx. Mas adelante, Poiani prueba inecuaciones 0n0

de la forma ∥σn(f,x)W(x)∥p ≤ ∥f(x)W(x)∥p donde σn es la enésima (C,1) convergencia de la serie de Laguerre de f , W (x) la funcion peso de una forma particular y la norma Lp es tomada sobre (0, ∞), aqui solo se utiliza una función de peso. Por último, se encuentra la investigación realizada por Mario Riera, quien estudia dicha convergencia con deltas de Dirac, en este caso para Laguerre con una delta en el cero.