El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman

Resumo

A partir do \emph{teorema de Krein-Milman} (em sua versão baricêntrica), é possível demonstrar o \emph{teorema de representação de Riesz}. Contudo, a prova clássica da versão baricêntrica do teorema de Krein-Milman depende por sua vez do teorema de representação de Riesz, o que gera uma dependência circular.

Neste artigo, mediante caracterizações da convergência de redes na \emph{topologia de Lévy} sobre o espaço
\[
\mathscr{M}(\mathcal{A}) = \big\{ \mu \colon \mathcal{A} \to \mathbb{R}^+ \mid \mu \text{ é aditiva, positiva e externamente regular} \big\},
\]
onde $\mathcal{A}$ é uma álgebra de conjuntos do espaço normal e Hausdorff $\Omega$, que contém os abertos de $\Omega$; estabelecemos os resultados necessários para demonstrar a versão baricêntrica do teorema de Krein-Milman \emph{sem} recorrer ao teorema de representação de Riesz.

Como consequência, obtemos uma demonstração do \emph{teorema de representação de Riesz} que depende exclusivamente da versão baricêntrica do teorema de Krein-Milman, eliminando assim a circularidade no raciocínio clássico.