SOBRE TEORÍA DEL PUNTO FIJO Y LAS FUNCIONES DE CONTROL. ESTADO DEL ARTE.

Resumen

La teoría del punto fijo estudia las condiciones sobre una o dos funciones y sobre el espacio en donde se encuentran de- finidas, a fin de garantizar la existencia y unicidad de punto fijo. Durante la primera mitad del siglo XX, Stefan Banach probó un teorema de punto fijo para una función contractiva definida sobre un espacio métrico completo. Este teorema fue generalizado de diferentes formas por varios autores, llegando a obtenerse resultados que involucran dos funciones conmutativas, como es el caso del teorema introducido por Gerald Jungck. A partir de 1984, aparecen generalizaciones del principio de contracción de Banach, en donde la desigualdad contractiva depende de una función de control llamada: función que altera la distancia entre puntos. El propósito de este artículo es realizar una revisión actualizada sobre las condiciones que garantizan la existencia y unicidad de punto fijo para una y dos funciones compatibles definidas sobre un espacio métrico completo, considerando las funciones que alteran distancia y reemplazando la constante de contracción por una función. Se dan ejemplos que evidencian la importancia de las generalizaciones de los teoremas de punto fijo, tanto de Banach como de Jungck. Se proponen condiciones sobre un par de funciones para garantizar la existencia y unicidad de un punto fijo en común mediante el uso de funciones que alteran distancia.